6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

因为 $ \boldsymbol{a}=(1,-2) $ , $ \boldsymbol{b}=(4,1) $ ,所以 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1×4+(-2)×1=2 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=-1 $ ,所以 $ (\lambda -1)×1-2(\lambda +2)=-1 $ ,解得 $ \lambda =-4 $ ,所以 $ \boldsymbol{b}=(1,-2) $ ,则 $ |\boldsymbol{b}|=\sqrt{{1}^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

以 $ BC $ 中点为原点, $ BC $ 所在直线为 $ x $ 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,

则 $ B(-2,0) $ , $ C(2,0) $ , $ A(0,2\sqrt{3}) $ ,

设 $ D(x,0) $ , $ -2\leqslant x\leqslant 2 $ ,

则 $ \overrightarrow {DA}=(-x,2\sqrt{3}) $ , $ \overrightarrow {DB}=(-2-x,0) $ , $ \overrightarrow {DC}=(2-x,0) $ ,

所以 $ (\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {DB})\cdot (\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {DC})=(-2-2x,2\sqrt{3})\cdot (2-2x,2\sqrt{3})=4{x}^{2}+8 $ ,

因为 $ -2\leqslant x\leqslant 2 $ ,所以 $ 4{x}^{2}+8\in [8,24] $ ,

所以 $ (\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {DB})\cdot (\overrightarrow {DA}+\overrightarrow {DC}) $ 的取值范围是 $ [8,24] $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

由 $ \overrightarrow {AB}=(1,1) $ 可得 $ |\overrightarrow {AB}|=\sqrt{2} $ ,

由 $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}=0 $ 可得 $ \overrightarrow {AB}\perp \overrightarrow {BC} $ ,

在 $ △ABC $ 中,由勾股定理可得 $ |\overrightarrow {AB}{|}^{2}+|\overrightarrow {BC}{|}^{2}=|\overrightarrow {AC}{|}^{2} $ ,解得 $ |\overrightarrow {BC}|=\sqrt{3} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题意知向量 $ \boldsymbol{a}=(2,m) $ , $ \boldsymbol{b}=(m+1,1) $ 共线,故 $ m(m+1)-2×1=0 $ ,解得 $ m=1 $ 或 $ m=-2 $ .又因为 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 方向相反,所以 $ m=-2 $ ,所以 $ \boldsymbol{a}=(2,-2) $ .又 $ \boldsymbol{c}=(2,1) $ ,则 $ \boldsymbol{a} $ 在 $ \boldsymbol{c} $ 上的投影向量是 $ \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{c}{|}^{2}}\cdot \boldsymbol{c}=\dfrac{2×2-2×1}{ (\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}})^{2}}\cdot (2,1 )= (\dfrac{4}{5},\dfrac{2}{5} ) $ ,即 $ \boldsymbol{a} $ 在 $ \boldsymbol{c} $ 上的投影向量的坐标是 $ (\dfrac{4}{5},\dfrac{2}{5}) $ ,故选 $ \mathrm{D} $ .

以 $ A $ 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,设 $ B(b,0) $ , $ D(0,d) $ .

因为 $ \mathrm{\angle }BAC={45}^{\circ } $ ,且 $ AC=\sqrt{2} $ ,

所以 $ C(1,1) $ ,

故 $ \overrightarrow {CD}=(-1,d-1) $ , $ \overrightarrow {CB}=(b-1,-1) $ ,

故 $ \overrightarrow {CB}+2\overrightarrow {CD}=(b-3,2d-3) $ .

因为 $ \mathrm{\angle }BCD={90}^{\circ } $ ,所以 $ \overrightarrow {CD}\cdot \overrightarrow {CB}=0 $ ,

故 $ -1×(b-1)-1×(d-1)=0 $ ,

即 $ b+d=2 $ ,

所以 $ |\overrightarrow {CB}+2\overrightarrow {CD}|=\sqrt{{\left(b-3\right) ^ {2}}+{\left(2d-3\right) ^ {2}}}=\sqrt{{\left(2-d-3\right) ^ {2}}+{\left(2d-3\right) ^ {2}}} $

$ =\sqrt{5(d-1)^{2}+5} $ ,

当 $ d=1 $ 时, $ {|\overrightarrow {CB}+2\overrightarrow {CD}|}_{ \min }=\sqrt{5} $ .

由题意, $ |\boldsymbol{a}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5} $ , $ |\boldsymbol{b}|=2 $ ,又 $ \boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b} $ ,所以 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0 $ ,

$ |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{{\boldsymbol{a}}^{2}-2\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}+{\boldsymbol{b}}^{2}}=\sqrt{5-0+4}=3 $ ,

所以 $ \cos ⟨\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{a}⟩=\dfrac{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}|}=\dfrac{{\boldsymbol{a}}^{2}-\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}||\boldsymbol{a}|}=\dfrac{5}{3\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设 $ \boldsymbol{c}=(x,y) $ ,又 $ \boldsymbol{a}=(-3,4) $ , $ \boldsymbol{b}=(1,0) $ ,

所以 $ \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{c}⟩=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{c}|}=\dfrac{-3x+4y}{\sqrt{(-3)^{2}+{4}^{2}}|\boldsymbol{c}|}=\dfrac{-3x+4y}{5|\boldsymbol{c}|} $ , $ \cos ⟨\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{c}⟩=\dfrac{\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{b}||\boldsymbol{c}|}=\dfrac{x}{|\boldsymbol{c}|} $ .

因为 $ ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{c}⟩=⟨\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{c}⟩ $ ,

所以 $ \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{c}⟩= \cos ⟨\boldsymbol{b} $ , $ \boldsymbol{c}⟩ $ ,即 $ \dfrac{-3x+4y}{5|\boldsymbol{c}|}=\dfrac{x}{|\boldsymbol{c}|} $ ,所以 $ y=2x $ .

对于 $ \mathrm{A} $ , $ \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}=(-3,4)+5(1,0)=(2,4) $ ,满足 $ y=2x $ ,故 $ \mathrm{A} $ 符合题意；

对于 $ \mathrm{B} $ , $ \boldsymbol{c}=5\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=5(-3,4)+(1,0)=(-14,20) $ ,不满足 $ y=2x $ ,故 $ \mathrm{B} $ 不符合题意；

对于 $ \mathrm{C} $ , $ \boldsymbol{c}=3\boldsymbol{a}+4\boldsymbol{b}=3(-3,4)+4(1,0)=(-5,12) $ ,不满足 $ y=2x $ ,故 $ \mathrm{C} $ 不符合题意；

对于 $ \mathrm{D} $ , $ \boldsymbol{c}=4\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}=4(-3,4)+3(1,0)=(-9,16) $ ,不满足 $ y=2x $ ,故 $ \mathrm{D} $ 不符合题意.

故选 $ \mathrm{A} $ .

因为 $ \boldsymbol{a}=(2,-1) $ , $ \boldsymbol{b}=(1,7) $ ,

所以 $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1×2+7×(-1)=-5 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

$ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(2,-1)-(1,7)=(1,-8) $ , $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,-1)+(1,7)=(3,6) $ ,

所以 $ \boldsymbol{a}\cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2×1+(-1)×(-8)=10 $ , $ \boldsymbol{b}\cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=1×1+(-8)×7=-55 $ ,故 $ \mathrm{B} $ , $ \mathrm{C} $ 错误；

$ \boldsymbol{a}\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=2×3+(-1)×6=0 $ ,故 $ \boldsymbol{a}\perp (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

由题意得 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ , $ \sqrt{3}+\dfrac{1}{2}) $ , $ \boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b}=(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\lambda $ , $ \sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\lambda ) $ ,

若 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\perp (\boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b}) $ ,则 $ (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{a}-\lambda \boldsymbol{b})=(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2})(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\lambda )+(\sqrt{3}+\dfrac{1}{2})\cdot (\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\lambda )=0 $ ,解得 $ \lambda =4 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ \overrightarrow {AB}=(-5,1) $ , $ \overrightarrow {CD}=(m+4,n) $ ,

对于 $ \mathrm{A} $ ,若 $ \overrightarrow {AB}=\overrightarrow {CD} $ ,则 $ \begin{cases}m+4=-5,\\ n=1,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}m=-9,\\ n=1,\end{cases} $ 所以 $ m+9n=0 $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,若 $ \overrightarrow {AB}\perp \overrightarrow {CD} $ ,则 $ -5(m+4)+n=0 $ ,即 $ n-5m=20 $ , $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,若 $ \overrightarrow {AB}//\overrightarrow {CD} $ ,则 $ \dfrac{m+4}{-5}=\dfrac{n}{1} $ ,即 $ m+5n=-4 $ , $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ,若 $ \overrightarrow {AB} $ 与 $ \overrightarrow {CD} $ 互为相反向量,

则 $ \begin{cases}m+4=5,\\ n=-1,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}m=1,\\ n=-1,\end{cases} $ 即 $ m $ 与 $ n $ 互为相反数, $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

设 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为 $ \theta $ ,则 $ \cos \theta =\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=- \sin \varphi .\because \varphi \in (\dfrac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{\pi }) $ , $ \theta \in [0,\mathrm{\pi }] $ , $ \therefore - \sin \varphi = \cos (\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}-\varphi ) $ , $ \therefore \theta =\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2}-\varphi $ .

因为向量 $ \boldsymbol{a}=(1,3) $ , $ \boldsymbol{b}=(m,-1) $ ,所以 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(1+m,2) $ , $ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(1-m,4) $ .

由 $ |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| $ 得 $ \sqrt{{\left(1+m\right) ^ {2}}+{2}^{2}}=\sqrt{{\left(1-m\right) ^ {2}}+{4}^{2}} $ ,

即 $ {m}^{2}+2m+5={m}^{2}-2m+17 $ ,解得 $ m=3 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

由向量 $ \boldsymbol{a}=(1,2) $ , $ \boldsymbol{b}=(m,1) $ , $ \boldsymbol{b}\cdot (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=3 $ ,得 $ (m,1)\cdot (m+1,3)=3 $ ,所以 $ {m}^{2}+m=0 $ ,解得 $ m=0 $ 或 $ m=-1 $ .

当 $ m=0 $ 时, $ \boldsymbol{b}=(0,1) $ , $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=2 $ ,

所以向量 $ \boldsymbol{a} $ 在向量 $ \boldsymbol{b} $ 上的投影向量为 $ |\boldsymbol{a}| \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩\dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}{|}^{2}}\cdot \boldsymbol{b}=(0,2) $ ；

当 $ m=-1 $ 时, $ \boldsymbol{b}=(-1,1) $ , $ \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1 $ ,

所以向量 $ \boldsymbol{a} $ 在向量 $ \boldsymbol{b} $ 上的投影向量为 $ |\boldsymbol{a}| \cos ⟨\boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b}⟩\dfrac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}{|}^{2}}\cdot \boldsymbol{b}=(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}) $ .故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .

因为 $ \boldsymbol{a}=(1,2) $ , $ \boldsymbol{b}=(-3,4) $ , $ \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b} $ ,

所以 $ \boldsymbol{c}=(1-3\lambda ,2+4\lambda ) $ ,

所以 $ |\boldsymbol{c}{|}^{2}={\left(1-3\lambda \right) ^ {2}}+{\left(2+4\lambda \right) ^ {2}}=5+10\lambda +25{\lambda }^{2}=25{\left(\lambda +\dfrac{1}{5}\right) ^ {2}}+4 $ ,

当 $ \lambda =-\dfrac{1}{5} $ 时, $ |\boldsymbol{c}| $ 取得最小值,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

当 $ |\boldsymbol{c}| $ 最小时, $ \boldsymbol{c}=(\dfrac{8}{5},\dfrac{6}{5}) $ ,所以 $ \boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{c}=-3×\dfrac{8}{5}+4×\dfrac{6}{5}=0 $ ,所以 $ \boldsymbol{b}\perp \boldsymbol{c} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

设向量 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{c} $ 的夹角为 $ \theta $ ,则 $ \cos \theta =\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{c}|}=\dfrac{5+5\lambda }{\sqrt{5}\sqrt{5+10\lambda +25{\lambda }^{2}}}=\dfrac{1+\lambda }{\sqrt{1+2\lambda +5{\lambda }^{2}}} $ ,

要使向量 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{c} $ 的夹角最小,则 $ \cos \theta $ 最大,由于 $ \theta \in [0,\mathrm{\pi }] $ ,

所以 $ \cos \theta $ 的最大值为1,此时 $ \theta =0 $ ,则 $ \dfrac{1+\lambda }{\sqrt{1+2\lambda +5{\lambda }^{2}}}=1 $ ,解得 $ \lambda =0 $ .

此时 $ \boldsymbol{c}=(1,2) $ ,所以当 $ \lambda =0 $ 时, $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{c} $ 的夹角最小,此时 $ \boldsymbol{a}=\boldsymbol{c} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

设 $ \overrightarrow {AD}=t\overrightarrow {AC} $ ,如图所示,

因为对任意的实数 $ t $ ,都有 $ |\overrightarrow {AB}-t\overrightarrow {AC}|\geqslant |\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}| $ 恒成立,

所以 $ |\overrightarrow {AB}-t\overrightarrow {AC}|=|\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD}|=|\overrightarrow {DB}|\geqslant |\overrightarrow {CB}| $ 恒成立,则 $ AC\perp BC $ .

因为 $ \overrightarrow {AB}=(2m,m+5) $ , $ \overrightarrow {AC}=( \cos \alpha , \sin \alpha ) $ ,所以 $ |\overrightarrow {AB}|=\sqrt{5(m+1)^{2}+20} $ , $ |\overrightarrow {AC}|=1 $ ,

所以 $ BC=\sqrt{{|\overrightarrow {AB}|}^{2}-{|\overrightarrow {AC}|}^{2}}=\sqrt{5(m+1)^{2}+20-1}\geqslant \sqrt{20-1}=\sqrt{19} $ ,

当且仅当 $ m=-1 $ 时,等号成立.

故选 $ \mathrm{C} $ .

以 $ A $ 为坐标原点, $ AB $ 所在直线为 $ x $ 轴, $ AD $ 所在直线为 $ y $ 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,过点 $ C $ 作 $ CG\perp x $ 轴于点 $ G $ ,作 $ CH\perp y $ 轴于点 $ H $ ,过点 $ B $ 作 $ BM\perp CH $ 交 $ HC $ 的延长线于点 $ M $ ,则 $ △CDH\sim △BCM $ .

因为 $ AB\perp AD $ , $ CD\perp CB $ , $ \mathrm{\angle }ABC={60}^{\circ } $ ,所以 $ \mathrm{\angle }CDH={60}^{\circ } $ ,设 $ HD=x $ ,则 $ CH=\sqrt{3}x $ , $ BM=AH=\sqrt{3}+x $ , $ CM=HM-CH=AB-CH=2-\sqrt{3}x $ ,则 $ \dfrac{HD}{MC}=\dfrac{CH}{BM} $ ,即 $ \dfrac{x}{2-\sqrt{3}x}=\dfrac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}+x} $ ,解得 $ x=\dfrac{\sqrt{3}}{4} $ 或 $ x=0 $ （舍去）.

则 $ A(0,0) $ , $ B(2,0) $ , $ D(0,\sqrt{3}) $ , $ C(\dfrac{3}{4},\dfrac{5\sqrt{3}}{4}) $ , $ E(\dfrac{3}{8},\dfrac{9\sqrt{3}}{8}) $ ,

则 $ BC=\sqrt{B{M}^{2}+C{M}^{2}}=\sqrt{\dfrac{75}{16}+\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{2} $ ,

$ \mathrm{A} $ 正确；

若 $ F $ 为线段 $ AB $ 的中点,则 $ F(1,0) $ ,

所以 $ \overrightarrow {EF}=(\dfrac{5}{8},-\dfrac{9\sqrt{3}}{8}) $ , $ \overrightarrow {DA}=(0,-\sqrt{3}) $ , $ \overrightarrow {CB}=(\dfrac{5}{4},-\dfrac{5\sqrt{3}}{4}) $ ,又 $ \overrightarrow {EF}=\lambda \overrightarrow {DA}+\mu \overrightarrow {CB} $ ,

所以 $ \begin{cases}\dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{4}\mu ,\\ -\dfrac{9\sqrt{3}}{8}=-\sqrt{3}\lambda -\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\mu ,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}\lambda =\dfrac{1}{2},\\ \mu =\dfrac{1}{2},\end{cases} $

则 $ \lambda +\mu =1 $ , $ \mathrm{B} $ 正确；

设 $ F(m,0) $ , $ 0\leqslant m\leqslant 2 $ ,则 $ \overrightarrow {FC}\cdot \overrightarrow {FD}=(\dfrac{3}{4}-m,\dfrac{5\sqrt{3}}{4})\cdot (-m,\sqrt{3})={m}^{2}-\dfrac{3}{4}m+\dfrac{15}{4}={\left(m-\dfrac{3}{8}\right) ^ {2}}+\dfrac{231}{64} $ ,故当 $ m=\dfrac{3}{8} $ 时, $ \overrightarrow {FC}\cdot \overrightarrow {FD} $ 取得最小值,且最小值为 $ \dfrac{231}{64} $ ,

$ \mathrm{C} $ 错误；

$ \overrightarrow {EF}=(m-\dfrac{3}{8},-\dfrac{9\sqrt{3}}{8}) $ ,又 $ \overrightarrow {EF}=\lambda \overrightarrow {DA}+\mu \overrightarrow {CB} $ ,

所以 $ \begin{cases}m-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{4}\mu ,\\ -\dfrac{9\sqrt{3}}{8}=-\sqrt{3}\lambda -\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\mu ,\end{cases} $

因为 $ 0\leqslant m\leqslant 2 $ ,所以 $ m-\dfrac{3}{8}\in [-\dfrac{3}{8},\dfrac{13}{8}] $ ,即 $ \dfrac{5}{4}\mu \in [-\dfrac{3}{8},\dfrac{13}{8}] $ ,所以 $ \mu \in [-\dfrac{3}{10} $ , $ \dfrac{13}{10} ] $ , $ \dfrac{13}{10}-(-\dfrac{3}{10})=\dfrac{8}{5} $ ,所以 $ \mu $ 的最大值比最小值大 $ \dfrac{8}{5} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{C} $ .