1．“平面内存在两个定点，使得一动点 $ M $ 满足到这两定点的距离之和为常数”是“点 $ M $ 的轨迹是椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充要条件
D．必要不充分条件
“点 $ M $ 的轨迹是以 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ 为焦点的椭圆” $ ⇒ $ “ $ |M{F}_{1}|+|M{F}_{2}| $ 为常数”；
反之不成立，若常数小于或等于两个定点间的距离，其轨迹不是椭圆.
因此“平面内存在两个定点，使得一动点 $ M $ 满足到这两定点的距离之和为常数”是“点 $ M $ 的轨迹是椭圆”的必要不充分条件.故选 $ \mathrm{D} $ .
2．方程 $ \sqrt{{\left(x-1\right) ^ {2}}+{y}^{2}}+\sqrt{{\left(x+1\right) ^ {2}}+{y}^{2}}=1 $ 表示的曲线为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．不表示任何图形
由题可得,方程左边的几何意义是点 $ P(x,y) $ 到点 $ A(1,0) $ ,点 $ B(-1,0) $ 的距离之和,即 $ \left|PA\right|+\left|PB\right|=1 $ ,因为 $ \left|AB\right|=2 $ ,所以 $ \left|PA\right|+\left|PB\right| < \left|AB\right| $ ,所以满足点 $ P(x,y) $ 的轨迹不存在,即方程不表示任何图形.故选 $ \mathrm{D} $ .
3．已知 $ {F}_{1} $ , $ {F}_{2} $ 分别为椭圆 $ \dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1 $ 的左、右焦点， $ P $ 为椭圆上一点，若 $ \left|P{F}_{1}\right|=3 $ ，则 $ \left|P{F}_{2}\right|= $ （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
因为椭圆方程为 $ \dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1 $ ,所以 $ {a}^{2}=16 $ ,解得 $ a=4 $ ,由椭圆的定义可得 $ \left|P{F}_{1}\right|+\left|P{F}_{2}\right|=2a=8 $ ,又 $ \left|P{F}_{1}\right|=3 $ ,所以 $ \left|P{F}_{2}\right|=5 $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .
4．若椭圆的两焦点为 $ (-2,0) $ 和 $ (2,0) $ ，且椭圆过点 $ (\sqrt{2},\sqrt{3}) $ ，则椭圆方程是（ ）
A． $ \dfrac{{y}^{2}}{8}+\dfrac{{x}^{2}}{4}=1 $
B． $ \dfrac{{x}^{2}}{10}+\dfrac{{y}^{2}}{6}=1 $
C． $ \dfrac{{x}^{2}}{8}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1 $
D． $ \dfrac{{y}^{2}}{10}+\dfrac{{x}^{2}}{6}=1 $
根据题意可设椭圆的标准方程为 $ \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0) $ ,则 $ \begin{cases}c=2,\\ \dfrac{2}{{a}^{2}}+\dfrac{3}{{b}^{2}}=1,\\ {a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2},\end{cases} $ 得 $ {b}^{2}=4 $ , $ {a}^{2}=8 $ ,所以椭圆的方程为 $ \dfrac{{x}^{2}}{8}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
5．一个动圆与圆 $ {C}_{1}:{x}^{2}+{\left(y+3\right) ^ {2}}=1 $ 外切，与圆 $ {C}_{2}:{x}^{2}+{\left(y-3\right) ^ {2}}=81 $ 内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． $ \dfrac{{y}^{2}}{25}+\dfrac{{x}^{2}}{16}=1 $
B． $ \dfrac{{x}^{2}}{25}+\dfrac{{y}^{2}}{16}=1 $
C． $ \dfrac{{y}^{2}}{16}+\dfrac{{x}^{2}}{9}=1 $
D． $ \dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1 $
设动圆半径为 $ r $ ,圆心为 $ M $ ,根据题意可知, $ {C}_{1}(0,-3) $ , $ {r}_{1}=1 $ , $ {C}_{2}(0,3) $ , $ {r}_{2}=9 $ ,
$ \left|M{C}_{1}\right|=1+r $ , $ \left|M{C}_{2}\right|=9-r $ , $ \left|{C}_{1}{C}_{2}\right|=3-(-3)=6 $ ,则 $ \left|M{C}_{1}\right|+\left|M{C}_{2}\right|=9-r+1+r=10 > 6 $ ,故动圆圆心的轨迹为焦点在 $ y $ 轴上的椭圆,且焦点坐标为 $ {C}_{1}(0,-3) $ 和 $ {C}_{2}(0,3) $ ,其中 $ 2a=10 $ , $ a=5 $ , $ 2c=\left|{C}_{1}{C}_{2}\right|=6 $ , $ c=3 $ ,所以 $ {b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=25-9=16 $ ,
故动圆圆心的轨迹方程为 $ \dfrac{{y}^{2}}{25}+\dfrac{{x}^{2}}{16}=1 $ ,故选 $ \mathrm{A} $ .
6．在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ M $ 在 $ x $ 轴上运动，点 $ N $ 在 $ y $ 轴上运动， $ \left|MN\right|=1 $ ，且满足 $ \overrightarrow {MP}=3\overrightarrow {MN} $ ，则点 $ P $ 的轨迹方程为（ ）
A． $ \dfrac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1 $
B． $ \dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1 $
C． $ \dfrac{{y}^{2}}{9}+{x}^{2}=1 $
D． $ \dfrac{{y}^{2}}{9}+\dfrac{{x}^{2}}{4}=1 $
设 $ M(a,0) $ , $ N(0,b) $ , $ P(x,y) $ ,因为 $ \left|MN\right|=1 $ ,所以 $ {a}^{2}+{b}^{2}=1 $ ,因为 $ \overrightarrow {MP}=3\overrightarrow {MN} $ , $ \overrightarrow {MP}=(x-a,y) $ , $ \overrightarrow {MN}=(-a,b) $ ,所以 $ \begin{cases}x-a=-3a,\\ y=3b,\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}a=-\dfrac{x}{2},\\ b=\dfrac{y}{3},\end{cases} $ 代入 $ {a}^{2}+{b}^{2}=1 $ ,得 $ \dfrac{{y}^{2}}{9}+\dfrac{{x}^{2}}{4}=1 $ .所以点 $ P $ 的轨迹方程为 $ \dfrac{{y}^{2}}{9}+\dfrac{{x}^{2}}{4}=1 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
7．设 $ {F}_{1} $ , $ {F}_{2} $ 分别为椭圆 $ C:\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ 的两个焦点，过 $ {F}_{1} $ 且不与坐标轴重合的直线 $ l $ 交椭圆 $ C $ 于 $ A $ , $ B $ 两点，则 $ △AB{F}_{2} $ 的周长为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
如图，不妨令 $ {F}_{1} $ , $ {F}_{2} $ 分别为椭圆 $ C $ 的左、右焦点， $ △AB{F}_{2} $ 的周长 $ L=|AB|+|A{F}_{2}|+|B{F}_{2}|=|A{F}_{1}|+|A{F}_{2}|+|B{F}_{1}|+|B{F}_{2}|=4a $ ，
又由椭圆 $ C:\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ ，得 $ a=2 $ ，所以 $ △AB{F}_{2} $ 的周长为8，故选 $ \mathrm{B} $ .
8．若方程 $ \dfrac{{x}^{2}}{7-m}+\dfrac{{y}^{2}}{m-1}=1 $ 表示焦点在 $ y $ 轴上的椭圆，则实数 $ m $ 的取值范围是（ ）
A． $ (-\mathrm{\infty },1) $
B． $ (1,4) $
C． $ (4,7) $
D． $ (7,+\mathrm{\infty }) $
因为方程 $ \dfrac{{x}^{2}}{7-m}+\dfrac{{y}^{2}}{m-1}=1 $ 表示焦点在 $ y $ 轴上的椭圆，所以 $ \begin{cases}m-1 > 7-m,\\ 7-m > 0,\end{cases} $ 解得 $ 4 < m < 7 $ ，即 $ m\in (4,7) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
9．已知椭圆 $ C:\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ 的左焦点为 $ F $ ， $ Q $ 为椭圆 $ C $ 上任意一点，若点 $ H(1,1) $ ，则 $ \left|QH\right|+\left|QF\right| $ 的最大值为（ ）
A．4
B．3
C．6
D．5
因为椭圆 $ C:\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ ,所以 $ a=2 $ , $ b=\sqrt{3} $ , $ c=1 $ , $ F(-1,0) $ ,则椭圆的右焦点为 $ F^\prime (1,0) $ ,由椭圆的定义得 $ \left|QH\right|+\left|QF\right|=\left|QH\right|+2a-\left|QF\prime \right|\leqslant \left|HF\prime \right|+2a=5 $ ,当点 $ Q $ 在点 $ Q^\prime $ 处时取等号,所以 $ \left|QH\right|+\left|QF\right| $ 的最大值为5,故选 $ \mathrm{D} $ .
1．已知椭圆 $ C：\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0) $ ， $ {P}_{1}(1,1) $ ， $ {P}_{2}(0,1) $ ， $ {P}_{3}(-1 $ , $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}) $ ， $ {P}_{4}(1,\dfrac{\sqrt{3}}{2}) $ 四点中恰有三个点在椭圆 $ C $ 上，则这三个点是（ ）
A． $ {P}_{1} $ ， $ {P}_{2} $ ， $ {P}_{3} $
B． $ {P}_{1} $ ， $ {P}_{2} $ ， $ {P}_{4} $
C． $ {P}_{1} $ ， $ {P}_{3} $ ， $ {P}_{4} $
D． $ {P}_{2} $ ， $ {P}_{3} $ ， $ {P}_{4} $
因为 $ {P}_{3} $ , $ {P}_{4} $ 两点关于 $ y $ 轴对称，所以椭圆经过 $ {P}_{3} $ , $ {P}_{4} $ 两点，又因为 $ \dfrac{1}{{a}^{2}}+\dfrac{1}{{b}^{2}} > \dfrac{1}{{a}^{2}}+\dfrac{3}{4{b}^{2}} $ ，所以椭圆不经过 $ {P}_{1} $ 点，故椭圆经过 $ {P}_{2} $ ， $ {P}_{3} $ ， $ {P}_{4} $ 点，故选 $ \mathrm{D} $ .
2．已知椭圆 $ C：\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0) $ 的左、右焦点分别为 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ ，点 $ M(0,b) $ ，若 $ \mathrm{\angle }{F}_{1}M{F}_{2}=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ，且 $ △{F}_{1}M{F}_{2} $ 的面积为 $ \sqrt{3} $ ，则 $ C $ 的标准方程为（ ）
A． $ \dfrac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1 $
B． $ \dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $
C． $ \dfrac{{x}^{2}}{8}+\dfrac{{y}^{2}}{2}=1 $
D． $ \dfrac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1 $
由题设知 $ {S}_{△{F}_{1}M{F}_{2}}=\dfrac{1}{2}\left|M{F}_{1}\right|\cdot \left|M{F}_{2}\right| \sin \mathrm{\angle }{F}_{1}M{F}_{2}=\dfrac{1}{2}\left|M{F}_{1}\right|\cdot \left|M{F}_{2}\right| \sin \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}=\sqrt{3} $ ，
可得 $ \left|M{F}_{1}\right|\cdot \left|M{F}_{2}\right|=4 $ .又 $ \left|M{F}_{1}\right|=\left|M{F}_{2}\right| $ ，则 $ \left|M{F}_{1}\right|=\left|M{F}_{2}\right|=a=2 $ ，
故 $ \left|{F}_{1}{F}_{2}\right|= $
$ \sqrt{{\left|M{F}_{1}\right|}^{2}+{\left|M{F}_{2}\right|}^{2}-2\left|M{F}_{1}\right|\cdot \left|M{F}_{2}\right| \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}}=2\sqrt{3} $ ，
所以 $ c=\sqrt{3} $ ，则 $ {b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=1 $ ，故 $ C $ 的标准方程为 $ \dfrac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
3．已知 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ 是椭圆 $ C：\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{5}=1 $ 的两个焦点， $ P $ 为 $ C $ 上一点，且 $ △P{F}_{1}{F}_{2} $ 的内切圆半径为 $ \dfrac{2}{5} $ ，若 $ P $ 在第一象限，则点 $ P $ 的纵坐标为（ ）
A． $ \dfrac{2}{3} $
B．1
C． $ \dfrac{5}{3} $
D． $ \dfrac{9}{4} $
由题知, $ a=3 $ , $ b=\sqrt{5} $ , $ c=\sqrt{9-5}=2 $ ,所以 $ \left|P{F}_{1}\right|+\left|P{F}_{2}\right|+\left|{F}_{1}{F}_{2}\right|=2a+2c=6+4=10 $ .设 $ △P{F}_{1}{F}_{2} $ 的内切圆半径为 $ r $ ,因为 $ \dfrac{1}{2}(\left|P{F}_{1}\right|+\left|P{F}_{2}\right|+\left|{F}_{1}{F}_{2}\right|)×\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{2}\left|{F}_{1}{F}_{2}\right|{y}_{P} $ ,所以 $ \dfrac{1}{2}×10×\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{2}×4{y}_{P} $ ,得 $ {y}_{P}=1 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
4．已知椭圆 $ C：\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ 的左、右焦点分别为 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ ， $ M $ 为 $ C $ 上任意一点， $ N $ 为圆 $ E：(x-5)^{2}+(y-4)^{2}=1 $ 上任意一点，则 $ |MN|-|M{F}_{1}| $ 的最小值为（ ）
A． $ 2\sqrt{13}-1 $
B． $ 4\sqrt{2}-5 $
C． $ 4\sqrt{2}+5 $
D． $ 2\sqrt{13}+1 $
如图，连接 $ M{F}_{2} $ , $ EM $ , $ EN $ , $ N{F}_{2} $ , $ M $ 为椭圆 $ C $ 上任意一点，则 $ |M{F}_{1}|+|M{F}_{2}|=4 $ ，
又因为 $ N $ 为圆 $ E：(x-5)^{2}+(y-4)^{2}=1 $ 上任意一点，
所以 $ |MN|-|M{F}_{1}|=|MN|-(4-|M{F}_{2}|)=|MN|+|M{F}_{2}|-4\geqslant |{F}_{2}N|-4\geqslant |E{F}_{2}|-5 $ ，
当且仅当 $ M $ ， $ N $ ， $ E $ ， $ {F}_{2} $ 共线且点 $ M $ ， $ N $ 在线段 $ E{F}_{2} $ 上时等号成立.
由题意知， $ {F}_{2}(1,0) $ ， $ E(5,4) $ ，则 $ |E{F}_{2}|=\sqrt{(5-1)^{2}+(4-0)^{2}}=4\sqrt{2} $ ，
所以 $ |MN|-|M{F}_{1}| $ 的最小值为 $ 4\sqrt{2}-5 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
5．［四川达州一中2026高二月考］已知椭圆 $ C:\dfrac{{x}^{2}}{25}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1 $ 的左、右焦点分别为 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ ，点 $ P $ 在椭圆 $ C $ 上且不在 $ x $ 轴上，则下列说法正确的是（ ）（多选）
A． $ △P{F}_{1}{F}_{2} $ 的周长为16
B． $ △P{F}_{1}{F}_{2} $ 面积的最大值为12
C．存在点 $ P $ ，使得 $ \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_{2}={90}^{\circ } $
D． $ \left|P{F}_{1}\right|\cdot \left|P{F}_{2}\right| $ 的取值范围为 $ (9,25] $
由椭圆 $ C $ 的方程可得 $ a=5 $ , $ b=3 $ , $ c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=4 $ .
对于 $ \mathrm{A} $ : $ △P{F}_{1}{F}_{2} $ 的周长为 $ \left|P{F}_{1}\right|+\left|P{F}_{2}\right|+\left|{F}_{1}{F}_{2}\right|=2a+2c=18 $ , $ \mathrm{A} $ 错误；对于 $ \mathrm{B} $ :设 $ P({x}_{0},{y}_{0}) $ , $ 0 < \left|{y}_{0}\right|\leqslant 3 $ ,则 $ {S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\dfrac{1}{2}\left|{F}_{1}{F}_{2}\right|\cdot \left|{y}_{0}\right|\leqslant 4×3=12 $ , $ \mathrm{B} $ 正确；对于 $ \mathrm{C} $ :由 $ c > b $ ,得以原点 $ O $ 为圆心, $ c $ 为半径的圆与椭圆相交,当 $ P $ 为此交点时, $ \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_{2}={90}^{\circ } $ ,因此存在点 $ P $ ,使得 $ \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_{2}={90}^{\circ } $ , $ \mathrm{C} $ 正确；对于 $ \mathrm{D} $ : $ \left|P{F}_{1}\right|=\sqrt{{\left({x}_{0}+4\right) ^ {2}}+{y}_{0}^{2}}=\sqrt{{x}_{0}^{2}+8{x}_{0}+16+9-\dfrac{9{x}_{0}^{2}}{25}}=\sqrt{\dfrac{16{x}_{0}^{2}}{25}+8{x}_{0}+25}=5+\dfrac{4}{5}{x}_{0} $ ,又 $ {x}_{0}\in (-5,5) $ ,所以 $ 5+\dfrac{4}{5}{x}_{0}\in (1,9) $ , $ \left|P{F}_{1}\right|\cdot \left|P{F}_{2}\right|=\left|P{F}_{1}\right|(10-\left|P{F}_{1}\right|)=-{\left(\left|P{F}_{1}\right|-5\right) ^ {2}}+25\in (9,25] $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .
6．如图，把椭圆 $ \dfrac{{x}^{2}}{25}+\dfrac{{y}^{2}}{16}=1 $ 的长轴 $ AB $ 分成8等份，过每个分点作 $ x $ 轴的垂线交椭圆的上半部分于 $ {P}_{1} $ ， $ {P}_{2} $ ， $ \cdots $ ， $ {P}_{7} $ 七个点， $ F $ 是椭圆的左焦点，则 $ \left|{P}_{1}F\right|+\left|{P}_{2}F\right|+\cdots +\left|{P}_{7}F\right|= $ .
35
设椭圆的右焦点为 $ F^\prime $ ,则由椭圆的对称性知, $ \left|{P}_{1}F\right|=\left|{P}_{7}F^\prime \right| $ , $ \left|{P}_{2}F\right|=\left|{P}_{6}F^\prime \right| $ , $ \left|{P}_{3}F\right|=\left|{P}_{5}F^\prime \right| $ ,
则原式 $ =(\left|{P}_{7}F\right|+\left|{P}_{7}F^\prime \right|)+(\left|{P}_{6}F\right|+\left|{P}_{6}F^\prime \right|)+(\left|{P}_{5}F\right|+\left|{P}_{5}F^\prime \right|)+\left|{P}_{4}F\right|=7a=35 $ .
7．已知椭圆 $ C:\dfrac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0) $ 的上、下焦点分别为 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ ， $ O $ 为坐标原点， $ Q $ 是 $ C $ 上一动点， $ |Q{F}_{1}|+|Q{F}_{2}|=2\sqrt{5} $ ， $ △Q{F}_{1}{F}_{2} $ 的周长为 $ 2\sqrt{5}+4 $ .
（1） 求椭圆 $ C $ 的标准方程；
（2） 证明：无论动点 $ Q $ 在 $ C $ 上如何运动， $ |\overrightarrow {Q{F}_{1}}|\cdot |\overrightarrow {Q{F}_{2}}|+{|\overrightarrow {OQ}|}^{2} $ 恒为一个常数.
（1） 【解】由已知 $ |Q{F}_{1}|+|Q{F}_{2}|=2\sqrt{5} $ ，则 $ 2a=2\sqrt{5} $ ，即 $ a=\sqrt{5} $ ，又 $ △Q{F}_{1}{F}_{2} $ 的周长为 $ |Q{F}_{1}|+|Q{F}_{2}|+|{F}_{1}{F}_{2}|=2\sqrt{5}+4 $ ，
得 $ |{F}_{1}{F}_{2}|=2c=4 $ ，则 $ c=2 $ ，则 $ {b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=1 $ ，故椭圆 $ C $ 的标准方程为 $ \dfrac{{y}^{2}}{5}+{x}^{2}=1 $ .
（2） 【证明】由（1）可知 $ {F}_{1}(0,2) $ ， $ {F}_{2}(0,-2) $ ，设 $ Q(x,y) $ ，则 $ \overrightarrow {Q{F}_{1}}=(-x,2-y) $ ，
$ \overrightarrow {Q{F}_{2}}=(-x,-2-y) $ ， $ \overrightarrow {OQ}=(x,y) $ ，
$ |\overrightarrow {Q{F}_{1}}{|}^{2}+{|\overrightarrow {Q{F}_{2}}|}^{2}={x}^{2}+{\left(2-y\right) ^ {2}}+{x}^{2}+{\left(-2-y\right) ^ {2}}=2({x}^{2}+{y}^{2})+8=2{|\overrightarrow {OQ}|}^{2}+8 $ ，
又 $ {\left(|\overrightarrow {Q{F}_{1}}|+|\overrightarrow {Q{F}_{2}}|\right) ^ {2}}={|\overrightarrow {Q{F}_{1}}|}^{2}+{|\overrightarrow {Q{F}_{2}}|}^{2}+2|\overrightarrow {Q{F}_{1}}|\cdot |{\overrightarrow {QF}}_{2}|=20 $ ，即 $ 2{|\overrightarrow {OQ}|}^{2}+8+2|\overrightarrow {Q{F}_{1}}|\cdot |{\overrightarrow {QF}}_{2}|=20 $ ，
即 $ |\overrightarrow {Q{F}_{1}}|\cdot |\overrightarrow {Q{F}_{2}}|+{|\overrightarrow {OQ}|}^{2}=6 $ ，所以无论动点 $ Q $ 在 $ C $ 上如何运动， $ |\overrightarrow {Q{F}_{1}}|\cdot |\overrightarrow {Q{F}_{2}}|+{|\overrightarrow {OQ}|}^{2} $ 恒为一个常数.
8．与椭圆 $ \dfrac{{x}^{2}}{63}+\dfrac{{y}^{2}}{38}=1 $ 有相等的焦距，且过圆 $ {x}^{2}+{y}^{2}-6x-8y=0 $ 的圆心的椭圆的标准方程为 .
$ \dfrac{{x}^{2}}{45}+\dfrac{{y}^{2}}{20}=1 $ 或 $ \dfrac{{x}^{2}}{15}+\dfrac{{y}^{2}}{40}=1 $
设所求椭圆的长轴长为 $ 2a $ ,短轴长为 $ 2b $ .
由题意可知 $ {x}^{2}+{y}^{2}-6x-8y=0⇒(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=25 $ ，即其圆心为 $ (3,4) $ .
因为椭圆 $ \dfrac{{x}^{2}}{63}+\dfrac{{y}^{2}}{38}=1 $ 的焦距为 $ 2\sqrt{63-38}=10 $ ，所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为 $ (±5,0) $ 或 $ (0,±5) $ .
若焦点为 $ (5,0) $ , $ (-5,0) $ ，则圆心 $ (3,4) $ 到两焦点的距离之和为 $ \sqrt{ (5-3)^{2}+ (0-4)^{2}}+\sqrt{ (-5-3)^{2}+{\left(0-4 \right) ^ {2}}}=6\sqrt{5}=2a $ ，则 $ {a}^{2}=45 $ , $ {b}^{2}=20 $ ,所以对应椭圆方程为 $ \dfrac{{x}^{2}}{45}+\dfrac{{y}^{2}}{20}=1 $ ；
若焦点为 $ (0,5) $ , $ (0,-5) $ ，则圆心 $ (3,4) $ 到两焦点的距离之和为 $ \sqrt{{\left(0-3\right) ^ {2}}+{\left(5-4\right) ^ {2}}}+\sqrt{{\left(0-3\right) ^ {2}}+{\left(-5-4\right) ^ {2}}}=4\sqrt{10}=2a $ ，则 $ {a}^{2}=40 $ , $ {b}^{2}=15 $ ,所以对应椭圆方程为 $ \dfrac{{x}^{2}}{15}+\dfrac{{y}^{2}}{40}=1 $ .