专题7 圆锥曲线中的范围、最值问题

因为 $ P(2,4) $ 是抛物线上一点，所以 $ {4}^{2}=2p\cdot 2 $ ，故 $ p=4 $ ，

则抛物线C的方程为 $ {y}^{2}=8x $ , $ F(2,0) $ .

设 $ A({x}_{1},{y}_{1}) $ , $ B({x}_{2},{y}_{2}) $ ，不妨设 $ {y}_{1} > 0 > {y}_{2} $ ，

设直线 $ l $ 的方程为 $ my=x-2 $ ，

联立 $ \begin{cases}{y}^{2}=8x,\\ my=x-2,\end{cases} $ 消去 $ x $ 得 $ {y}^{2}-8my-16=0 $ ，所以 $ {y}_{1}+{y}_{2}=8m $ , $ {y}_{1}{y}_{2}=-16 $ ，

$ {x}_{1}{x}_{2}=(m{y}_{1}+2)\cdot (m{y}_{2}+2)={m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+2m({y}_{1}+{y}_{2})+4=4 $ ，

则 $ \left|AF\right|+9\left|BF\right|={x}_{1}+2+9({x}_{2}+2)={x}_{1}+9{x}_{2}+20\geqslant 2\sqrt{9{x}_{1}{x}_{2}}+20=32 $ ，

当且仅当 $ {x}_{1}=9{x}_{2} $ ,即 $ {x}_{2}=\dfrac{2}{3} $ , $ {x}_{1}=6 $ 时，等号成立，故 $ \left|AF\right|+9\left|BF\right| $ 的最小值为32，故选D.

设 $ M({x}_{0},{y}_{0}) $ ，椭圆 $ {C}_{1} $ 的方程为 $ \dfrac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1 $ ，椭圆 $ {C}_{2} $ 的方程为 $ \dfrac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1 $ ，则有 $ \dfrac{{x}_{0}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1\mathrm{①} $ ,

由极线的定义得直线 $ l $ 的方程为 $ \dfrac{{x}_{0}x}{{a}_{2}^{2}}+\dfrac{{y}_{0}y}{{b}_{2}^{2}}=1 $ ，原点 $ O $ 到直线 $ l $ 的距离 $ d=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{{x}_{0}^{2}}{{a}_{2}^{4}}+\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}_{2}^{4}}}}=1 $ ，化简得 $ \dfrac{{x}_{0}^{2}}{{a}_{2}^{4}}+\dfrac{{y}_{0}^{2}}{{b}_{2}^{4}}=1\mathrm{②} $ ，

对比①②式得出 $ {a}_{1}^{2}={a}_{2}^{4} $ , $ {b}_{1}^{2}={b}_{2}^{4} $ ，则有 $ {e}_{1}^{2}=1-\dfrac{{b}_{1}^{2}}{{a}_{1}^{2}}=1-\dfrac{{b}_{2}^{4}}{{a}_{2}^{4}}=(1-\dfrac{{b}_{2}^{2}}{{a}_{2}^{2}})(1+\dfrac{{b}_{2}^{2}}{{a}_{2}^{2}})={e}_{2}^{2}(2-{e}_{2}^{2}) $ ，

所以 $ {e}_{1}^{2}-{e}_{2}^{2}={e}_{2}^{2}(1-{e}_{2}^{2})\leqslant {\left(\dfrac{{e}_{2}^{2}+1-{e}_{2}^{2}}{2}\right) ^ {2}}={\left(\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}=\dfrac{1}{4} $ .

当且仅当 $ {e}_{2}^{2}=1-{e}_{2}^{2} $ ，即 $ {e}_{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ 时取等号，此时 $ {e}_{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由椭圆 $ C:\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ ,得 $ {a}^{2}=4 $ , $ {b}^{2}=3 $ ,则 $ {c}^{2}={a}^{2}-{b}^{2}=1 $ ,则 $ a=2 $ , $ b=\sqrt{3} $ , $ c=1 $ .

对于 $ \mathrm{A} $ :由椭圆的定义得 $ \left|P{F}_{1}\right|+\left|P{F}_{2}\right|=2a=4 $ ,则 $ \left|P{F}_{1}\right|\left|P{F}_{2}\right|\leqslant {\left(\dfrac{\left|P{F}_{1}\right|+\left|P{F}_{2}\right|}{2}\right) ^ {2}}={\left(\dfrac{4}{2}\right) ^ {2}}=4 $ ,当且仅当 $ \left|P{F}_{1}\right|=\left|P{F}_{2}\right|=2 $ 时,等号成立,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ :因为 $ \overrightarrow {P{F}_{1}}=(-1-x,-y) $ , $ \overrightarrow {P{F}_{2}}=(1-x,-y) $ ,所以 $ \overrightarrow {P{F}_{1}}\cdot \overrightarrow {P{F}_{2}}={x}^{2}-1+{y}^{2} $ ,又因为 $ \dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ ,所以 $ {y}^{2}=3-\dfrac{3}{4}{x}^{2} $ ,所以 $ \overrightarrow {P{F}_{1}}\cdot \overrightarrow {P{F}_{2}}={x}^{2}-1+{y}^{2}=\dfrac{1}{4}{x}^{2}+2 $ ,又因为 $ x\in [-2,2] $ ,所以 $ {x}^{2}\leqslant 4 $ ,所以 $ \overrightarrow {P{F}_{1}}\cdot \overrightarrow {P{F}_{2}}=\dfrac{1}{4}{x}^{2}+2\leqslant 1+2=3 $ ,当且仅当 $ x=±2 $ 时,等号成立,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,由椭圆的参数方程得 $ x=2 \cos \theta $ , $ y=\sqrt{3} \sin \theta $ , $ \theta \in [0,2\mathrm{\pi }) $ ,则 $ x+y=2 \cos \theta +\sqrt{3} \sin \theta =\sqrt{7}(\dfrac{2\sqrt{7}}{7} \cos \theta +\dfrac{\sqrt{21}}{7} \sin \theta )=\sqrt{7} \sin (\theta +\varphi ) $ , $ \varphi \in [0,2\mathrm{\pi }) $ ,其中 $ \sin \varphi =\dfrac{2\sqrt{7}}{7} $ , $ \cos \varphi =\dfrac{\sqrt{21}}{7} $ ,由 $ \sin \varphi > 0 $ , $ \cos \varphi > 0 $ ,可知 $ \varphi \in (0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ ,则 $ \theta +\varphi \in (0,\dfrac{5\mathrm{\pi }}{2}) $ ,当 $ \sin (\theta +\varphi )=-1 $ ,即 $ \theta +\varphi =\dfrac{3}{2}\mathrm{\pi } $ 时, $ x+y $ 取得最小值 $ -\sqrt{7} $ ,此时 $ \sin \theta = \sin (\dfrac{3}{2}\mathrm{\pi }-\varphi )=- \cos \varphi =-\dfrac{\sqrt{21}}{7} $ , $ \cos \theta = \cos (\dfrac{3}{2}\mathrm{\pi }-\varphi )=- \sin \varphi =-\dfrac{2\sqrt{7}}{7} $ ,则 $ x=2 \cos \theta =-\dfrac{4\sqrt{7}}{7} $ , $ y=\sqrt{3} \sin \theta =-\dfrac{3\sqrt{7}}{7} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ :因为点 $ P(x,y) $ 在抛物线 $ {y}^{2}=2px(p > 0) $ 上,抛物线的焦点为 $ (\dfrac{p}{2},0) $ ,准线为直线 $ x=-\dfrac{p}{2} $ ,所以根据抛物线的定义,点 $ P(x,y) $ 到点 $ (\dfrac{p}{2},0) $ 的距离等于点 $ P $ 到准线的距离,即为 $ \left|x+\dfrac{p}{2}\right|=x+\dfrac{p}{2} $ ,因为 $ \dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1 $ ,所以 $ {y}^{2}=3(1-\dfrac{{x}^{2}}{4})=2px $ ,所以 $ p=\dfrac{3}{2x}-\dfrac{3x}{8}(x > 0) $ ,所以点 $ P(x,y) $ 到点 $ (\dfrac{p}{2},0) $ 的距离 $ d=x+\dfrac{p}{2}=x+\dfrac{3}{4x}-\dfrac{3x}{16}=\dfrac{3}{4x}+\dfrac{13x}{16}\geqslant 2\sqrt{\dfrac{3}{4x}\cdot \dfrac{13x}{16}}=\dfrac{\sqrt{39}}{4} $ ,当且仅当 $ \dfrac{3}{4x}=\dfrac{13x}{16} $ ,即 $ x=\dfrac{2\sqrt{39}}{13} $ 时,等号成立,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

因为 $ M({x}_{0},{y}_{0}) $ 为双曲线 $ {x}^{2}-{y}^{2}=4 $ 上的动点,所以 $ {x}_{0}^{2}-{y}_{0}^{2}=4 $ ,则 $ {y}_{0}^{2}={x}_{0}^{2}-4 $ , $ {x}_{0}\geqslant 2 $ ,由题意得直线 $ {l}_{1}:{x}_{0}x-{y}_{0}y=4 $ 是双曲线 $ {x}^{2}-{y}^{2}=4 $ 的切线,切点为 $ M({x}_{0},{y}_{0}) $ ,

而双曲线 $ {x}^{2}-{y}^{2}=4 $ 的渐近线方程为 $ y=±x $ ,则 $ OP\perp OQ $ ,联立 $ \begin{cases}{x}_{0}x-{y}_{0}y=4,\\ y=x,\end{cases} $ 解得 $ x=y=\dfrac{4}{{x}_{0}-{y}_{0}}=\dfrac{{x}_{0}^{2}-{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}-{y}_{0}}={x}_{0}+{y}_{0} $ ,所以点 $ P $ 的坐标为 $ ({x}_{0}+{y}_{0},{x}_{0}+{y}_{0}) $ ,联立 $ \begin{cases}{x}_{0}x-{y}_{0}y=4,\\ y=-x,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x={x}_{0}-{y}_{0},\\ y=-{x}_{0}+{y}_{0},\end{cases} $ 所以点 $ Q $ 的坐标为 $ ({x}_{0}-{y}_{0},-{x}_{0}+{y}_{0}) $ ,所以线段 $ PQ $ 的中点为 $ M({x}_{0},{y}_{0}) $ ,

如图，连接 $ RM $ ,则 $ \overrightarrow {RP}\cdot \overrightarrow {RQ}=(\overrightarrow {RM}+\overrightarrow {MP})\cdot (\overrightarrow {RM}+\overrightarrow {MQ})=(\overrightarrow {RM}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {PQ})\cdot (\overrightarrow {RM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {PQ})={\overrightarrow {RM}}^{2}-\dfrac{1}{4}{\overrightarrow {PQ}}^{2}\geqslant {\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {OP}\right) ^ {2}}-\dfrac{1}{4}{\overrightarrow {PQ}}^{2}=\dfrac{1}{4}{\overrightarrow {OP}}^{2}-\dfrac{1}{4}P{Q}^{2}=-\dfrac{1}{4}{\overrightarrow {OQ}}^{2} $ （当且仅当 $ MR\perp OQ $ 时取等号）.

由题意可得直线 $ PQ $ 的斜率大于零或不存在,故 $ 0 < \left|\overrightarrow {OQ}\right|\leqslant 2\sqrt{2} $ ,当且仅当 $ M $ 为双曲线右顶点时取等号,所以 $ -\dfrac{1}{4}{\overrightarrow {OQ}}^{2}\geqslant -\dfrac{1}{4}×8=-2 $ ,所以 $ \overrightarrow {RP}\cdot \overrightarrow {RQ} $ 的最小值为 $ -2 $ .