第6.2节综合训练

1．设 $ M $ 是正六边形 $ ABCDEF $ 中 $ AD $ ， $ BE $ ， $ CF $ 的交点， $ O $ 为正六边形 $ ABCDEF $ 所在平面内任意一点，则 $ \overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OE}+\overrightarrow {OF}= $ （）

A． $ 3\overrightarrow {OM} $

B． $ 4\overrightarrow {OM} $

C． $ 5\overrightarrow {OM} $

D． $ 6\overrightarrow {OM} $

答案：D

解析：

如图,易知点 $ M $ 为 $ AD $ , $ BE $ , $ CF $ 的中点,

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所以 $ \overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {OM} $ , $ \overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OE}=2\overrightarrow {OM} $ , $ \overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OF}=2\overrightarrow {OM} $ ,

所以 $ \overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OE}+\overrightarrow {OF}=6\overrightarrow {OM} $ ,故选 $ \mathrm{D} $ .

2．我国传统的一种手工折纸风车（如图①）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图②，则下列结论成立的个数为（）

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$ ①\overrightarrow {EH}//\overrightarrow {FC} $ ； $ ②\overrightarrow {AH}\cdot \overrightarrow {BE}=0 $ ；

$ ③\overrightarrow {EG}=\overrightarrow {EH}+\overrightarrow {EF} $ ； $ ④\overrightarrow {EC}\cdot \overrightarrow {EH}=\overrightarrow {EC}\cdot \overrightarrow {ED} $ .

A．1

B．2

C．3

D．4

答案：C

解析：

对于①, $ \overrightarrow {EH}//\overrightarrow {FG} $ ,故 $ \overrightarrow {EH} $ 与 $ \overrightarrow {FC} $ 不平行,故①错误；

对于②,设 $ AC\cap BD=O $ , $ \overrightarrow {AH}\cdot \overrightarrow {BE}=(\overrightarrow {AO}+\overrightarrow {OH})\cdot (\overrightarrow {BO}+\overrightarrow {OE})=\overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {BO}+\overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {OE}+\overrightarrow {BO}\cdot \overrightarrow {OH}+\overrightarrow {OH}\cdot \overrightarrow {OE}=\overrightarrow {AO}\cdot \overrightarrow {OE}+\overrightarrow {BO}\cdot \overrightarrow {OH}=-|\overrightarrow {OA}|\cdot |\overrightarrow {OE}|+|\overrightarrow {BO}|\cdot |\overrightarrow {OH}|=0 $ ,故②正确；

对于③, $ \overrightarrow {EG}=\overrightarrow {EH}+\overrightarrow {HG}=\overrightarrow {EH}+\overrightarrow {EF} $ ,故③正确；

对于④, $ \overrightarrow {EC}\cdot \overrightarrow {EH}-\overrightarrow {EC}\cdot \overrightarrow {ED}=\overrightarrow {EC}\cdot (\overrightarrow {EH}-\overrightarrow {ED})=\overrightarrow {EC}\cdot \overrightarrow {DH}=0 $ ,故④正确.

故选 $ \mathrm{C} $ .

3．若不共线非零向量 $ \overrightarrow {AB} $ ， $ \overrightarrow {AC} $ 满足 $ (|\overrightarrow {AC}|\overrightarrow {AB}+|\overrightarrow {AB}|\overrightarrow {AC})\cdot \overrightarrow {BC}=0 $ ，且 $ 2\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=|\overrightarrow {AB}||\overrightarrow {AC}| $ ，则 $ △ABC $ 为（）

A．三边均不等的三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．底边和腰不等的等腰三角形

答案：C

解析：

由 $ 2\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}=2|\overrightarrow {AB}||\overrightarrow {AC}|\cdot \cos A=|\overrightarrow {AB}||\overrightarrow {AC}| $ ,则 $ \cos A=\dfrac{1}{2} $ ,又 $ A\in (0,\mathrm{\pi }) $ ,所以 $ A=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ .

由 $ (|\overrightarrow {AC}|\overrightarrow {AB}+|\overrightarrow {AB}|\overrightarrow {AC})\cdot \overrightarrow {BC}=0 $ ,

可得 $ (|\overrightarrow {AC}|\overrightarrow {AB}+|\overrightarrow {AB}|\overrightarrow {AC})\cdot (\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})=|\overrightarrow {AC}|\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}+|\overrightarrow {AB}|{\overrightarrow {AC}}^{2}-|\overrightarrow {AC}|{\overrightarrow {AB}}^{2}-|\overrightarrow {AB}|\overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AB} $

$ ={|\overrightarrow {AC}|}^{2}|\overrightarrow {AB}|×\dfrac{1}{2}+|\overrightarrow {AB}|{|\overrightarrow {AC}|}^{2}-|\overrightarrow {AC}|\cdot {|\overrightarrow {AB}|}^{2}-{|\overrightarrow {AB}|}^{2}|\overrightarrow {AC}|×\dfrac{1}{2} $

$ =\dfrac{3}{2}|\overrightarrow {AB}|{|\overrightarrow {AC}|}^{2}-{|\overrightarrow {AB}|}^{2}|\overrightarrow {AC}|×\dfrac{3}{2} $

$ =\dfrac{3}{2}|\overrightarrow {AB}||\overrightarrow {AC}|(|\overrightarrow {AC}|-|\overrightarrow {AB}|)=0 $ ,

所以 $ |\overrightarrow {AC}|=|\overrightarrow {AB}| $ ,所以 $ △ABC $ 为等边三角形,故选 $ \mathrm{C} $ .

4．（多选）已知向量 $ \boldsymbol{a} $ ， $ \boldsymbol{b} $ 满足 $ |\boldsymbol{a}|=3 $ ， $ |\boldsymbol{b}|=2 $ ，则下列结论正确的有（）（多选）

A． $ (2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})\perp (2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}) $

B．若 $ \boldsymbol{a}//\boldsymbol{b} $ ，则 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=6 $

C． $ \boldsymbol{a} $ 在 $ \boldsymbol{b} $ 上的投影向量为 $ \dfrac{1}{9}(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{b} $

D．若 $ |\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=\sqrt{13} $ ，则 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $

答案：AD

解析：

对于 $ \mathrm{A} $ ：因为 $ (2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})\cdot (2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b})=4{\boldsymbol{a}}^{2}-9{\boldsymbol{b}}^{2}=4|\boldsymbol{a}{|}^{2}-9|\boldsymbol{b}{|}^{2}=4×9-9×4=0 $ ,所以 $ (2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b})\perp (2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}) $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ：因为 $ \boldsymbol{a}//\boldsymbol{b} $ ,所以 $ ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=0 $ 或 $ \mathrm{\pi } $ ,

当 $ ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=0 $ 时, $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=3×2× \cos 0=6 $ ,

当 $ ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=\mathrm{\pi } $ 时, $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=3×2× \cos $ $ \mathrm{\pi }=-6 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ： $ \boldsymbol{a} $ 在 $ \boldsymbol{b} $ 上的投影向量为 $ \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}{|}^{2}}\boldsymbol{b}=\dfrac{1}{4}(\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b})\boldsymbol{b} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ：因为 $ |\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}|=\sqrt{13} $ ,所以 $ {\boldsymbol{a}}^{2}+4\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+4{\boldsymbol{b}}^{2}=9+24 \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩+16=13⇒ \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩=-\dfrac{1}{2} $ ,

因为 $ 0\leqslant ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩\leqslant \mathrm{\pi } $ ,所以 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .

5．（多选）已知点 $ O $ 为 $ △ABC $ 所在平面内一点，且 $ 2\overrightarrow {OA}+3\overrightarrow {OB}+4\overrightarrow {OC}=0 $ ，则下列选项正确的有（）（多选）

A． $ \overrightarrow {AO}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}+\dfrac{4}{9}\overrightarrow {AC} $

B．直线 $ AO $ 过 $ BC $ 边的中点

C． $ {S}_{△AOB}:{S}_{△BOC}=2:1 $

D．若 $ |\overrightarrow {OA}|=|\overrightarrow {OB}|=|\overrightarrow {OC}|=1 $ ，则 $ \overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {AB}=-\dfrac{3}{16} $

答案：ACD

解析：

如图, $ 2\overrightarrow {OA}+3(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB})+4(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AC})=9\overrightarrow {OA}+3\overrightarrow {AB}+4\overrightarrow {AC}=0 $ ,则 $ \overrightarrow {AO}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}+\dfrac{4}{9}\overrightarrow {AC} $ , $ \mathrm{A} $ 正确；若 $ \overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {OA} $ , $ \overrightarrow {OE}=3\overrightarrow {OB} $ , $ \overrightarrow {OF}=4\overrightarrow {OC} $ ,则 $ \overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OE}+\overrightarrow {OF}=0 $ ,所以 $ O $ 是 $ △DEF $ 的重心,直线 $ AO $ 过 $ EF $ 的中点,而 $ EF $ 与 $ BC $ 不平行,所以直线 $ AO $ 不过 $ BC $ 边的中点, $ \mathrm{B} $ 错误；又 $ {S}_{△DOE}={S}_{△EOF}={S}_{△DOF} $ ,而 $ {S}_{△DOE}=6{S}_{△AOB} $ , $ {S}_{△EOF}=12{S}_{△BOC} $ ,

所以 $ {S}_{△AOB}:{S}_{△BOC}=2:1 $ , $ \mathrm{C} $ 正确；

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若 $ |\overrightarrow {OA}|=|\overrightarrow {OB}|=|\overrightarrow {OC}|=1 $ ,且 $ 16{\overrightarrow {OC}}^{2}=(2\overrightarrow {OA}+3\overrightarrow {OB})^{2}=4{\overrightarrow {OA}}^{2}+12\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}+9{\overrightarrow {OB}}^{2} $ ,所以 $ \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=\dfrac{1}{4} $ ,

则 $ \overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow {AB}=\dfrac{1}{4}(2\overrightarrow {OA}+3\overrightarrow {OB})\cdot (\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB})=\dfrac{1}{4}(2{\overrightarrow {OA}}^{2}+\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}-3{\overrightarrow {OB}}^{2})=-\dfrac{3}{16} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

6．如图，在 $ △ABC $ 中，点 $ O $ 是 $ BC $ 的中点，过点 $ O $ 的直线分别交直线 $ AB $ ， $ AC $ 于不同的两点 $ M $ ， $ N $ .若 $ \overrightarrow {AB}=m\overrightarrow {AM} $ ， $ \overrightarrow {AC}=n\overrightarrow {AN} $ ， $ m $ , $ n > 0 $ ,则 $ \dfrac{4}{m}+\dfrac{1}{n} $ 的最小值为 .

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答案：

$ \dfrac{9}{2} $

解析：

根据题意,可得 $ \overrightarrow {BO}=\overrightarrow {OC} $ ,所以 $ \overrightarrow {BO}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} $ ,

如图,连接 $ AO $ ,则有 $ \overrightarrow {AO}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BO}=\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} $ .又 $ \overrightarrow {AB}=m\overrightarrow {AM} $ , $ \overrightarrow {AC}=n\overrightarrow {AN} $ ,所以 $ \overrightarrow {AO}=\dfrac{m}{2}\overrightarrow {AM}+\dfrac{n}{2}\overrightarrow {AN} $ ,

因为 $ M $ , $ O $ , $ N $ 三点共线,所以 $ \dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{2}=1 $ .

因为 $ m > 0 $ , $ n > 0 $ ,

所以 $ \dfrac{4}{m}+\dfrac{1}{n}=(\dfrac{4}{m}+\dfrac{1}{n})(\dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{2})=\dfrac{5}{2}+\dfrac{m}{2n}+\dfrac{2n}{m}\geqslant \dfrac{5}{2}+2\sqrt{\dfrac{m}{2n}\cdot \dfrac{2n}{m}}=\dfrac{9}{2} $ ,

当且仅当 $ \begin{cases}\dfrac{m}{2n}=\dfrac{2n}{m},\\ \dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{2}=1,\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}n=\dfrac{2}{3},\\ m=\dfrac{4}{3}\end{cases} $ 时取等

号,所以 $ \dfrac{4}{m}+\dfrac{1}{n} $ 的最小值为 $ \dfrac{9}{2} $ .

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7．在平行四边形 $ ABCD $ 中，已知 $ AB=1 $ , $ BC=\sqrt{2} $ ，点 $ M $ 为 $ BC $ 上一点，点 $ N $ 为 $ CD $ 上一点，满足 $ \overrightarrow {BM}=\lambda \overrightarrow {BC} $ , $ \overrightarrow {CN}=\lambda \overrightarrow {CD}(0\leqslant \lambda \leqslant 1) $ .当 $ \lambda =\dfrac{1}{2} $ 时， $ \overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN}=-\dfrac{1}{6} $ .

（1）求 $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC} $ 的值；

（2）当 $ \overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN} $ 取最小值时，求 $ |\overrightarrow {BM}| $ 的值.

答案：

（1）【解】当 $ \lambda =\dfrac{1}{2} $ 时, $ \overrightarrow {BM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} $ , $ \overrightarrow {CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} $ ,

可得 $ \overrightarrow {AM}=\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BM}=\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} $ , $ \overrightarrow {AN}=\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {DN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC} $ ,

则 $ \overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN}=(\overrightarrow {AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC})\cdot (\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC})=-\dfrac{1}{6} $ ,

化简得 $ \dfrac{1}{2}{\overrightarrow {AB}}^{2}+\dfrac{1}{2}{\overrightarrow {BC}}^{2}+\dfrac{5}{4}\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}=-\dfrac{1}{6} $ ,

代入 $ |\overrightarrow {AB}|=1 $ , $ |\overrightarrow {BC}|=\sqrt{2} $ ,解得 $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}=-\dfrac{4}{3} $ .

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（2）由题意可得 $ \overrightarrow {AM}=\overrightarrow {AB}+\lambda \overrightarrow {BC} $ , $ \overrightarrow {AN}=(1-\lambda )\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC} $ ,

$ \overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN}=(\overrightarrow {AB}+\lambda \overrightarrow {BC})\cdot [(1-\lambda )\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}]=(1-\lambda ){\overrightarrow {AB}}^{2}+\lambda {\overrightarrow {BC}}^{2}+(\lambda -{\lambda }^{2}+1)\cdot \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC} $ ,

由（1）可知 $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}=-\dfrac{4}{3} $ .

代入得 $ \overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN}=(1-\lambda )+2\lambda +(\lambda -{\lambda }^{2}+1)\cdot (-\dfrac{4}{3})=\dfrac{4}{3}{\lambda }^{2}-\dfrac{1}{3}\lambda -\dfrac{1}{3} $ .

设 $ f(\lambda )=\dfrac{4}{3}{\lambda }^{2}-\dfrac{1}{3}\lambda -\dfrac{1}{3} $ , $ 0\leqslant \lambda \leqslant 1 $ ,则 $ f(\lambda ) $ 图象的对称轴为直线 $ \lambda =\dfrac{1}{8} $ ,可知 $ f(\lambda ) $ 在 $ (0,\dfrac{1}{8}) $ 上单调递减,在 $ (\dfrac{1}{8},1) $ 上单调递增,

则当 $ \lambda =\dfrac{1}{8} $ 时， $ f(\lambda ) $ 取最小值,即 $ \overrightarrow {AM}\cdot \overrightarrow {AN} $ 取得最小值,此时 $ |\overrightarrow {BM}|=|\dfrac{1}{8}\overrightarrow {BC}|=\dfrac{\sqrt{2}}{8} $ .

解析：

第6.2节综合训练

一、刷能力