课时1 椭圆的简单几何性质

由 $ 9{x}^{2}+{y}^{2}=36 $ 得 $ \dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{36}=1 $ ,得到椭圆的离心率为 $ \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $ ；由 $ {x}^{2}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1 $ 得椭圆的离心率为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ；由 $ \dfrac{{x}^{2}}{16}+\dfrac{{y}^{2}}{7}=1 $ ,得椭圆的离心率为 $ \dfrac{3}{4} $ ；由 $ \dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ 得椭圆的离心率为 $ \dfrac{1}{2} $ .而离心率越小,椭圆形状越接近于圆,故 $ \mathrm{D} $ 符合题意.故选 $ \mathrm{D} $ .

椭圆 $ C：\dfrac{{x}^{2}}{m}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1(m > 0) $ 的离心率为 $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ,

当椭圆焦点在 $ x $ 轴上时, $ \dfrac{\sqrt{m-4}}{\sqrt{m}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ,解得 $ m=8 $ ；

当椭圆焦点在 $ y $ 轴上时, $ \dfrac{\sqrt{4-m}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ,解得 $ m=2 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

易知椭圆 $ \dfrac{{x}^{2}}{25}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1 $ 的长轴长、短轴长分别为 $ 2\sqrt{25}=10 $ , $ 2\sqrt{9}=6 $ ,离心率为 $ \sqrt{\dfrac{25-9}{25}}=\dfrac{4}{5} $ ,焦距为 $ 2\sqrt{25-9}=8 $ .椭圆 $ \dfrac{{x}^{2}}{25-k}+\dfrac{{y}^{2}}{9-k}=1(k < 9) $ 的长轴长、短轴长分别为 $ 2\sqrt{25-k} $ , $ 2\sqrt{9-k} $ ,离心率为 $ \sqrt{\dfrac{25-k-(9-k)}{25-k}}=\dfrac{4}{\sqrt{25-k}} $ ,焦距为 $ 2\sqrt{25-k-(9-k)}=8 $ .又 $ k < 9 $ ,显然两椭圆只有焦距相等.故选 $ \mathrm{D} $ .

由椭圆的对称性可知 $ \left|AB\right|=\left|CD\right| $ , $ \left|A{F}_{1}\right|=\left|D{F}_{2}\right| $ , $ \left|B{F}_{1}\right|=\left|C{F}_{2}\right| $ .设点 $ A({x}_{1},{y}_{1}) $ , $ B({x}_{2},{y}_{2}) $ ,所以 $ \left|A{F}_{1}\right|+\left|C{F}_{2}\right|=\left|AB\right| $ ,想求 $ \left|A{F}_{1}\right|+\left|C{F}_{2}\right| $ 的最小值,只需求 $ \left|AB\right| $ 的最小值,

而过椭圆 $ C:\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ 焦点的最短弦长为 $ \dfrac{2{b}^{2}}{a}=3 $ ,故 $ \left|A{F}_{1}\right|+\left|C{F}_{2}\right| $ 的最小值为3.

由椭圆方程 $ \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}=1(a > 1) $ ,得 $ c=\sqrt{{a}^{2}-({a}^{2}-1)}=1 $ ,则 $ {F}_{1}(-1,0) $ , $ {F}_{2}(1,0) $ .

由题可知,点 $ (0,b ) (b $ 为椭圆的短半轴长 $ ) $ 是 $ △A{F}_{1}{F}_{2} $ 的重心,则 $ b=6×\dfrac{1}{3}=2 $ ,故长轴长 $ 2a=2\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}=2\sqrt{5} $ .

因为点 $ P $ 到焦点 $ {F}_{2} $ 的最大距离为7,最小距离为3,所以 $ \begin{cases}a+c=7,\\ a-c=3,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a=5,\\ c=2,\end{cases} $ 则椭圆的离心率 $ e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2}{5} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

焦点三角形的周长为 $ 2(a+c) $ ，由题意得一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的面积为 $ \dfrac{1}{2}b×2c=bc $ ，又其内切圆半径为 $ \dfrac{b}{3} $ ，所以 $ bc=\dfrac{1}{2}×\dfrac{b}{3}×2(a+c)=\dfrac{b(a+c)}{3} $ ，得 $ 2c=a $ ，则 $ e=\dfrac{1}{2} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

如图,作出符合题意的图形,找到椭圆的右焦点 $ F^\prime $ ,连接 $ AF\prime $ , $ BF\prime $ ,由椭圆的对称性可得四边形 $ AFBF\prime $ 是平行四边形,因为 $ AF\perp BF $ ,所以四边形 $ AFBF\prime $ 是矩形,可得 $ \left|OA\right|=\left|OF\prime \right|=c $ .因为直线 $ AB $ 的方程为 $ y=\sqrt{3}x $ ,所以 $ \mathrm{\angle }AOF\prime ={60}^{\circ } $ ,则 $ △OAF\prime $ 是等边三角形.由矩形的性质得 $ \mathrm{\angle }FAF\prime ={90}^{\circ } $ ,由等边三角形的性质得 $ \mathrm{\angle }AF\prime O={60}^{\circ } $ , $ \left|AF\prime \right|=c $ ,结合题意可得 $ \left|AF\right|=\sqrt{3}c $ .由椭圆的定义得 $ \left|AF\prime \right|+\left|AF\right|=2a $ ,则 $ c+\sqrt{3}c=2a $ ,则离心率 $ e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{3}-1 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

将 $ x=-c $ 代入 $ y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+c) $ 得 $ y=0 $ ,所以直线 $ y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+c) $ 过左焦点 $ {F}_{1} $ .

由题知, $ \tan \mathrm{\angle }P{F}_{1}{F}_{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ , $ \mathrm{\angle }P{F}_{1}{F}_{2}\in [0,\mathrm{\pi }) $ ,所以 $ \mathrm{\angle }P{F}_{1}{F}_{2}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ,又 $ \mathrm{\angle }{F}_{1}{F}_{2}P=4\mathrm{\angle }P{F}_{1}{F}_{2} $ ,所以 $ \mathrm{\angle }{F}_{1}{F}_{2}P=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ,所以 $ \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_{2}=\mathrm{\pi }-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\mathrm{\angle }P{F}_{1}{F}_{2} $ ,故 $ \left|P{F}_{2}\right|=\left|{F}_{1}{F}_{2}\right|=2c $ ,由椭圆定义可得 $ \left|P{F}_{1}\right|=2a-\left|P{F}_{2}\right|=2a-2c $ .在 $ △P{F}_{1}{F}_{2} $ 中,由余弦定理可得 $ {\left(2a-2c\right) ^ {2}}={\left(2c\right) ^ {2}}+{\left(2c\right) ^ {2}}-2×2c×2c \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ,即 $ 2{c}^{2}+2ac-{a}^{2}=0 $ ,即 $ 2{\rm {\rm e}}^{2}+2{\rm e}-1=0 $ ,解得 $ e=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2} $ （负值舍去）.

由 $ |P{F}_{2}|=|{F}_{1}{F}_{2}| $ ，且 $ \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_{2}={60}^{\circ } $ ，得 $ △{F}_{1}P{F}_{2} $ 为等边三角形，则点 $ P $ 在线段 $ {F}_{1}{F}_{2} $ 的垂直平分线上，即 $ y $ 轴上，令椭圆半焦距为 $ c $ ，则 $ P(0,\sqrt{3}c) $ ，而点 $ A(-a,0) $ ，且直线 $ AP $ 的斜率为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{4} $ ，因此 $ \dfrac{\sqrt{3}c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{4} $ ，

所以 $ C $ 的离心率 $ e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{4} $ .

因为以原点为圆心，椭圆 $ C:\dfrac{{x}^{2}}{9}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(b > 0) $ 短半轴长为半径的圆与直线 $ y=\sqrt{3}x+4 $ 相交，所以 $ \dfrac{4}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right) ^ {2}}+{\left(-1\right) ^ {2}}}} < b $ ，解得 $ b > 2 $ .又椭圆焦点在 $ x $ 轴上，则 $ b < a=3 $ ，则 $ 2 < b < 3 $ ，则椭圆 $ C $ 的离心率 $ e=\dfrac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\dfrac{\sqrt{9-{b}^{2}}}{3}\in (0,\dfrac{\sqrt{5}}{3}) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设点 $ M({x}_{0},{y}_{0}) $ ，则 $ {y}_{0}\ne 0 $ ，且 $ \dfrac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1 $ ，可得 $ {x}_{0}^{2}={a}^{2}-\dfrac{{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}} $ ，

易知 $ A(-a,0) $ ， $ B(a,0) $ ，所以 $ {k}_{AM}{k}_{BM}=\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}\cdot \dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}=\dfrac{{y}_{0}^{2}}{({a}^{2}-\dfrac{{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}})-{a}^{2}}=-\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}} $ ，所以 $ -\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}} > -\dfrac{1}{4} $ ，可得 $ 0 < \dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}} < \dfrac{1}{4} $ ，故 $ e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{\dfrac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}\in (\dfrac{\sqrt{3}}{2},1) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

如图，若在椭圆 $ {C}_{1} $ 上存在点 $ P $ ，过点 $ P $ 作圆的切线 $ PA $ ， $ PB $ ，切点为 $ A $ ， $ B $ ，使得 $ \mathrm{\angle }BPA=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ，

连接 $ OA $ , $ OB $ , $ OP $ ,

则 $ \mathrm{\angle }APO=\mathrm{\angle }BPO=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ,

在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△OAP $ 中， $ \mathrm{\angle }AOP=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,

$ \therefore \cos \mathrm{\angle }AOP=\dfrac{b}{|OP|}=\dfrac{1}{2} $ ,

$ \therefore |OP|=2b $ .

又 $ b < |OP|\leqslant a $ , $ \therefore 2b\leqslant a $ ,

$ \therefore 4{b}^{2}\leqslant {a}^{2} $ ,即 $ 4({a}^{2}-{c}^{2})\leqslant {a}^{2} $ ,即 $ 3{a}^{2}\leqslant 4{c}^{2} $ ,即 $ \dfrac{{c}^{2}}{{a}^{2}}\geqslant \dfrac{3}{4} $ , $ \therefore e\geqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ .

又因为 $ e < 1 $ ，所以椭圆 $ {C}_{1} $ 的离心率的取值范围是 $ [\dfrac{\sqrt{3}}{2},1) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ \overrightarrow {AB}=4\overrightarrow {OF} $ , $ F(c,0) $ ,所以 $ A(-2c,m) $ ,令 $ P({x}_{0},{y}_{0}) $ ,因为 $ \overrightarrow {AF}=n\overrightarrow {AP} $ ,所以 $ \begin{cases}{x}_{0}=\left(\dfrac{3}{n}-2\right)c,\\ {y}_{0}=\left(1-\dfrac{1}{n}\right)m,\end{cases} $

由点 $ A $ , $ P $ 都在椭圆 $ C $ 上,得 $ \begin{cases}\dfrac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{m}^{2}}{{b}^{2}}=1,\\ \dfrac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{\left(\dfrac{3}{n}-2\right)}^{2}+\dfrac{{m}^{2}}{{b}^{2}}{\left(1-\dfrac{1}{n}\right)}^{2}=1,\end{cases} $

结合 $ e=\dfrac{c}{a} $ ,解得 $ \begin{cases}{m}^{2}=\left(1-4{\rm {\rm e}}^{2}\right){b}^{2},\\ n=\dfrac{5{\rm {\rm e}}^{2}+1}{4{\rm {\rm e}}^{2}+2},\end{cases} $

因为 $ m > 0 $ , $ \dfrac{2}{3}\leqslant n\leqslant \dfrac{3}{4} $ ,

所以 $ \begin{cases}\left(1-4{\rm {\rm e}}^{2}\right){b}^{2} > 0,\\ \dfrac{2}{3}\leqslant \dfrac{5{\rm {\rm e}}^{2}+1}{4{\rm {\rm e}}^{2}+2}\leqslant \dfrac{3}{4},\end{cases} $

解得 $ \begin{cases}0 < e < \dfrac{1}{2},\\ \dfrac{\sqrt{7}}{7}\leqslant e\leqslant \dfrac{1}{2},\end{cases} $ 所以 $ \dfrac{\sqrt{7}}{7}\leqslant e < \dfrac{1}{2} $ .

所以椭圆 $ C $ 的离心率的取值范围为 $ [\dfrac{\sqrt{7}}{7},\dfrac{1}{2}) $ .

由题知 $ a=\sqrt{2} $ , $ b=c=1 $ .设 $ P({x}_{0},{y}_{0}) $ ,则 $ \overrightarrow {P{F}_{1}}=(-1-{x}_{0},-{y}_{0}) $ , $ \overrightarrow {P{F}_{2}}=(1-{x}_{0},-{y}_{0}) $ , $ \therefore \overrightarrow {P{F}_{1}}+\overrightarrow {P{F}_{2}}=(-2{x}_{0},-2{y}_{0}) $ , $ \therefore \left|\overrightarrow {P{F}_{1}}+\overrightarrow {P{F}_{2}}\right|=\sqrt{4{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}}=2\sqrt{2-2{y}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}=2\sqrt{-{y}_{0}^{2}+2} $ ．点 $ P $ 在椭圆上, $ \therefore 0\leqslant {y}_{0}^{2}\leqslant 1 $ , $ \therefore $ 当 $ {y}_{0}^{2}=1 $ 时, $ |\overrightarrow {P{F}_{1}}+\overrightarrow {P{F}_{2}}| $ 取得最小值2.故选C.

设 $ M({x}_{0},{y}_{0})(-2 < {x}_{0} < 2) $ ,则 $ \dfrac{{x}_{0}^{2}}{4}+\dfrac{{y}_{0}^{2}}{3}=1 $ .①

$ \overrightarrow {MP}=(t-{x}_{0},-{y}_{0}) $ , $ \overrightarrow {MH}=(2-{x}_{0},-{y}_{0}) $ ,

由 $ MP\perp MH $ 可得 $ \overrightarrow {MP}\cdot \overrightarrow {MH}=0 $ ,即 $ (t-{x}_{0})(2-{x}_{0})+{y}_{0}^{2}=0 $ .②

由①②消去 $ {y}_{0} $ ,整理得 $ t({x}_{0}-2)=\dfrac{1}{4}({x}_{0}-2)({x}_{0}-6) $ .

因为 $ {x}_{0}\ne 2 $ ,所以 $ t=\dfrac{1}{4}{x}_{0}-\dfrac{3}{2} $ .

又因为 $ -2 < {x}_{0} < 2 $ ,所以 $ -2 < t < -1 $ .

所以实数 $ t $ 的取值范围为 $ (-2,-1) $ .