3.3.1 抛物线及其标准方程

由题可得点 $ P $ 的横坐标为4,抛物线 $ {y}^{2}=8x $ 的准线方程为 $ x=-2 $ ,则点 $ P $ 到准线的距离为 $ 4+2=6 $ ,所以点 $ P $ 到该抛物线焦点的距离是6.故选 $ \mathrm{C} $ .

由图可知,点 $ M $ 到点 $ F $ 的距离比到直线 $ l $ 的距离大1,记直线 $ x=3 $ 为直线 $ l^\prime $ ,则点 $ M $ 到点 $ F $ 的距离等于点 $ M $ 到直线 $ l^\prime $ 的距离,由抛物线的定义可知,点 $ M $ 的轨迹为顶点在原点,且开口向左的抛物线,其中 $ p=6 $ ,所以点 $ M $ 的轨迹方程为 $ {y}^{2}=-12x $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

由题意知， $ F(1,0) $ ，由抛物线的定义知， $ |PF|={x}_{P}+\dfrac{p}{2}={x}_{P}+1=8 $ ，得 $ {x}_{P}=7 $ ，即点 $ P $ 的横坐标为7.故选 $ \mathrm{C} $ .

依题意设抛物线方程为 $ {y}^{2}=±2px(p > 0) $ .因为焦点到准线的距离为4，所以 $ p=4 $ ，所以 $ 2p=8 $ ，所以抛物线方程为 $ {y}^{2}=8x $ 或 $ {y}^{2}=-8x $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

点 $ (-2,2) $ 在第二象限.当焦点在 $ y $ 轴上时，可设抛物线的标准方程为 $ {x}^{2}=2py(p > 0) $ ，

把 $ (-2,2) $ 的坐标代入解得 $ p=1 $ ，所以抛物线的标准方程为 $ {x}^{2}=2y $ .

当焦点在 $ x $ 轴上时，可设抛物线的标准方程为 $ {y}^{2}=-2nx(n > 0) $ ，

把 $ (-2,2) $ 的坐标代入解得 $ n=1 $ ，所以抛物线的标准方程为 $ {y}^{2}=-2x $ .

故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意,抛物线 $ y=\dfrac{4}{3}{x}^{2} $ 的标准方程为 $ {x}^{2}=\dfrac{3}{4}y $ ,所以抛物线的开口向上,准线在 $ x $ 轴下方.由 $ 2p=\dfrac{3}{4} $ 得 $ p=\dfrac{3}{8} $ ,所以 $ -\dfrac{p}{2}=-\dfrac{3}{16} $ ,所以抛物线 $ y=\dfrac{4}{3}{x}^{2} $ 的准线方程为 $ y=-\dfrac{3}{16} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由抛物线 $ y=\dfrac{1}{4}{x}^{2} $ ,可得 $ {x}^{2}=4y $ ,则焦点 $ F(0,1) $ ,准线方程为 $ y=-1 $ .因为点 $ P(m,n) $ 到其焦点 $ F $ 的距离为3,根据抛物线的定义,可得点 $ P $ 到准线的距离为3,即 $ n-(-1)=3 $ ,解得 $ n=2 $ ,所以 $ {m}^{2}=8 $ ,因为 $ m > 0 $ ,所以 $ m=2\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题知 $ F(1,0) $ ，准线 $ l:x=-1 $ ，设准线 $ l $ 与 $ x $ 轴的交点为C，点 $ P $ 在D上，则由抛物线的定义及已知得 $ \left|PA\right|=\left|AF\right|=\left|PF\right| $ ，则 $ △PAF $ 为等边三角形，如图所示.

方法一：因为 $ \mathrm{\angle }APF=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ AP//x $ 轴，所以直线 $ PF $ 的斜率 $ k=\sqrt{3} $ ，所以直线 $ PF:y=\sqrt{3}(x-1) $ ，由 $ \begin{cases}{y}^{2}=4x,\\ y=\sqrt{3}\left(x-1\right),\end{cases} $ 解得 $ P(3,2\sqrt{3}) $ 或 $ P(\dfrac{1}{3},-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}) $ （舍去），

所以 $ \left|PF\right|={x}_{P}+\dfrac{p}{2}=3+1=4 $ .故选D.

方法二：在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△ACF $ 中， $ \left|CF\right|=2 $ , $ \mathrm{\angle }AFC=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ，则 $ \left|AF\right|=\left|PF\right|=4 $ .故选D.

方法三：过 $ F $ 作 $ FB\perp AP $ 于点B，则B为 $ AP $ 的中点，因为 $ \left|AB\right|=2 $ ，所以 $ \left|AP\right|=\left|PF\right|=4 $ .故选D.

如图，过点 $ A $ 作准线的垂线，垂足为 $ D $ ，结合抛物线定义，设 $ |AD|=|AF|=m $ ， $ \tan \mathrm{\angle }BAD=2\sqrt{2} $ ，

由 $ \begin{cases} \sin \mathrm{\angle }BAD=2\sqrt{2} \cos \mathrm{\angle }BAD,\\ { \sin }^{2}\mathrm{\angle }BAD+{ \cos }^{2}\mathrm{\angle }BAD=1,\end{cases} $

得 $ \cos \mathrm{\angle }BAD=\dfrac{1}{3} $ ，则 $ |AB|=3m $ ，

因此 $ |BF|=m+3m=8 $ ，所以 $ |AF|=m=2 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

如图，抛物线的焦点为 $ F(0,1) $ ,连接 $ MF $ ,根据抛物线的定义可知，点 $ M $ 到 $ l $ 的距离等于 $ |MF| $ ,

所以点 $ M $ 到 $ l $ 与到直线 $ 2x-y-5=0 $ 的距离之和即为 $ |MF| $ 与点 $ M $ 到直线 $ 2x-y-5=0 $ 的距离之和，

由图可知， $ |MF| $ 与点 $ M $ 到直线 $ 2x-y-5=0 $ 的距离之和的最小值为焦点 $ F(0,1) $ 到直线 $ 2x-y-5=0 $ 的距离，

所以 $ d=\dfrac{|2×0-1-5|}{\sqrt{4+1}}=\dfrac{6\sqrt{5}}{5} $ 即为所求.故选 $ \mathrm{D} $ .

设 $ A(\dfrac{{a}^{2}}{4},a) $ , $ B(\dfrac{{b}^{2}}{4} $ , $ b) $ ,因为 $ OA\perp AB $ ,所以 $ \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {AB}=(\dfrac{{a}^{2}}{4},a)\cdot (\dfrac{{b}^{2}-{a}^{2}}{4},b-a)=\dfrac{{a}^{2}({b}^{2}-{a}^{2})}{16}+a(b-a)=0 $ ,由题意知 $ b-a\ne 0 $ ,则 $ a(b+a)+16=0 $ ,整理得 $ b=-a-\dfrac{16}{a} $ ,由抛物线的定义得 $ \left|FA\right|+\left|FB\right|=\dfrac{{a}^{2}}{4}+1+\dfrac{{b}^{2}}{4}+1=\dfrac{{a}^{2}+\dfrac{128}{{a}^{2}}+16}{2}+2\geqslant \dfrac{2\sqrt{{a}^{2}\cdot \dfrac{128}{{a}^{2}}}+16}{2}+2=8\sqrt{2}+10 $ ,当且仅当 $ {a}^{2}=\dfrac{128}{{a}^{2}} $ ,即 $ {a}^{2}=8\sqrt{2} $ 时等号成立,所以 $ \left|FA\right|+\left|FB\right| $ 的最小值为 $ 8\sqrt{2}+10 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

如图,设抛物线的焦点为 $ F $ ,圆心为 $ C $ ,连接 $ AF $ ,则 $ F(2,0) $ , $ C(-6,-6) $ ,又圆 $ C $ 的半径 $ r=3 $ ,

由抛物线的定义可得 $ d=\left|AF\right|-2 $ ,所以 $ \left|AB\right|+d=\left|AB\right|+\left|AF\right|-2 $ ,又 $ \left|AB\right|+\left|AF\right|\geqslant \left|FC\right|-r=10-3=7 $ ,

当 $ F $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 四点共线且 $ A $ , $ B $ 在线段 $ FC $ 上时,等号成立,所以 $ \left|AB\right|+d $ 的最小值为 $ 7-2=5 $ .

设点 $ P(x,y) $ ,则点 $ M(x,-1) $ .连接 $ PF $ ,由题意知 $ \left|PF\right|=\left|PM\right| $ ,即 $ \sqrt{{x}^{2}+{\left(y-1\right) ^ {2}}}=\left|y+1\right| $ ,整理得 $ {x}^{2}=4y $ ,则曲线 $ C $ 的方程为 $ {x}^{2}=4y $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

作出示意图如图所示.

因为直线 $ BF $ 的倾斜角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,所以 $ \mathrm{\angle }AFO=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,过点 $ A $ 作 $ AM $ 垂直准线于点 $ M $ ,点 $ N $ 为准线与 $ x $ 轴的交点,所以 $ \mathrm{\angle }BAM=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,因为 $ \left|AB\right|=2 $ ,所以 $ \left|AM\right|=1 $ ,所以 $ \left|AF\right|=1 $ ,所以 $ \left|FB\right|=3 $ ,所以 $ \left|FN\right|=\dfrac{3}{2} $ ,所以 $ p=\dfrac{3}{2} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

作抛物线及其准线如图所示,过点 $ A $ 作 $ AB $ 垂直准线于点 $ B $ ,过焦点 $ F $ 作 $ FC $ 垂直 $ AB $ 于点 $ C $ ,由题意可知 $ p=2 $ , $ \mathrm{\angle }AFx=\mathrm{\angle }FAC=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,根据抛物线的定义可知 $ \left|AF\right|=\left|AB\right|=\left|AC\right|+\left|CB\right| $ .在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△AFC $ 中, $ \left|AC\right|=\left|AF\right|\cdot \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{1}{2}\left|AF\right| $ ,又 $ \left|BC\right|=p=2 $ ,所以 $ \left|AF\right|=\left|AB\right|=\dfrac{1}{2}\left|AF\right|+2 $ ,解得 $ \left|AF\right|=4 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

根据抛物线的对称性,不妨假设 $ Q $ 在第一象限,设 $ Q(\dfrac{{y}_{0}^{2}}{2p} $ , $ {y}_{0} ) ({y}_{0} > 0 ) $ ,由于 $ F(\dfrac{p}{2},0) $ ,则 $ M(\dfrac{\dfrac{{y}_{0}^{2}}{2p}+\dfrac{p}{2}}{2} $ , $ \dfrac{{y}_{0}}{2}) $ ,

即 $ M(\dfrac{{y}_{0}^{2}+{p}^{2}}{4p} $ , $ \dfrac{{y}_{0}}{2}) $ ,则 $ \tan \mathrm{\angle }MOF=\dfrac{\dfrac{{y}_{0}}{2}}{\dfrac{{y}_{0}^{2}+{p}^{2}}{4p}}=\dfrac{2p{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+{p}^{2}} $ ,由基本不等式可得 $ {y}_{0}^{2}+{p}^{2}\geqslant 2p{y}_{0} $ ,当且仅当 $ p={y}_{0} $ 时取等号,所以 $ \tan \mathrm{\angle }MOF=\dfrac{2p{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}+{p}^{2}}\leqslant 1 $ ,所以 $ \mathrm{\angle }MOF $ 的最大值为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

建立如图所示的平面直角坐标系，则点 $ A(3,-2) $ .设抛物线的方程为 $ y=a{x}^{2} $ ，由点 $ A(3,-2) $ 可得 $ -2=9a $ ，解得 $ a=-\dfrac{2}{9} $ ，所以 $ y=-\dfrac{2{x}^{2}}{9} $ .当 $ y=-3 $ 时， $ x=±\dfrac{3\sqrt{6}}{2} $ ，所以水面宽度为 $ 3\sqrt{6}\mathrm{m} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

对于A，抛物线的准线方程为 $ x=-\dfrac{4}{4}=-1 $ ，故A正确；

对于B，设 $ P({x}_{0},{y}_{0}) $ ，则 $ {x}_{0}\geqslant 0 $ ， $ {y}_{0}^{2}=4{x}_{0} $ ， $ F(1,0) $ ，则 $ \left|PF\right|=\sqrt{{\left({x}_{0}-1\right) ^ {2}}+{y}_{0}^{2}}={x}_{0}+1\geqslant 1 $ ，当 $ {x}_{0}=0 $ 时取得最小值，此时 $ P $ （ $ 0 $ ， $ 0 $ ）在原点，故B错误；

对于 $ {\rm C，} A $ 在抛物线外部，如图①所示,故当 $ P $ ， $ A $ ， $ F $ 三点共线，且点 $ P $ 在线段 $ AF $ 上时, $ \left|PA\right|+\left|PF\right| $ 取得最小值，为 $ \left|AF\right|=\sqrt{{\left(2-1\right) ^ {2}}+{\left(3-0\right) ^ {2}}}=\sqrt{10} $ ，故C正确；

图①

对于D，过点 $ P $ 作准线的垂线，垂足为 $ Q $ ，如图②所示，

设 $ P(m,n) $ ， $ PF $ 的中点为 $ B({x}_{1},{y}_{1}) $ ，可得 $ {x}_{1}=\dfrac{1}{2}(1+m) $ ，由抛物线的定义得 $ \left|PF\right|=\left|PQ\right|=m+1 $ ，

$ \therefore {x}_{1}=\dfrac{1}{2}\left|PF\right| $ ，即点 $ B $ 到 $ y $ 轴的距离等于以 $ PF $ 为直径的圆的半径，

因此，以 $ PF $ 为直径的圆与 $ y $ 轴相切，故D正确.

故选ACD.

图②

设 $ A({x}_{1},{y}_{1}) $ ， $ B({x}_{2},{y}_{2}) $ ， $ C({x}_{3},{y}_{3}) $ ，

易知 $ p=4 $ ， $ F(2,0) $ ，

则 $ \overrightarrow {FA}=({x}_{1}-2,{y}_{1}) $ ， $ \overrightarrow {FB}=({x}_{2}-2,{y}_{2}) $ ， $ \overrightarrow {FC}=({x}_{3}-2,{y}_{3}) $ .

因为 $ \overrightarrow {FA}+\overrightarrow {FB}+\overrightarrow {FC}=\overrightarrow {OF} $ ，所以 $ {x}_{1}-2+{x}_{2}-2+{x}_{3}-2=2 $ ，即 $ {x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=8 $ .

由抛物线的定义可得 $ \left|\overrightarrow {FA}\right|={x}_{1}+2 $ ，

$ \left|\overrightarrow {FB}\right|={x}_{2}+2 $ ， $ \left|\overrightarrow {FC}\right|={x}_{3}+2 $ ，所以 $ \left|\overrightarrow {FA}\right|+\left|\overrightarrow {FB}\right|+\left|\overrightarrow {FC}\right|={x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+6=14 $ .

设准线 $ l $ 交 $ x $ 轴于点 $ E $ ，过 $ P $ 作准线 $ l $ 的垂线，垂足为 $ A $ ，连接 $ AF $ ，

由题知焦点 $ F(4,0) $ ， $ |EF|=8 $ ， $ |PA|=|PF| $ .

因为 $ P(12,8\sqrt{3}) $ ，直线 $ PF $ 的斜率为 $ \sqrt{3} $ ，所以 $ △PAF $ 为正三角形，

所以 $ \mathrm{\angle }AFE={60}^{\circ } $ ， $ |PF|=|AF|=2|EF|=16 $ ，

记 $ F $ 关于直线 $ l $ 的对称点为 $ F\prime (-12,0) $ ，连接 $ QF\prime $ ,则 $ |QF|=|QF\prime | $ ，

则当 $ P $ ， $ Q $ ， $ F\prime $ 三点共线时， $ (|PQ|+|QF|)_{ \min }=(|PQ|+|QF\prime |)_{ \min }=|PF\prime |=16\sqrt{3} $ ，

则 $ △PQF $ 的周长 $ |PF|+|PQ|+|QF| $ 的最小值为 $ 16(\sqrt{3}+1) $ .

由抛物线 $ C:{x}^{2}=6y $ ,得焦点 $ F(0,\dfrac{3}{2}) $ ,由题意可设 $ A({x}_{1},{y}_{1}) $ , $ B({x}_{2},{y}_{2}) $ , $ M({x}_{0},{y}_{0}) $ ,由直线 $ AB $ 的斜率为 $ -2 $ ,得 $ \dfrac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\dfrac{\dfrac{1}{6}{x}_{1}^{2}-\dfrac{1}{6}{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{({x}_{1}-{x}_{2})({x}_{1}+{x}_{2})}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\dfrac{1}{6}({x}_{1}+{x}_{2})=-2 $ ,解得 $ {x}_{1}+{x}_{2}=-12 $ ,由直线 $ MA $ 与直线 $ MB $ 的斜率之和为1,得 $ \dfrac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\dfrac{{y}_{2}-{y}_{0}}{{x}_{2}-{x}_{0}}=\dfrac{\dfrac{1}{6}{x}_{1}^{2}-\dfrac{1}{6}{x}_{0}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\dfrac{\dfrac{1}{6}{x}_{2}^{2}-\dfrac{1}{6}{x}_{0}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}=\dfrac{1}{6}\cdot [\dfrac{({x}_{1}-{x}_{0})({x}_{1}+{x}_{0})}{{x}_{1}-{x}_{0}}+\dfrac{({x}_{2}-{x}_{0})({x}_{2}+{x}_{0})}{{x}_{2}-{x}_{0}}]=\dfrac{1}{6}({x}_{1}+{x}_{0}+{x}_{2}+{x}_{0})=\dfrac{1}{6}(2{x}_{0}-12)=1 $ ,解得 $ {x}_{0}=9 $ ,所以 $ {y}_{0}=\dfrac{1}{6}{x}_{0}^{2}=\dfrac{27}{2} $ ,可得 $ \left|MF\right|={y}_{0}+\dfrac{3}{2}=15 $ .

$ \because $ 点 $ (1,1) $ 在直线 $ x+2y=3 $ 上, $ \therefore $ 所求点的轨迹是过点 $ (1,1) $ 且与直线 $ x+2y=3 $ 垂直的直线.

将 $ y=m{x}^{2}(m\ne 0) $ 化为 $ {x}^{2}=\dfrac{1}{m}y $ ,

其准线方程为 $ y=-\dfrac{1}{4m} $ .

由题意知 $ -\dfrac{1}{4m}=-2 $ 或 $ -\dfrac{1}{4m}=4 $ ,解得 $ m=\dfrac{1}{8} $ 或 $ m=-\dfrac{1}{16} $ .

则所求抛物线的标准方程为 $ {x}^{2}=8y $ 或 $ {x}^{2}=-16y $ .

将方程改写成 $ {y}^{2}=4mx $ ,则焦点的横坐标为 $ \dfrac{4m}{4}=m $ ,即焦点坐标为 $ (m,0) $ .