6.2.1 向量的加法运算+6.2.2 向量的减法运算

根据平面向量加法的三角形法则,可得 $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BO}+\overrightarrow {OM}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

依题意, $ \overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD} $ ,所以 $ \overrightarrow {AC}+\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {DA}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {DA}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DA}=0 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ , $ \overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {BC} $ ；

对于 $ \mathrm{B} $ , $ \overrightarrow {BD}+\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {BC} $ ；

对于 $ \mathrm{C} $ , $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {AC} $ ；

对于 $ \mathrm{D} $ , $ \overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {DC}+\overrightarrow {BD}=\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {DC}=\overrightarrow {BC} $ .

故选 $ \mathrm{C} $ .

依题意得, $ \overrightarrow {BD}=\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CD}-\overrightarrow {AB} $ ,即 $ \overrightarrow {BD}=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ： $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CA}=0 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ： $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {BD}+\overrightarrow {CD}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {CD} $

$ =\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CD}+\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AB}=2\overrightarrow {AB} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ： $ \overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {AD}=0 $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ： $ \overrightarrow {NQ}+\overrightarrow {QP}+\overrightarrow {MN}-\overrightarrow {MP}=\overrightarrow {NQ}+\overrightarrow {QP}+\overrightarrow {MN}+\overrightarrow {PM}=\overrightarrow {NQ}+\overrightarrow {QP}+\overrightarrow {PM}+\overrightarrow {MN}=0 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ \overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OD}=0 $ ,所以 $ \overrightarrow {BA}+\overrightarrow {DC}=0 $ ,即 $ \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC} $ ,

可知 $ AB $ , $ CD $ 两边平行且相等,所以四边形 $ ABCD $ 是平行四边形.

但没有足够条件判断四边形 $ ABCD $ 是否为矩形或菱形.故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ |\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}|=|\overrightarrow {CB}| $ , $ |\overrightarrow {AB}|=|\overrightarrow {AC}|=|\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}| $ ,所以 $ |\overrightarrow {AB}|=|\overrightarrow {AC}|=|\overrightarrow {CB}| $ ,所以 $ △ABC $ 为等边三角形．故选 $ \mathrm{A} $ .

如图，分别作出 $ \stackrel{\to }{OA}=\boldsymbol{a} $ , $ \stackrel{\to }{OC}=\boldsymbol{b} $ ， $ \stackrel{\to }{CB}=\boldsymbol{b} $ ,则利用向量加法的交换律可得 $ \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} $ ，故 $ \stackrel{\to }{AB}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a} $ ．

易知 $ △OAB $ 为等腰直角三角形，故 $ \mathrm{\angle }OAB={45}^{\circ } $ ,且 $ |\stackrel{\to }{AB}|=6\sqrt{2} $ ,

于是 $ \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ 所表示的意义为向西南走 $ 6\sqrt{2}\mathrm{k}\mathrm{m} $ ．

故选C．

由题意得 $ \overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB} $ ,所以 $ |\overrightarrow {BC}|=|\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}| $ ,所以 $ ||\overrightarrow {AC}|-|\overrightarrow {AB}||\leqslant |\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}|\leqslant |\overrightarrow {AC}|+|\overrightarrow {AB}| $ ,则 $ 3\leqslant |\overrightarrow {BC}|\leqslant 9 $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确.故选 $ \mathrm{C} $ .

如图作 $ ▱ABCD $ ,设 $ \overrightarrow {AB}=\boldsymbol{a} $ , $ \overrightarrow {AD}=\boldsymbol{b} $ ,

由向量加法的平行四边形法则知：由 $ |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}| $ 可得 $ ▱ABCD $ 是菱形,

因为菱形的对角线不一定相等,所以 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $ 不一定成立,即充分性不成立；

又由 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $ 可得 $ ▱ABCD $ 是矩形,因为矩形的一组邻边不一定相等,

所以 $ |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}| $ 也不一定成立,即必要性不成立.

故“ $ |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}| $ ”是“ $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $ ”的既不充分也不必要条件.

故选 $ \mathrm{D} $ .

①错误,若 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=0 $ ,其方向是任意的；②正确；③错误, $ A $ , $ B $ , $ C $ 三点共线时也可满足；④错误, $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|\leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}| $ .

由 $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AC} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

$ \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {DB} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

$ \overrightarrow {AB}-(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DC})=\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {CB} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

$ \overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {AD}=0 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,如图, $ \overrightarrow {AD} $ 与 $ \overrightarrow {AE} $ 方向不同,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ , $ \overrightarrow {BD} $ 与 $ \overrightarrow {CE} $ 方向相反,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,因为 $ D $ , $ E $ 在边 $ BC $ 上,满足 $ BD=DE=EC $ ,

所以 $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AE}=2\overrightarrow {AD} $ , $ \overrightarrow {AC}+\overrightarrow {AD}=2\overrightarrow {AE} $ ,由 $ \mathrm{A} $ 项知 $ \overrightarrow {AD} $ 与 $ \overrightarrow {AE} $ 不相等,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ,由图知, $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {AE}+\overrightarrow {EC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AE}+(\overrightarrow {DB}+\overrightarrow {EC}) $ ,

因为 $ \overrightarrow {DB}+\overrightarrow {EC}=0 $ ,所以 $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AE} $ ,即 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

由 $ \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) $ ,可得 $ |\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})|\leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\dfrac{3}{2} $ ,当且仅当 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 反向共线时,等号成立； $ |\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})|\geqslant ||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}||=\dfrac{1}{2} $ ,当且仅当 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 同向共线时,等号成立.

所以 $ |\boldsymbol{b}| $ 的取值范围为 $ [\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}] $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

在平行四边形 $ ABCD $ 中, $ \overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {AC} $ , $ \overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}=\overrightarrow {DB} $ ,

因为 $ |\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}|=|\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}|=4 $ ,所以 $ |\overrightarrow {AC}|=|\overrightarrow {DB}|=4 $ ,所以四边形 $ ABCD $ 为矩形.

又 $ \mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }CAD $ ,所以四边形 $ ABCD $ 为正方形,所以四边形 $ ABCD $ 的面积为 $ \dfrac{1}{2}×4×4=8 $ .

构造如图所示的平行四边形 $ OABC $ , $ \overrightarrow {OA}=\boldsymbol{a} $ , $ \overrightarrow {OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ ,则 $ \overrightarrow {OC}=\boldsymbol{b} $ , $ \overrightarrow {CA}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ ,又 $ |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $ ,则 $ △AOC $ 为正三角形,故 $ \mathrm{\angle }COA={60}^{\circ } $ ,易知平行四边形 $ OABC $ 为菱形,故 $ OB $ 平分 $ \mathrm{\angle }COA $ ,则 $ \mathrm{\angle }AOB={30}^{\circ } $ .

如图所示,设 $ \overrightarrow {OA}=\boldsymbol{a} $ , $ \overrightarrow {OB}=\boldsymbol{b} $ ,则 $ |\overrightarrow {BA}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $ .

以 $ OA $ , $ OB $ 为邻边作平行四边形 $ OACB $ ,则 $ |\overrightarrow {OC}|=|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| $ .由于 $ (\sqrt{7}+1)^{2}+(\sqrt{7}-1)^{2}={4}^{2} $ ,故 $ |\overrightarrow {OA}{|}^{2}+|\overrightarrow {OB}{|}^{2}=|\overrightarrow {BA}{|}^{2} $ ,所以 $ △OAB $ 是直角三角形, $ \mathrm{\angle }AOB={90}^{\circ } $ ,从而 $ OA\perp OB $ ,所以平行四边形 $ OACB $ 是矩形.根据矩形的对角线相等得 $ |\overrightarrow {OC}|=|\overrightarrow {BA}|=4 $ ,即 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=4 $ .