1．复数的知识结构图如图所示，其中1,2,3,4四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数、纯虚数、无理数、有理数
B．实数、虚数、负实数、正实数
C．实数、虚数、无理数、有理数
D．实数、虚数、有理数、无理数
答案：C
解析：
由复数与实数、虚数、有理数、无理数的包含关系知 $ \mathrm{C} $ 正确.故选 $ \mathrm{C} $ .
1．复数的知识结构图如图所示，其中1,2,3,4四个方格中的内容分别为（ ）
A．实数、纯虚数、无理数、有理数
B．实数、虚数、负实数、正实数
C．实数、虚数、无理数、有理数
D．实数、虚数、有理数、无理数
由复数与实数、虚数、有理数、无理数的包含关系知 $ \mathrm{C} $ 正确.故选 $ \mathrm{C} $ .
2．设 $ z=-1+2\mathrm{i} $ ，则 $ z $ 的实部与虚部之和为（ ）
A． $ -1 $
B．2
C．1
D． $ -2 $
$ z=-1+2\mathrm{i} $ 的实部为 $ -1 $ ,虚部为2,所以实部与虚部之和为1,故选 $ \mathrm{C} $ .
3．（多选）下列说法错误的是（ ）（多选）
A．复数 $ a+b\mathrm{i} $ 不是纯虚数
B．若 $ x=1 $ ，则复数 $ z=({x}^{2}-1)+(x+1)\mathrm{i} $ 是纯虚数
C．若 $ ({x}^{2}-4)+({x}^{2}+3x+2)\mathrm{i} $ 是纯虚数，则实数 $ x=±2 $
D．若复数 $ z=a+b\mathrm{i} $ ，则当且仅当 $ b\ne 0 $ 时， $ z $ 为虚数
对于 $ \mathrm{A} $ ,当 $ a=0 $ , $ b\ne 0 $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ 时,复数 $ a+b\mathrm{i} $ 是纯虚数, $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ,当 $ x=1 $ 时,复数 $ z=2\mathrm{i} $ 是纯虚数, $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ,若 $ ({x}^{2}-4)+({x}^{2}+3x+2)\mathrm{i} $ 是纯虚数,则 $ \begin{cases}{x}^{2}-4=0,\\ {x}^{2}+3x+2\ne 0,\end{cases} $ 解得 $ x=2 $ , $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ,复数 $ z=a+b\mathrm{i} $ , $ a $ , $ b $ 未注明为实数, $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .
4．若 $ z=a+ ({a}^{2}-1 )\mathrm{i} (a\in \boldsymbol{R} $ ， $ \mathrm{i} $ 为虚数单位 $ ) $ 为实数，则 $ a $ 的值为（ ）
A．0
B．1
C． $ -1 $
D．1或 $ -1 $
若 $ z=a+ ({a}^{2}-1 )\mathrm{i} (a\in \boldsymbol{R} $ , $ \mathrm{i} $ 为虚数单位 $ ) $ 为实数,则 $ {a}^{2}-1=0 $ ,所以 $ a=±1 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
5．若复数 $ z=a+(3+2a-{a}^{2})\mathrm{i}(a\in \boldsymbol{R}) $ 的虚部大于0，则实数 $ a $ 的取值范围是 .
$ (-1,3) $
由复数 $ z $ 的虚部大于0,得 $ 3+2a-{a}^{2} > 0 $ ,解得 $ -1 < a < 3 $ .
6．已知复数 $ z={m}^{2}-2m+({m}^{2}-7m+10)\mathrm{i} $ ， $ m\in \boldsymbol{R} $ .
（1） 若 $ z $ 为实数，求 $ m $ 的值；
（2） 若 $ z $ 为虚数，求 $ m $ 的取值范围；
（3） 若 $ z $ 为纯虚数，求 $ z $ 的虚部.
（1） 【解】由题意得 $ {m}^{2}-7m+10=(m-2)\cdot (m-5)=0 $ ,解得 $ m=2 $ 或 $ m=5 $ .
（2） 由题意得 $ {m}^{2}-7m+10\ne 0 $ ,解得 $ m\ne 2 $ 且 $ m\ne 5 $ ,因此 $ m $ 的取值范围为 $ (-\mathrm{\infty },2)\cup (2,5)\cup (5,+\mathrm{\infty }) $ .
（3） 由题意得 $ \begin{cases}{m}^{2}-2m=0,\\ {m}^{2}-7m+10\ne 0,\end{cases} $ 得 $ \begin{cases}m=0或m=2,\\ m\ne 2且m\ne 5,\end{cases} $ 故 $ m=0 $ ,所以 $ z=10\mathrm{i} $ ,所以 $ z $ 的虚部为10.
7．已知 $ a $ , $ b $ 为实数， $ a+3\mathrm{i}=-1+b\mathrm{i} $ （ $ \mathrm{i} $ 为虚数单位），则（ ）
A． $ a=1 $ ， $ b=-3 $
B． $ a=-1 $ ， $ b=3 $
C． $ a=-1 $ ， $ b=-3 $
D． $ a=1 $ ， $ b=3 $
因为 $ a+3\mathrm{i}=-1+b\mathrm{i} $ ,所以由复数相等的定义可得 $ a=-1 $ , $ b=3 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
8．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①若 $ x $ ， $ y\in \boldsymbol{C} $ ，则 $ x+y\mathrm{i}=1+\mathrm{i} $ 的充要条件是 $ x=y=1 $ ；
②若 $ a $ ， $ b\in \boldsymbol{R} $ 且 $ a > b $ ，则 $ a+\mathrm{i} > b+\mathrm{i} $ ；
③若 $ {x}^{2}+{y}^{2}=0 $ ，则 $ x=y=0 $ .
A．0
B．1
C．2
D．3
对于①,因为 $ x $ , $ y\in \boldsymbol{C} $ ,所以 $ x $ , $ y $ 不一定是 $ x+y\mathrm{i} $ 的实部和虚部,故①是假命题；对于②,由于两个虚数不能比较大小,故②是假命题；对于③,如 $ {1}^{2}+{\mathrm{i}}^{2}=0 $ ,但 $ 1\ne 0 $ , $ \mathrm{i}\ne 0 $ ,故③是假命题.故选 $ \mathrm{A} $ .
9．在下列结论中，正确的个数是（ ）
①两个复数不能比较大小；
②若 $ {z}_{1} $ 和 $ {z}_{2} $ 都是虚数，且它们的虚部相等，则 $ {z}_{1}={z}_{2} $ ；
③若 $ a $ ， $ b $ 是两个相等的实数，则 $ (a-b)+(a+b)\mathrm{i} $ 必为纯虚数.
A．0
B．1
C．2
D．3
对于①,两个复数,当它们都是实数时,是可以比较大小的,故①错误.对于②,设 $ {z}_{1}=a+b\mathrm{i}(a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ ,且 $ b\ne 0) $ , $ {z}_{2}=c+d\mathrm{i}(c $ , $ d\in \boldsymbol{R} $ ,且 $ d\ne 0) $ ,因为 $ b=d $ ,所以 $ {z}_{2}=c+b\mathrm{i} $ .当 $ a=c $ 时, $ {z}_{1}={z}_{2} $ .当 $ a\ne c $ 时, $ {z}_{1}\ne {z}_{2} $ ,故②错误.
对于③,当 $ a=b\ne 0 $ 时, $ (a-b)+(a+b)\mathrm{i} $ 是纯虚数;当 $ a=b=0 $ 时, $ (a-b)+(a+b)\mathrm{i}=0 $ 是实数,故③错误.故选 $ \mathrm{A} $ .