3.3.2 抛物线的简单几何性质

设等边三角形的另外两个顶点分别为 $ A $ , $ B $ ,由抛物线的对称性可知 $ A $ , $ B $ 关于 $ x $ 轴对称,不妨设点 $ A $ 在第一象限,设点 $ A $ 的坐标为 $ ({x}_{0},{y}_{0})({x}_{0} > 0,{y}_{0} > 0) $ ,则点 $ B $ 的坐标为 $ ({x}_{0},-{y}_{0}) $ ,则 $ \left|AB\right|=2{y}_{0} $ , $ \left|OA\right|=\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}} $ .因为 $ △ABC $ 是等边三角形,故 $ 2{y}_{0}=\sqrt{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}} $ ,等式两边平方后化简得 $ 3{y}_{0}^{2}={x}_{0}^{2} $ ,因为点 $ A $ 在抛物线上,故 $ {y}_{0}^{2}=4{x}_{0} $ ,代入后解得 $ {x}_{0}=12 $ 或 $ {x}_{0}=0 $ （舍去）,故点 $ A $ 的坐标为 $ (12,4\sqrt{3}) $ ,所以等边三角形的边长为 $ 2{y}_{0}=8\sqrt{3} $ ,故选 $ \mathrm{D} $ .

过点 $ A $ 作 $ AM $ 垂直抛物线的准线，垂足为 $ M $ ，过点 $ F $ 作 $ FN\perp AM $ 于点 $ N $ ，由于 $ |AF|=2 $ ， $ \mathrm{\angle }OFA={120}^{\circ } $ ，则 $ \mathrm{\angle }NFA={30}^{\circ } $ ，故 $ |AN|=1 $ .又 $ |AM|=|AF|=2 $ ,则 $ |MN|=2|OF|=p=|AM|-|AN|=1 $ ，故 $ p=1 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

连接 $ AD $ ,因为 $ A $ ， $ F $ ， $ B $ 三点共线，所以 $ AB $ 为圆 $ F $ 的直径，则 $ AD\perp BD $ .

由抛物线定义知 $ |AD|=|AF|=\dfrac{1}{2}|AB| $ ，所以 $ \mathrm{\angle }ABD={30}^{\circ } $ .因为 $ F $ 到准线的距离为6，所以 $ |AF|=|BF|=2×6=12 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

如图，抛物线 $ {y}^{2}=4x $ 的焦点为 $ F(1,0) $ ，准线为直线 $ x=-1 $ ，即 $ x+1=0 $ .

过A，B作准线的垂线，垂足分别为C，D，则有 $ \left|AB\right|=\left|AF\right|+\left|BF\right|=\left|AC\right|+\left|BD\right|=8 $ .过 $ AB $ 的中点 $ M $ 作准线的垂线，垂足为 $ N $ ，则 $ MN $ 为直角梯形 $ ABDC $ 的中位线，则 $ \left|MN\right|=\dfrac{1}{2}(\left|AC\right|+\left|BD\right|)=4 $ ，即点 $ M $ 到准线 $ x+1=0 $ 的距离为4.故选B.

易知抛物线 $ C:{y}^{2}=4x $ 的焦点为 $ F(1,0) $ ,

若直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴重合,则直线 $ AB $ 与抛物线 $ C $ 只有一个交点,不符合题意.

设直线 $ AB $ 的方程为 $ x=my+1 $ , $ A({x}_{1},{y}_{1}) $ , $ B({x}_{2},{y}_{2}) $ ,

联立 $ \begin{cases}{y}^{2}=4x,\\ x=my+1,\end{cases} $ 可得 $ {y}^{2}-4my-4=0 $ ,则 $ \mathrm{\Delta }=16{m}^{2}+16 > 0 $ ,所以 $ {y}_{1}+{y}_{2}=4m $ ,

由抛物线焦点弦长公式可得 $ \left|AB\right|={x}_{1}+{x}_{2}+2=m({y}_{1}+{y}_{2})+4=4{m}^{2}+4\geqslant 4 $ ,

当且仅当 $ m=0 $ 时,等号成立,

故 $ \left|AB\right| $ 的最小值为4.故选 $ \mathrm{D} $ .

如图,不妨设点 $ B $ 在 $ x $ 轴下方,因为 $ O(0,0) $ , $ F(1,0) $ ,且 $ \left|BO\right|=\left|BF\right| $ ,所以 $ {x}_{B}=\dfrac{1}{2} $ ,由抛物线方程可得 $ {y}_{B}=-\sqrt{2} $ ,则 $ {k}_{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{1-\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{2} $ ,所以直线 $ AB $ 的方程为 $ y=2\sqrt{2}x-2\sqrt{2} $ ,联立直线与抛物线方程,消去 $ y $ 得 $ {\left(2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}\right) ^ {2}}=4x $ ,化简得 $ 2{x}^{2}-5x+2=0 $ ,所以 $ {x}_{A}+{x}_{B}=\dfrac{5}{2} $ ,

则 $ \left|AB\right|={x}_{A}+{x}_{B}+p=\dfrac{9}{2} $ , $ O(0,0) $ 到直线 $ AB $ 的距离 $ d=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $ ,所以 $ △OAB $ 的面积为 $ \dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

抛物线 $ {y}^{2}=4x $ 的焦点 $ F(1,0) $ ,准线 $ l：x=-1 $ ,设准线 $ l $ 与 $ x $ 轴交于点 $ H $ ,过点 $ A $ , $ B $ 分别作 $ AD\perp l $ , $ BE\perp l $ ,垂足分别为 $ D $ , $ E $ .

由抛物线的定义可知, $ \left|AF\right|=\left|AD\right| $ , $ \left|BF\right|=\left|BE\right| $ ,又 $ \left|AC\right|=2\left|AF\right| $ ,则 $ \left|AC\right|=2\left|AD\right| $ ,则 $ \mathrm{\angle }ACD=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ,故 $ \mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }CFH=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,

又 $ \left|HF\right|=p=2 $ , $ \therefore \dfrac{\left|HF\right|}{\left|AD\right|}=\dfrac{\left|CF\right|}{\left|AC\right|}=\dfrac{3}{2} $ ,则 $ \left|AF\right|=\left|AD\right|=\dfrac{4}{3} $ .

又直线 $ AB $ 的方程为 $ y= \tan \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}(x-1)=\sqrt{3}(x-1) $ ,联立 $ \begin{cases}{y}^{2}=4x,\\ y=\sqrt{3}\left(x-1\right),\end{cases} $ 整理得 $ 3{x}^{2}-10x+3=0 $ ,则 $ {x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{10}{3} $ ,

由抛物线的性质可知, $ \left|AB\right|={x}_{1}+{x}_{2}+p=\dfrac{16}{3} $ , $ \therefore \left|AF\right|+\left|BF\right|=\dfrac{16}{3} $ ,

$ \therefore \left|BF\right|=\dfrac{16}{3}-\dfrac{4}{3}=4 $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

联立 $ \begin{cases}{y}^{2}=2px,\\ x=my-p,\end{cases} $ 消去 $ x $ 可得 $ {y}^{2}-2pmy+2{p}^{2}=0 $ .由抛物线与直线相切可得 $ \mathrm{\Delta }={\left(-2pm\right) ^ {2}}-4×2{p}^{2}=4{p}^{2}({m}^{2}-2)=0 $ ，由 $ p > 0 $ 可知 $ {m}^{2}=2 $ ，即 $ m=±\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由题知,抛物线的焦点为 $ F(\dfrac{p}{2},0) $ ,准线方程为 $ x=-\dfrac{p}{2} $ .因为点 $ A $ 在 $ F $ 的正上方,所以点 $ A $ 的坐标为 $ (\dfrac{p}{2},p) $ .

因为 $ \mathrm{\angle }AFB $ 为钝角,所以点 $ B $ 在 $ x $ 轴下方,

所以 $ {x}_{B}+\dfrac{p}{2}=\left|BF\right|=2\left|AF\right|=2p $ ,解得 $ {x}_{B}=\dfrac{3}{2}p $ ,即点 $ B $ 的坐标为 $ (\dfrac{3p}{2},\sqrt{3}p) $ （舍去）或 $ (\dfrac{3p}{2},-\sqrt{3}p) $ .

因为直线 $ BF $ 的斜率 $ {k}_{BF}=\dfrac{-\sqrt{3}p}{\dfrac{3p}{2}-\dfrac{p}{2}}=-\sqrt{3} $ ,所以直线 $ BF $ 的倾斜角为 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ,故钝角 $ \mathrm{\angle }AFB=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{\pi }-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

易知直线 $ l $ 的斜率存在且不为0,设方程为 $ x-2=m(y-1) $ , $ A({x}_{1},{y}_{1}) $ , $ B({x}_{2},{y}_{2}) $ ,

联立 $ \begin{cases}{y}^{2}=4x,\\ x-2=m\left(y-1\right),\end{cases} $ 整理可得 $ {y}^{2}-4my+4m-8=0 $ ,

$ \mathrm{\Delta }=16{m}^{2}-4(4m-8)=16({m}^{2}-m+2) > 0 $ ,

由中点为 $ (2,1) $ 可得 $ {y}_{1}+{y}_{2}=4m=2 $ ,可得 $ m=\dfrac{1}{2} $ ,

因此直线 $ l $ 的方程为 $ x-2=\dfrac{1}{2}(y-1) $ ,即 $ y=2x-3 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由抛物线的对称性，不妨令 $ P $ 在第一象限.设直线 $ PQ $ 的倾斜角为 $ \alpha $ ,则 $ \left|PF\right|=\dfrac{p}{1- \cos \alpha } $ , $ \left|QF\right|=\dfrac{p}{1+ \cos \alpha } $ , $ \left|PQ\right|=\left|PF\right|+\left|QF\right|=\dfrac{p(1+ \cos \alpha )+p(1- \cos \alpha )}{(1- \cos \alpha )(1+ \cos \alpha )}=\dfrac{2p}{{ \sin }^{2}\alpha } $ ,所以 $ \left|PQ\right|=\dfrac{2p}{{ \sin }^{2}\alpha }=\dfrac{4}{{ \sin }^{2}\alpha }=6 $ ,所以 $ \sin \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{3} $ ,则 $ \cos \alpha =±\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ,所以 $ \tan \alpha =±\sqrt{2} $ ,所以直线 $ PQ $ 的斜率为 $ ±\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

易知 $ N(0,2) $ , $ M(0,-2) $ ,如图,过点 $ P $ 作 $ PA $ 垂直于准线,垂足为点 $ A $ ,

由抛物线定义知 $ |PA|=|PN| $ ,则 $ \dfrac{|PM|}{|PN|}=m=\dfrac{|PM|}{|PA|}=\dfrac{1}{ \sin \mathrm{\angle }PMA} $ .

易知当直线 $ PM $ 与抛物线相切时 $ \mathrm{\angle }PMA $ 最小,此时 $ m $ 取得最大值.

不妨设 $ {l}_{PM}:y=kx-2 $ ,与抛物线方程联立得 $ {x}^{2}-8kx+16=0 $ ,则 $ \mathrm{\Delta }={\left(-8k\right) ^ {2}}-16×4=0 $ ,解得 $ k=±1 $ ,

此时可知 $ \mathrm{\angle }PMA={45}^{\circ } $ ,则 $ m=\dfrac{1}{ \sin \mathrm{\angle }PMA}=\sqrt{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意知抛物线 $ {y}^{2}=2px(p > 0) $ 上任意一点到焦点 $ F $ 的距离与它到直线 $ x=-1 $ 的距离相等,因此 $ -\dfrac{p}{2}=-1 $ , $ p=2 $ ,抛物线的方程为 $ {y}^{2}=4x $ .设直线 $ AB $ 的方程为 $ y=k(x-1) $ ,且 $ M(-2,{y}_{M}) $ , $ N(-2,{y}_{N}) $ , $ A({x}_{1},{y}_{1}) $ , $ B({x}_{2},{y}_{2}) $ ,由 $ \begin{cases}y=k\left(x-1\right),\\ {y}^{2}=4x\end{cases} $ 得 $ {k}^{2}{x}^{2}-(4+2{k}^{2})x+{k}^{2}=0 $ ,

所以 $ \mathrm{\Delta }={\left(4+2{k}^{2}\right) ^ {2}}-4{k}^{2}×{k}^{2}=16{k}^{2}+16 > 0 $ , $ k\ne 0 $ ,则 $ {x}_{1}{x}_{2}=1 $ ,所以

$ \dfrac{{S}_{△ABO}}{{S}_{△MNO}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left|AO\right|\cdot \left|BO\right|\cdot \sin \mathrm{\angle }AOB}{\dfrac{1}{2}\left|MO\right|\cdot \left|NO\right|\cdot \sin \mathrm{\angle }MON}=\dfrac{\left|AO\right|\cdot \left|BO\right|}{\left|MO\right|\cdot \left|NO\right|}=\dfrac{{x}_{1}}{2}\cdot \dfrac{{x}_{2}}{2}=\dfrac{1}{4} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

由抛物线 $ C:{y}^{2}=4x $ ,可得焦点 $ F(1,0) $ ,准线方程为 $ x=-1 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误.如图所示,

过点 $ M $ 作 $ MH\perp $ 准线于点 $ A $ ,则 $ \left|MF\right|=\left|MH\right| $ ,故 $ \left|ME\right|+\left|MF\right|=\left|ME\right|+\left|MH\right| $ ,当且仅当 $ E $ , $ M $ , $ H $ 三点共线时, $ \left|ME\right|+\left|MF\right| $ 取到最小值,最小值为点 $ E $ 到准线的距离，为4,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

由题意知,抛物线 $ {y}^{2}=4x $ 的焦点坐标为 $ (1,0) $ ,当直线 $ AB $ 的斜率存在时,设直线 $ AB $ 的方程为 $ y=k(x-1) $ ,由 $ \begin{cases}{y}^{2}=4x,\\ y=k\left(x-1\right),\end{cases} $ 得 $ {k}^{2}{x}^{2}-(2{k}^{2}+4)x+{k}^{2}=0 $ , $ \mathrm{\Delta } > 0 $ .

设点 $ A({x}_{1},{y}_{1}) $ , $ B({x}_{2},{y}_{2}) $ ,则 $ {x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}} $ , $ {x}_{1}{x}_{2}=1 $ .依据抛物线的定义得, $ \left|AF\right|\cdot \left|BF\right|=({x}_{1}+1)({x}_{2}+1)={x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1 $ ,

$ \therefore \left|AF\right|\cdot \left|BF\right|=\dfrac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}+2=4+\dfrac{4}{{k}^{2}} > 4 $ .当直线 $ AB $ 的斜率不存在时, $ \left|AF\right|\cdot \left|BF\right|=2×2=4 $ ，则 $ \left|AF\right|\cdot \left|BF\right| $ 的最小值是4，故 $ \mathrm{C} $ 错误.

由 $ M(\dfrac{{y}_{M}^{2}}{4},{y}_{M}) $ ,得 $ MF $ 的中点坐标为 $ (\dfrac{4+{y}_{M}^{2}}{8},\dfrac{{y}_{M}}{2}) $ ,而 $ \left|MF\right|=\dfrac{{y}_{M}^{2}}{4}+1 $ ,故 $ \dfrac{\left|MF\right|}{2}=\dfrac{4+{y}_{M}^{2}}{8} $ ,所以以线段 $ MF $ 为直径的圆与 $ y $ 轴相切,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

如图所示,分别过 $ A $ , $ B $ , $ P $ , $ Q $ 四点向准线 $ x=-\dfrac{p}{2} $ 作垂线,垂足分别为 $ I $ , $ J $ , $ D $ , $ G $ ,设 $ A $ , $ B $ , $ P $ , $ Q $ 的横坐标分别为 $ {x}_{A} $ , $ {x}_{B} $ , $ {x}_{P} $ , $ {x}_{Q} $ ,由抛物线的定义及梯形中位线的性质可知, $ \left|AI\right|=\left|FA\right|={x}_{A}+\dfrac{p}{2} $ , $ \left|BJ\right|=\left|FB\right|={x}_{B}+\dfrac{p}{2} $ , $ \left|PD\right|=\left|PF\right|={x}_{P}+\dfrac{p}{2} $ , $ \left|QG\right|=\dfrac{\left|AI\right|+\left|BJ\right|}{2}=\dfrac{\left|AF\right|+\left|BF\right|}{2}=\dfrac{{x}_{A}+{x}_{B}+p}{2} $ ,

易知 $ \left|PF\right|+\left|PQ\right|=\left|PD\right|+\left|PQ\right|\geqslant \left|QG\right|=\dfrac{{x}_{A}+{x}_{B}+p}{2} $ ,当且仅当 $ G $ , $ P $ , $ Q $ 三点共线，且 $ P $ 在线段 $ GQ $ 上时，等号成立.

设直线 $ AB:x=my+\dfrac{p}{2} $ , $ A({x}_{A},{y}_{A}) $ , $ B({x}_{B},{y}_{B}) $ ,联立直线 $ AB $ 与抛物线的方程得 $ {y}^{2}-2pmy-{p}^{2}=0 $ ,所以 $ {y}_{A}{y}_{B}=-{p}^{2} $ ,则 $ {x}_{A}{x}_{B}=\dfrac{{y}_{A}^{2}{y}_{B}^{2}}{2p\cdot 2p}=\dfrac{{p}^{2}}{4} $ ,则由基本不等式可知 $ \sqrt{{x}_{A}{x}_{B}}=\dfrac{p}{2}\leqslant \dfrac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2} $ ,当且仅当 $ {x}_{A}={x}_{B}=\dfrac{p}{2} $ 时等号成立,则 $ \dfrac{{x}_{A}+{x}_{B}+p}{2}\geqslant \dfrac{p}{2}+\dfrac{p}{2}=p $ ,又 $ \left|PF\right|+\left|PQ\right| $ 的最小值为6,故 $ p=6 $ .

由题意知,点 $ (2,4) $ 在抛物线 $ {y}^{2}=8x $ 上,所以过点 $ (2,4) $ 作与抛物线 $ {y}^{2}=8x $ 只有一个公共点的直线有2条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行.

$ \because $ 点 $ P(2,1) $ 在抛物线内部,且直线 $ {l}_{1} $ 与抛物线 $ C $ 有两个交点,设相交于 $ A $ , $ B $ 两点, $ \therefore $ 当过点 $ P $ 的直线 $ {l}_{2} $ 过点 $ A $ 或过点 $ B $ 或与 $ x $ 轴平行时符合题意 $ {\rm .} \therefore $ 满足条件的直线 $ {l}_{2} $ 共有3条.

设 $ M({x}_{1},{x}_{1}^{2}) $ , $ N({x}_{2},{x}_{2}^{2}) $ 关于直线 $ y=kx+\dfrac{9}{2} $ 对称, $ \therefore k\ne 0 $ , $ \therefore \dfrac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\dfrac{1}{k} $ ,即 $ {x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{1}{k} $ .设线段 $ MN $ 的中点为 $ P({x}_{0},{y}_{0}) $ ,则 $ {x}_{0}=-\dfrac{1}{2k} $ , $ {y}_{0}=k×(-\dfrac{1}{2k})+\dfrac{9}{2}=4.\because $ 中点 $ P $ 在 $ y={x}^{2} $ 内, $ \therefore 4 > {\left(-\dfrac{1}{2k}\right) ^ {2}} $ ,解得 $ k < -\dfrac{1}{4} $ 或 $ k > \dfrac{1}{4} $ .

设正三角形的边长为 $ x(x > 0) $ ,则 $ {\rm 36} \sqrt{3}=\dfrac{1}{2}{x}^{2} \sin {60}^{\circ } $ ,解得 $ x=12 $ .当 $ a > 0 $ 时,将 $ (6\sqrt{3},6) $ 代入 $ {y}^{2}=ax $ ,解得 $ a=2\sqrt{3} $ ;

当 $ a < 0 $ 时,将 $ (-6\sqrt{3},6) $ 代入 $ {y}^{2}=ax $ 得 $ a=-2\sqrt{3} $ .故 $ a=±2\sqrt{3} $ .

设所求抛物线方程为 $ {y}^{2}=ax(a\ne 0) $ ,已知直线方程变形为 $ y=2x+1 $ ,设抛物线截直线所得的弦长为 $ |AB| $ ,联立方程得 $ \begin{cases}{y}^{2}=ax,\\ y=2x+1,\end{cases} $ 消去 $ y $ 得 $ (2x+1)^{2}=ax $ ,整理得 $ 4{x}^{2}+(4-a)x+1=0 $ ， $ \mathrm{\Delta }=(4-a)^{2}-16 > 0 $ ，得 $ a < 0 $ 或 $ a > 8 $ .由一元二次方程根与系数的关系得 $ {x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{a-4}{4} $ , $ {x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{1}{4} $ ，所以 $ |AB|=\sqrt{(1+{2}^{2})[{\left(\dfrac{a-4}{4}\right) ^ {2}}-4×\dfrac{1}{4}]}=\sqrt{15} $ ,

解得 $ a=12 $ 或 $ a=-4 $ ,所以所求抛物线方程为 $ {y}^{2}=12x $ 或 $ {y}^{2}=-4x $ .