6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示+6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示+6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

一、刷基础

1．给出下列几种说法：

①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；③一个坐标对应唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.其中正确说法的个数是（      ）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案：C
解析：

由向量坐标的定义可知一个坐标可对应无数个相等的向量,故③错误.①②④正确.故选 $ \mathrm{C} $ .

2．如图，分别取与 $ x $ 轴， $ y $ 轴正方向相同的两个单位向量{ $ \boldsymbol{i} $ , $ \boldsymbol{j} $ }作为一个基底，若 $ |\boldsymbol{a}|=\sqrt{3} $ ， $ \theta =\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ，则向量 $ \boldsymbol{a} $ 的坐标为（      ）

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A． $ (\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}) $

B． $ (\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2}) $

C． $ (\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}) $

D． $ (\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}) $

答案：A
解析：

由题意得, $ \boldsymbol{a}=(\sqrt{3} \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{6})\boldsymbol{i}+(\sqrt{3} \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6})\boldsymbol{j}=(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}) $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

3．与向量 $ \boldsymbol{a}=(12,5) $ 平行的单位向量是（      ）

A． $ (\dfrac{12}{13},\dfrac{5}{13}) $

B． $ (-\dfrac{12}{13},-\dfrac{5}{13}) $

C． $ (6,\dfrac{5}{2}) $ 或 $ (-6,-\dfrac{5}{2}) $

D． $ (\dfrac{12}{13},\dfrac{5}{13}) $ 或 $ (-\dfrac{12}{13},-\dfrac{5}{13}) $

答案：D
解析：

因为与向量 $ \boldsymbol{a} $ 平行的单位向量是 $ ±\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} $ , $ |\boldsymbol{a}|=\sqrt{{12}^{2}+{5}^{2}}=13 $ ,

所以所求单位向量为 $ ±\dfrac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} $ ,即 $ (\dfrac{12}{13},\dfrac{5}{13}) $ 或 $ (-\dfrac{12}{13},-\dfrac{5}{13}) $ ,故选 $ \mathrm{D} $ .

4．已知点 $ A(3,-1) $ ， $ B(3,2) $ ， $ O $ 为坐标原点， $ \overrightarrow {OP}=2\overrightarrow {OA}+\lambda \overrightarrow {OB}(\lambda \in \boldsymbol{R}) $ .若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，则 $ \lambda $ 的值为（      ）

A．0

B．1

C． $ -1 $

D． $ -2 $

答案：B
解析：

设点 $ P(a,0) $ ,则 $ \overrightarrow {OP}=(a,0) $ .又 $ \overrightarrow {OA}=(3,-1) $ , $ \overrightarrow {OB}=(3,2) $ ,则 $ (a,0)=(6,-2)+(3\lambda ,2\lambda ) $ ,则有 $ \begin{cases}a=6+3\lambda ,\\ 0=-2+2\lambda ,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}\lambda =1,\\ a=9,\end{cases} $ 故选 $ \mathrm{B} $ .

5．已知点 $ O(0,0) $ ，向量 $ \overrightarrow {OA}=(2,3) $ , $ \overrightarrow {OB}=(6,-3) $ ，点 $ P $ 是直线 $ AB $ 上一点且满足 $ AP=2PB $ ，则点 $ P $ 的坐标是（      ）

A． $ (\dfrac{14}{3},-1) $

B． $ (\dfrac{10}{3},1) $

C． $ (\dfrac{14}{3},-1) $ 或 $ (10,-9) $

D． $ (\dfrac{10}{3},1) $ 或 $ (10,-9) $

答案：C
解析：

依题意,若 $ \overrightarrow {AP}=2\overrightarrow {PB} $ ,则 $ \overrightarrow {OP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {OB} $ ,而 $ \overrightarrow {OA}=(2,3) $ , $ \overrightarrow {OB}=(6,-3) $ ,

因此 $ \overrightarrow {OP}=\dfrac{1}{3}(2,3)+\dfrac{2}{3}(6,-3)=(\dfrac{14}{3},-1) $ ,则点 $ P $ 的坐标是 $ (\dfrac{14}{3},-1) $ ；

若 $ \overrightarrow {AP}=2\overrightarrow {BP} $ ,则 $ \overrightarrow {OP}=2\overrightarrow {OB}-\overrightarrow {OA}=2(6,-3)-(2,3)=(10,-9) $ ,则点 $ P $ 的坐标是 $ (10,-9) $ .

综上,点 $ P $ 的坐标是 $ (\dfrac{14}{3},-1) $ 或 $ (10,-9) $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

6．已知 $ O $ , $ A $ , $ B $ , $ C $ 是不同的点，下列说法正确的是（      ）（多选）

A．若 $ \overrightarrow {AB}=3\overrightarrow {BC} $ ，则 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 三点共线

B．若 $ \overrightarrow {AB}=(2,-1) $ , $ \overrightarrow {AC}=(2,4) $ ，则 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 三点共线

C．若 $ \overrightarrow {OB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {OC} $ ，则 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 三点共线

D．若 $ \overrightarrow {AB}=(1,-2) $ , $ \overrightarrow {AC}=(2,-4) $ ，则 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 三点共线

答案：ACD
解析：

对于 $ \mathrm{A} $ ,若 $ \overrightarrow {AB}=3\overrightarrow {BC} $ ,则 $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {BC} $ 共线且 $ \overrightarrow {AB} $ 的终点是 $ \overrightarrow {BC} $ 的起点,所以 $ A $ , $ B $ , $ C $ 三点共线,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,因为 $ \dfrac{2}{2}\ne \dfrac{-1}{4} $ ,所以 $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {AC} $ 不共线,则 $ A $ , $ B $ , $ C $ 三点不共线,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,若 $ \overrightarrow {OB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {OC} $ ,则 $ \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {OB}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow {OC} $ , $ \dfrac{1}{3}\overrightarrow {OB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow {OA}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow {OC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow {OB} $ ,即 $ \overrightarrow {AB}=2\overrightarrow {BC} $ ,则 $ \overrightarrow {AB} $ 与 $ \overrightarrow {BC} $ 共线,又 $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {BC} $ 有共同端点 $ B $ ,则 $ A $ , $ B $ , $ C $ 三点共线,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,若 $ \overrightarrow {AB}=(1,-2) $ , $ \overrightarrow {AC}=(2,-4) $ ,则 $ \overrightarrow {AB}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} $ ,则 $ \overrightarrow {AB} $ 与 $ \overrightarrow {AC} $ 共线,又 $ \overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {AC} $ 有共同端点 $ A $ ,故 $ A $ , $ B $ , $ C $ 三点共线,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

7．已知向量 $ \boldsymbol{a}=(1,2) $ , $ \boldsymbol{b}=(-1,1) $ ，若 $ (k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})//(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}) $ ，则实数 $ k= $ （      ）

A． $ -\dfrac{1}{3} $

B． $ -\dfrac{1}{2} $

C． $ \dfrac{1}{3} $

D． $ -\dfrac{5}{2} $

答案：B
解析：

由条件可得 $ k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(k,2k)+(-1,1)=(k-1,2k+1) $ ,

$ \boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=(1,2)-(-2,2)=(3,0) $ ,

由 $ (k\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})//(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}) $ 可得 $ (k-1)×0-3(2k+1)=0 $ ,解得 $ k=-\dfrac{1}{2} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

8．设 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ ， $ D $ 为平面内的四点，且 $ A(1,3) $ ， $ B(2,-2) $ ， $ C(4,1) $ .

（1） 若 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ ， $ D $ 逆时针围成平行四边形 $ ABCD $ ，求点 $ D $ 的坐标；

（2） 设向量 $ \boldsymbol{a}=\overrightarrow {AB} $ ， $ \boldsymbol{b}=\overrightarrow {BC} $ ，若 $ k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b} $ 平行，求实数 $ k $ 的值.

答案：

（1） 【解】设 $ D(x,y) $ ,则 $ \overrightarrow {AB}=(1,-5) $ , $ \overrightarrow {DC}=(4-x,1-y) $ ,

因为 $ \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {DC} $ ,所以 $ \begin{cases}1=4-x,\\ -5=1-y,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=3,\\ y=6.\end{cases} $

所以点 $ D $ 的坐标为 $ (3,6) $ .

（2） 由题意得 $ \boldsymbol{a}=\overrightarrow {AB}=(1,-5) $ , $ \boldsymbol{b}=\overrightarrow {BC}=(2,3) $ ,

则 $ k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(k-2,-5k-3) $ , $ \boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=(7,4) $ .

因为 $ (k\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})//(\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}) $ ,所以 $ 4(k-2)=7(-5k-3) $ ,解得 $ k=-\dfrac{1}{3} $ .

解析：

9．平面上有 $ A(2,-1) $ ， $ B(1,4) $ ， $ D(4,-3) $ 三点，点 $ C $ 在直线 $ AB $ 上，且 $ \overrightarrow {AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} $ ，连接 $ DC $ 并延长至点 $ E $ ，使 $ |\overrightarrow {CE}|=\dfrac{1}{4}|\overrightarrow {ED}| $ ，则点 $ E $ 的坐标为          .

答案：

$ (\dfrac{8}{3},-7) $

解析：

设 $ O $ 为坐标原点, $ \because \overrightarrow {AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} $ , $ \therefore \overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OA}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OB}) $ , $ \therefore \overrightarrow {OC}=2\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB}=(3,-6) $ ,

$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (3,-6) $ .

又 $ \because |\overrightarrow {CE}|=\dfrac{1}{4}|\overrightarrow {ED}| $ ,且点 $ E $ 在 $ DC $ 的延长线上, $ \therefore \overrightarrow {CE}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow {ED} $ .

（向量相等法）设 $ E(x,y) $ ,则 $ (x-3,y+6)=-\dfrac{1}{4}(4-x,-3-y) $ ,

$ \therefore \begin{cases}x-3=-\dfrac{1}{4}(4-x),\\ y+6=-\dfrac{1}{4}(-3-y),\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}x=\dfrac{8}{3},\\ y=-7,\end{cases} $

$ \therefore $ 点 $ E $ 的坐标为 $ (\dfrac{8}{3},-7) $ .