6.2.4 向量的数量积

因为点 $ E $ , $ F $ 分别为 $ AB $ , $ BC $ 的中点,

所以 $ |\overrightarrow {AE}|=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow {AB}|=1 $ , $ |\overrightarrow {AF}|=\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}=\sqrt{5} $ , $ \cos \mathrm{\angle }FAB=\dfrac{2}{\sqrt{5}} $ ,则 $ \overrightarrow {AF}\cdot \overrightarrow {AE}=\sqrt{5}×1×\dfrac{2}{\sqrt{5}}=2 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,由 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0 $ 可得 $ \boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ,向量的数量积不满足结合律,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,由 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 为非零向量,且 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}| $ ,则 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 方向相同,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,当 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 反向时,有 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} < 0 $ ,此时 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角不是钝角,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

根据数量积的几何意义, $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b} $ 等于 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 在 $ \boldsymbol{a} $ 上的投影向量的数量积,故 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot (-2\boldsymbol{a})=-8 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

如图,因为 $ \overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}=0 $ ,所以 $ \overrightarrow {OB}+\overrightarrow {AC}=0 $ ,

所以 $ \overrightarrow {OB}=\overrightarrow {CA} $ ,则四边形 $ ABOC $ 为平行四边形.

又 $ O $ 为 $ △ABC $ 外接圆的圆心,且 $ |\overrightarrow {AB}|=|\overrightarrow {OA}|=2 $ ,

所以 $ △OAB $ 是边长为2的正三角形,

所以平行四边形 $ ABOC $ 是边长为2的菱形且 $ \mathrm{\angle }ABO={60}^{\circ } $ ,

所以 $ |\overrightarrow {CA}|=2 $ , $ \mathrm{\angle }ACB={30}^{\circ } $ ,

故向量 $ \overrightarrow {CA} $ 在 $ \overrightarrow {CB} $ 上的投影向量的模为 $ |\overrightarrow {CA}| \cos \mathrm{\angle }ACB=2 \cos {30}^{\circ }=\sqrt{3} $ .

由 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{7} $ ,得 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}=7 $ ,即 $ {\boldsymbol{a}}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\boldsymbol{b}}^{2}=7 $ ,则 $ |\boldsymbol{a}{|}^{2}+2|\boldsymbol{a}|\cdot |\boldsymbol{b}| \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩+{|\boldsymbol{b}|}^{2}=7 $ ,又 $ |\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}|=2 $ ,所以 $ \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=\dfrac{1}{2} $ ,又 $ {0}^{\circ }\leqslant ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩\leqslant {180}^{\circ } $ ,所以 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ {60}^{\circ } $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

由 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{c} $ 两边平方可得 $ {\boldsymbol{a}}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\boldsymbol{b}}^{2}=4{\boldsymbol{c}}^{2} $ ,又 $ |\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=1 $ , $ |\boldsymbol{c}|=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ,所以 $ 1+2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+1=3⇒\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\dfrac{1}{2} $ ,所以 $ \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{c}⟩=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \dfrac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{{\boldsymbol{a}}^{2}+\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{\sqrt{3}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ .因为 $ ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{c}⟩\in [0,\mathrm{\pi }] $ ,所以 $ ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{c}⟩=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $ ,即 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})^{2}={\left(2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} \right) ^ {2}} $ ,则 $ {\boldsymbol{a}}^{2}+2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\boldsymbol{b}}^{2}=4{\boldsymbol{a}}^{2}-4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\boldsymbol{b}}^{2} $ ,整理得 $ {\boldsymbol{a}}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0 $ ,又因为 $ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{6} $ ,即 $ (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}=6 $ ,则 $ {\boldsymbol{a}}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\boldsymbol{b}}^{2}={\boldsymbol{b}}^{2}=6 $ ,所以 $ |\boldsymbol{b}|=\sqrt{6} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意知 $ \boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b} $ , $ |\boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b}|=\sqrt{5} $ ,故 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0 $ ,且 $ |\boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b}{|}^{2}=5 $ ,即 $ {\boldsymbol{a}}^{2}-2\lambda \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\lambda }^{2}{\boldsymbol{b}}^{2}=5 $ ,故 $ 1+{\lambda }^{2}=5 $ ,解得 $ \lambda =±2 $ .

显然 $ \dfrac{\overrightarrow {AB}}{|\overrightarrow {AB}|} $ , $ \dfrac{\overrightarrow {AC}}{|\overrightarrow {AC}|} $ 是与 $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {AC} $ 分别同向的单位向量,由 $ (\dfrac{\overrightarrow {AB}}{|\overrightarrow {AB}|}+\dfrac{\overrightarrow {AC}}{|\overrightarrow {AC}|})\cdot \overrightarrow {BC}=0 $ ,

得 $ \mathrm{\angle }BAC $ 的平分线与 $ BC $ 垂直,于是 $ AB=AC $ ,

而 $ \dfrac{\overrightarrow {AB}}{|\overrightarrow {AB}|}\cdot \dfrac{\overrightarrow {AC}}{|\overrightarrow {AC}|}=1×1× \cos \mathrm{\angle }BAC=\dfrac{1}{2} $ ,即 $ \cos \mathrm{\angle }BAC=\dfrac{1}{2} $ .

又 $ \mathrm{\angle }BAC\in (0,\mathrm{\pi }) $ ,因此 $ \mathrm{\angle }BAC=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,所以 $ △ABC $ 是等边三角形.

故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ \boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b} $ ,且 $ {\boldsymbol{e}}_{1}\cdot {\boldsymbol{e}}_{2}=\dfrac{1}{4} $ , $ |{\boldsymbol{e}}_{1}|=|{\boldsymbol{e}}_{2}|=1 $ ,所以 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=(2{\boldsymbol{e}}_{1}+{\boldsymbol{e}}_{2})\cdot (\lambda {\boldsymbol{e}}_{1}-{\boldsymbol{e}}_{2})=0 $ ,

即 $ 2\lambda |{\boldsymbol{e}}_{1}{|}^{2}-2{\boldsymbol{e}}_{1}\cdot {\boldsymbol{e}}_{2}+\lambda {\boldsymbol{e}}_{1}\cdot {\boldsymbol{e}}_{2}-|{\boldsymbol{e}}_{2}{|}^{2}=0 $ ,所以 $ 2\lambda -2×\dfrac{1}{4}+\lambda ×\dfrac{1}{4}-1=0 $ ,解得 $ \lambda =\dfrac{2}{3} $ .

$ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {CA}=\left|\overrightarrow {BC}\right|\left|\overrightarrow {CA}\right|\cdot \cos ({180}^{\circ }-\mathrm{\angle }BCA)=-\left|\overrightarrow {BC}\right|\left|\overrightarrow {CA}\right|\cdot \cos \text{ }{60}^{\circ }=-\dfrac{1}{2} $ .同理 $ \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}=-\dfrac{1}{2} $ ， $ \boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a}=-\dfrac{1}{2} $ ，则 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c}\cdot \boldsymbol{a}=-\dfrac{3}{2} $ .

由题意可得 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cdot \cos {60}^{\circ }=2×3×\dfrac{1}{2}=3 $ .又 $ \because (\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b})\cdot (\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda {\boldsymbol{a}}^{2}+({\lambda }^{2}+1)\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\lambda {\boldsymbol{b}}^{2} $ ， $ \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} $ 与 $ \lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ 的夹角为锐角， $ \therefore \lambda {\boldsymbol{a}}^{2}+({\lambda }^{2}+1)\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+\lambda {\boldsymbol{b}}^{2} > 0.\because {\boldsymbol{a}}^{2}=|\boldsymbol{a}{|}^{2}=4 $ ， $ {\boldsymbol{b}}^{2}=|\boldsymbol{b}{|}^{2}=9 $ ， $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=3 $ ， $ \therefore 3{\lambda }^{2}+13\lambda +3 > 0 $ ，解得 $ \lambda < \dfrac{-13-\sqrt{133}}{6} $ 或 $ \lambda > \dfrac{\sqrt{133}-13}{6} $ .当 $ \lambda =1 $ 时， $ \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} $ 与 $ \lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} $ 共线，其夹角不为锐角，故实数 $ \lambda $ 的取值范围为 $ (-\mathrm{\infty } $ ， $ \dfrac{-13-\sqrt{133}}{6})\cup (\dfrac{\sqrt{133}-13}{6} $ ， $ 1 )\cup (1,+\mathrm{\infty } ) $ .

$ (2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=2{\boldsymbol{a}}^{2}+{\boldsymbol{b}}^{2}+3\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=8+1+3\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=6⇒\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=-1 $ ,

向量 $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 在向量 $ \boldsymbol{a} $ 上的投影向量为 $ \dfrac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}\cdot \dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}=\dfrac{{\boldsymbol{a}}^{2}-\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}{|}^{2}}\cdot \boldsymbol{a}=\dfrac{5}{4}\boldsymbol{a} $ ,故选 $ \mathrm{A} $ .

平行四边形 $ ABCD $ 中, $ AB=3 $ , $ AD=2 $ , $ \mathrm{\angle }BAD=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ M $ , $ P $ 分别是 $ AB $ , $ BC $ 的中点, $ N $ 是 $ DC $ 上一点,且 $ DN=\dfrac{2}{3}DC $ ,

则 $ \overrightarrow {AP}\cdot \overrightarrow {MN}=(\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD})\cdot (\overrightarrow {AN}-\overrightarrow {AM})=(\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD})\cdot (\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB})=(\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AD})\cdot (\dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD})=\dfrac{1}{6}{\overrightarrow {AB}}^{2}+\dfrac{13}{12}\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AD}+\dfrac{1}{2}{\overrightarrow {AD}}^{2}=\dfrac{1}{6}×9+\dfrac{13}{12}×3×2×\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}×4=\dfrac{27}{4} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp (\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}) $ 可得 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})={\boldsymbol{a}}^{2}+4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+3{\boldsymbol{b}}^{2}=3+4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+3=0 $ ,

故 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=-\dfrac{3}{2} $ ,因此 $ \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ,

$ \because ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩\in [0,\mathrm{\pi }] $ , $ \therefore ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ ,故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ {\overrightarrow {AB}}^{2}-{\overrightarrow {AC}}^{2}=(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})\cdot (\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC})=(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})\cdot \overrightarrow {CB}=2\overrightarrow {CB}\cdot \overrightarrow {AP} $ ,

所以 $ \overrightarrow {CB}\cdot (\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC}-2\overrightarrow {AP})=\overrightarrow {CB}\cdot (\overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC})=0 $ .

设 $ BC $ 的中点为 $ D $ ,则 $ \overrightarrow {PB}+\overrightarrow {PC}=2\overrightarrow {PD} $ ,则 $ \overrightarrow {CB}\cdot 2\overrightarrow {PD}=0 $ ,

即 $ \overrightarrow {CB}\cdot \overrightarrow {PD}=0 $ ,所以 $ \overrightarrow {CB}\perp \overrightarrow {PD} $ ,所以点 $ P $ 在线段 $ BC $ 的垂直平分线上,

故点 $ P $ 的轨迹经过 $ △ABC $ 的外心.

故选 $ \mathrm{C} $ .

取 $ CD $ 的中点 $ E $ ,连接 $ PE $ ,如图,

则 $ \overrightarrow {PC}+\overrightarrow {PD}=2\overrightarrow {PE} $ , $ \overrightarrow {PC}-\overrightarrow {PD}=\overrightarrow {DC}=2\overrightarrow {DE} $ ,

两式分别平方再相减得 $ \overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PD}={\overrightarrow {PE}}^{2}-{\overrightarrow {DE}}^{2}={|\overrightarrow {PE}|}^{2}-4 $ .

设 $ AB $ 的中点为 $ O $ ,连接 $ OE $ 交圆弧于点 $ H $ ,则当 $ P $ 与 $ H $ 重合时, $ PE $ 最小,最小值为2,

当 $ P $ 与 $ A $ 或 $ B $ 重合时, $ PE $ 最大,最大值为 $ \sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5} $ ,

所以 $ \overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PD}\in [{2}^{2}-4, (2\sqrt{5})^{2}-4 ]= [0,16 ] $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

由 $ \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}={\overrightarrow {OA}}^{2}+\overrightarrow {OB}\cdot \overrightarrow {OC}⇒\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OC}-{\overrightarrow {OA}}^{2}+\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OB}\cdot \overrightarrow {OC}=0⇒\overrightarrow {OA}\cdot (\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OA})-\overrightarrow {OB}\cdot (\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OA})=0⇒(\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB})\cdot (\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OA})=0 $ ,

即 $ \overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {AC}=0 $ ,所以 $ \overrightarrow {BA}\perp \overrightarrow {AC} $ ,作图如下.

由图可知, $ △ABC $ 的外接圆圆心 $ O $ 即为 $ BC $ 的中点,

又因为 $ |\overrightarrow {OC}|=|\overrightarrow {AB}| $ ,所以 $ |\overrightarrow {BC}|=2|\overrightarrow {AB}| $ ,则 $ \mathrm{\angle }ACB=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ , $ \mathrm{\angle }ABC=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,

所以向量 $ \overrightarrow {AB} $ 在向量 $ \overrightarrow {BC} $ 上的投影向量为 $ |\overrightarrow {AB}| \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}\cdot \dfrac{\overrightarrow {BC}}{|\overrightarrow {BC}|}=|\overrightarrow {AB}| \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}\cdot \dfrac{\overrightarrow {BC}}{2|\overrightarrow {AB}|}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow {BC} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

设 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \theta $ , $ 0\leqslant \theta \leqslant \mathrm{\pi } $ ,非零向量 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a}|=4 $ , $ |\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}|(t\in \boldsymbol{R}) $ 的最小值为2,所以 $ {\boldsymbol{a}}^{2}+2t\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{t}^{2}{\boldsymbol{b}}^{2}={t}^{2}{\boldsymbol{b}}^{2}+8t|\boldsymbol{b}| \cos \theta +16 $ 的最小值为 $ \dfrac{4×{\boldsymbol{b}}^{2}×16-(8|\boldsymbol{b}| \cos \theta )^{2}}{4×{\boldsymbol{b}}^{2}}=16-16{ \cos }^{2}\theta =4 $ ,可得 $ { \cos }^{2}\theta =\dfrac{3}{4} $ ,故 $ \cos \theta =±\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ,可得 $ \theta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ 或 $ \theta =\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .