1．复数 $ z= \sin 2+\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 $ （ $ \mathrm{i} $ 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
复数 $ z= \sin 2+\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 $ 在复平面内对应的点为 $ Z( \sin 2, \cos 2) $ ,因为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{2} < 2 < \mathrm{\pi } $ ,所以 $ \sin 2 > 0 $ , $ \cos 2 < 0 $ ,所以复数 $ z= \sin 2+\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2 $ 在复平面内对应的点位于第四象限.故选 $ \mathrm{D} $ .
2．在复数范围内 $ (\mathrm{i} $ 为虚数单位 $ ) $ ，下列命题中假命题的个数是（ ）
$ ①2\mathrm{i} > \mathrm{i} $ ；
②若 $ a+b\mathrm{i}=0(a,b\in \boldsymbol{C}) $ ，则 $ a=b=0 $ ；
③若复数 $ {z}_{1}=2+3\mathrm{i} $ ， $ {z}_{2}=-1+\mathrm{i} $ ， $ \overline{{z}_{1}} $ ， $ \overline{{z}_{2}} $ 在复平面内对应的向量分别为 $ \overrightarrow {OA} $ ， $ \overrightarrow {OB}(O $ 为坐标原点 $ ) $ ，则 $ |\overrightarrow {AB}|=5 $ ；
④若 $ z=\overline{z} $ ，则 $ z\in \boldsymbol{R} $ .
A．1
B．2
C．3
D．4
对于①,虚数不能比较大小,所以①为假命题；
对于②,因为 $ a $ , $ b\in \boldsymbol{C} $ ,例如 $ a=\mathrm{i} $ , $ b=-1 $ ,此时 $ a+b\mathrm{i}=0 $ ,所以②为假命题；
对于③,由复数 $ {z}_{1}=2+3\mathrm{i} $ , $ {z}_{2}=-1+\mathrm{i} $ ,可得 $ \overline{{z}_{1}}=2-3\mathrm{i} $ , $ \overline{{z}_{2}}=-1-\mathrm{i} $ ,可得 $ \overline{{z}_{1}} $ , $ \overline{{z}_{2}} $ 在复平面内对应的向量分别为 $ \overrightarrow {OA}=(2,-3) $ , $ \overrightarrow {OB}=(-1,-1) $ ,所以 $ \overrightarrow {AB}=(-3,2) $ ,则 $ |\overrightarrow {AB}|=\sqrt{13} $ ,所以③为假命题；
对于④,设 $ z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \boldsymbol{R}) $ ,由 $ z=\overline{z} $ ,可得 $ a+b\mathrm{i}=a-b\mathrm{i} $ ,可得 $ b=0 $ ,所以 $ z\in \boldsymbol{R} $ ,所以④为真命题.故选 $ \mathrm{C} $ .
3．在复平面内，若在正方形 $ OABC $ （ $ O $ 为原点）中 $ \overrightarrow {OA} $ 对应的复数为 $ -1-3\mathrm{i} $ ，则 $ \overrightarrow {BC} $ 对应的复数为（ ）
A． $ -1+3\mathrm{i} $
B． $ 1-3\mathrm{i} $
C． $ 1+3\mathrm{i} $
D． $ 3+\mathrm{i} $
$ \because $ 在正方形 $ OABC $ 中, $ \overrightarrow {OA} $ 对应的复数为 $ -1-3\mathrm{i} $ , $ \therefore \overrightarrow {OA}=\overrightarrow {CB}=(-1,-3) $ ,则 $ \overrightarrow {BC}=(1,3) $ , $ \therefore \overrightarrow {BC} $ 对应的复数为 $ 1+3\mathrm{i} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
4．（多选）设 $ z=(m+\sqrt{2})+({m}^{2}-\sqrt{2}m-4)\mathrm{i}(m\in \boldsymbol{R}) $ ，则下列说法正确的是（ ）（多选）
A．当 $ m=\sqrt{2} $ 时， $ |z|=2\sqrt{6} $
B．当 $ m=0 $ 时， $ z $ 的虚部是 $ -4 $
C． $ \exists m\in \boldsymbol{R} $ ，使 $ z $ 是纯虚数
D． $ \forall m\in \boldsymbol{R} $ , $ z $ 在复平面内对应的点不位于第三象限
对于 $ \mathrm{A} $ ：当 $ m=\sqrt{2} $ 时, $ z=2\sqrt{2}-4\mathrm{i}⇒|z|=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(-4)^{2}}=2\sqrt{6} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；
对于 $ \mathrm{B} $ ：当 $ m=0 $ 时, $ z=\sqrt{2}-4\mathrm{i} $ ,虚部为 $ -4 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ ：若 $ z $ 为纯虚数,则 $ \begin{cases}m+\sqrt{2}=0,\\ {m}^{2}-\sqrt{2}m-4\ne 0,\end{cases} $ 此时无解,故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ：若 $ z $ 在复平面内对应的点位于第三象限,则由 $ \begin{cases}m+\sqrt{2} < 0,\\ {m}^{2}-\sqrt{2}m-4 < 0\end{cases}⇒\begin{cases}m < -\sqrt{2},\\ -\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2},\end{cases} $ 此时无解,故不存在 $ m $ 使 $ z $ 在复平面内对应的点位于第三象限,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .
5．（多选）欧拉公式 $ {\mathrm{e}}^{x\mathrm{i}}= \cos x+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}x(x\in \boldsymbol{R}) $ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）（多选）
A． $ \dfrac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{i}}}{2} $ 的模为定值
B． $ {\mathrm{e}}^{\mathrm{\pi }\mathrm{i}} $ 为纯虚数
C． $ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}} $ 在复平面内对应的点位于第二象限
D． $ {\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}\mathrm{i}} $ 的共轭复数为 $ \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} $
$ \mathrm{A} $ 选项, $ \dfrac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{i}}}{2}=\dfrac{1}{2} \cos x+\dfrac{ \sin x}{2}\mathrm{i} $ ,故 $ \dfrac{{\mathrm{e}}^{x\mathrm{i}}}{2} $ 的模为 $ \sqrt{\dfrac{1}{4}{ \cos }^{2}x+\dfrac{1}{4}{ \sin }^{2}x}=\dfrac{1}{2} $ , $ \mathrm{A} $ 正确；
$ \mathrm{B} $ 选项, $ {\mathrm{e}}^{\mathrm{\pi }\mathrm{i}}= \cos \mathrm{\pi }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{\pi }=-1 $ ,则 $ {\mathrm{e}}^{\mathrm{\pi }\mathrm{i}} $ 为实数, $ \mathrm{B} $ 错误；
$ \mathrm{C} $ 选项,当 $ x=1 $ 时, $ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}}= \cos 1+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}1 $ ,故 $ {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}} $ 在复平面内对应的点的坐标为 $ ( \cos 1, \sin 1) $ ,又 $ \cos 1 > 0 $ , $ \sin 1 > 0 $ ,故点 $ ( \cos 1, \sin 1) $ 不在第二象限, $ \mathrm{C} $ 错误；
$ \mathrm{D} $ 选项, $ {\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}\mathrm{i}}= \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} $ ,其共轭复数为 $ \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .
6．已知 $ \mathrm{i} $ 为虚数单位， $ m\in \boldsymbol{R} $ ，复数 $ z=({m}^{2}-8m+15)+({m}^{2}-4m+3)\mathrm{i} $ .
（1） 若 $ z $ 是实数，求 $ m $ 的值；
（2） 若 $ z $ 是纯虚数，求 $ m $ 的值；
（3） 若复数 $ z $ 与 $ 1-2\mathrm{i} $ 在复平面内对应的向量分别为 $ \boldsymbol{a} $ ， $ \boldsymbol{b} $ ，且 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为钝角，求 $ m $ 的取值范围.
（1） 【解】因为 $ z=({m}^{2}-8m+15)+({m}^{2}-4m+3)\mathrm{i} $ 是实数,
所以 $ {m}^{2}-4m+3=0 $ ,解得 $ m=3 $ 或 $ m=1 $ .
（2） 因为 $ z=({m}^{2}-8m+15)+({m}^{2}-4m+3)\mathrm{i} $ 是纯虚数,
所以 $ \begin{cases}{m}^{2}-8m+15=0,\\ {m}^{2}-4m+3\ne 0,\end{cases} $ 解得 $ m=5 $ .
（3） 因为复数 $ z $ 与 $ 1-2\mathrm{i} $ 在复平面内对应的向量分别为 $ \boldsymbol{a} $ , $ \boldsymbol{b} $ ,
所以 $ \boldsymbol{a}=({m}^{2}-8m+15,{m}^{2}-4m+3) $ , $ \boldsymbol{b}=(1,-2) $ .又因为 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角为钝角,所以 $ {m}^{2}-8m+15-2({m}^{2}-4m+3) < 0 $ ,且 $ {m}^{2}-4m+3\ne -2({m}^{2}-8m+15) $ ,
解得 $ m > 3 $ 或 $ m < -3 $ ,且 $ m\ne \dfrac{11}{3} $ ,
即 $ m $ 的取值范围为 $ (-\mathrm{\infty },-3)\cup (3,\dfrac{11}{3})\cup (\dfrac{11}{3},+\mathrm{\infty }) $ .
7．四边形 $ ABCD $ 为复平面内的平行四边形， $ O $ 为坐标原点，向量 $ \overrightarrow {OA} $ 对应的复数为 $ {\rm 5，} \overrightarrow {AB} $ 对应的复数为 $ -2-3\mathrm{i} $ ， $ \overrightarrow {BC} $ 对应的复数为 $ -6+4\mathrm{i} $ ．
（1） 求点 $ D $ 对应的复数；
（2） 判断 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ ， $ D $ 四点是否在同一个圆上，并证明你的结论．
（1） 【解】由题意知, $ \overrightarrow {OA}=(5,0) $ , $ \overrightarrow {AB}=(-2,-3) $ , $ \overrightarrow {BC}=(-6,4) $ .
$ \because \overrightarrow {OD}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AD} $ ,且 $ \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {BC} $ , $ \therefore \overrightarrow {OD}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {BC}=(5,0)+(-6,4)=(-1,4) $ ,
$ \therefore D(-1,4) $ ,则点 $ D $ 对应的复数为 $ -1+4\mathrm{i} $ ．
（2） $ A $ , $ B $ , $ C $ , $ D $ 四点在同一个圆上,证明如下：由（1）可知, $ \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {BC}=0 $ ,则 $ \overrightarrow {AB}\perp \overrightarrow {BC} $ ,即 $ AB\perp BC $ ．
$ \therefore $ 平行四边形 $ ABCD $ 为矩形, $ \therefore A $ , $ B $ , $ C $ , $ D $ 四点共圆．