1．复数 $ (2-\mathrm{i})(1+3\mathrm{i}) $ 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
复数 $ (2-\mathrm{i})(1+3\mathrm{i})=5+5\mathrm{i} $ ,所以复数 $ (2-\mathrm{i})(1+3\mathrm{i}) $ 在复平面内对应的点 $ (5,5) $ 在第一象限.故选 $ \mathrm{A} $ .
2．设复数 $ z=a+3\mathrm{i}(a\in \boldsymbol{R} $ 且 $ a < 0) $ ，若 $ z\cdot \overline{z}=25 $ ，则 $ a $ 的值为（ ）
A． $ -1 $
B． $ -4 $
C． $ -\dfrac{25}{3} $
D． $ -16 $
因为 $ z=a+3\mathrm{i} $ ,所以 $ z\cdot \overline{z}=(a+3\mathrm{i})\cdot (a-3\mathrm{i})={a}^{2}+9=25 $ ,解得 $ a=±4 $ ,又 $ a < 0 $ ,所以 $ a=-4 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
3．已知 $ a $ , $ b\in \boldsymbol{R} $ ，复数 $ z=a+b\mathrm{i} $ 满足 $ z(1+\mathrm{i})=2-2\mathrm{i} $ ，则 $ a+b= $ （ ）
A． $ -1 $
B． $ -2 $
C． $ -3 $
D． $ -4 $
因为 $ z(1+\mathrm{i})=2-2\mathrm{i} $ ,所以 $ z=\dfrac{2-2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\dfrac{2(1-\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\dfrac{2(-2\mathrm{i})}{2}=-2\mathrm{i} $ ,所以 $ a=0 $ , $ b=-2 $ ,所以 $ a+b=-2 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
4．（多选）已知 $ \mathrm{i} $ 为虚数单位，复数 $ z=\dfrac{2\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}} $ ，以下说法正确的是（ ）（多选）
A．复数 $ z $ 的虚部是 $ \dfrac{4}{5} $
B． $ |z|=1 $
C．复数 $ z $ 的共轭复数是 $ \overline{z}=-\dfrac{2}{5}+\dfrac{4}{5}\mathrm{i} $
D．复数 $ z $ 在复平面内对应的点位于第一象限
$ z=\dfrac{2\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}=\dfrac{2\mathrm{i}(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}=\dfrac{2+4\mathrm{i}}{5}=\dfrac{2}{5}+\dfrac{4}{5}\mathrm{i} $ .
$ \mathrm{A} $ .复数 $ z $ 的虚部是 $ \dfrac{4}{5} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；
$ \mathrm{B} $ . $ |z|=\sqrt{{\left(\dfrac{2}{5}\right) ^ {2}}+{\left(\dfrac{4}{5}\right) ^ {2}}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；
$ \mathrm{C} $ .复数 $ z $ 的共轭复数 $ \overline{z}=\dfrac{2}{5}-\dfrac{4}{5}\mathrm{i} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；
$ \mathrm{D} $ .复数 $ z $ 在复平面内对应的点是 $ (\dfrac{2}{5},\dfrac{4}{5}) $ ,位于第一象限,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .
5．已知 $ z=1+{\mathrm{i}}^{2025} $ （ $ \mathrm{i} $ 为虚数单位），则 $ \overline{z}= $ （ ）
A． $ -1+\mathrm{i} $
B． $ -1-\mathrm{i} $
C． $ 1+\mathrm{i} $
D． $ 1-\mathrm{i} $
因为 $ {\mathrm{i}}^{1}=\mathrm{i} $ , $ {\mathrm{i}}^{2}=-1 $ , $ {\mathrm{i}}^{3}=-\mathrm{i} $ , $ {\mathrm{i}}^{4}=1 $ , $ {\mathrm{i}}^{5}=\mathrm{i} $ ,所以 $ {\mathrm{i}}^{n} $ , $ n\in {\boldsymbol{N}}^{\ast } $ 的周期为4,又因为 $ 2025=506×4+1 $ ,所以 $ {\mathrm{i}}^{2025}=\mathrm{i} $ ,故 $ z=1+\mathrm{i} $ ,则 $ \overline{z}=1-\mathrm{i} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
6．若复数 $ z $ 满足 $ (1-\mathrm{i})z={\mathrm{i}}^{2027} $ , $ \overline{z} $ 为 $ z $ 的共轭复数，则（ ）（多选）
A． $ |z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $
B． $ z\cdot \overline{z}=\dfrac{1}{2} $
C． $ z $ 在复平面内对应的点位于第二象限
D． $ \dfrac{\overline{z}}{z} $ 是纯虚数
$ {\mathrm{i}}^{2027}={\mathrm{i}}^{506×4+3}=({\mathrm{i}}^{4})^{506}\cdot {\mathrm{i}}^{3}=-\mathrm{i} $ ,则 $ z=\dfrac{-\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{-\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\dfrac{1-\mathrm{i}}{2} $ ,则 $ |z|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ , $ \mathrm{A} $ 正确； $ \overline{z}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{2} $ ,则 $ z\cdot \overline{z}={\left(\dfrac{1}{2}\right) ^ {2}}-{\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{i}\right) ^ {2}}=\dfrac{1}{2} $ , $ \mathrm{B} $ 正确； $ z $ 在复平面内对应的点为 $ (\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}) $ ,位于第四象限, $ \mathrm{C} $ 错误； $ \dfrac{\overline{z}}{z}=\dfrac{\dfrac{1+\mathrm{i}}{2}}{\dfrac{1-\mathrm{i}}{2}}=\dfrac{(1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\mathrm{i} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .
7．对于实系数一元二次方程 $ a{x}^{2}+bx+c=0(a $ , $ b $ , $ c\in \boldsymbol{R} $ 且 $ a\ne 0) $ ，在复数范围内的解是 $ {x}_{1} $ ， $ {x}_{2} $ ，下列结论中正确的是（ ）（多选）
A．若 $ {b}^{2}-4ac=0 $ ，则 $ {x}_{1} $ ， $ {x}_{2}\in \boldsymbol{R} $ 且 $ {x}_{1}={x}_{2} $
B．若 $ {b}^{2}-4ac < 0 $ ，则 $ {x}_{1}\notin \boldsymbol{R} $ ， $ {x}_{2}\notin \boldsymbol{R} $ 且 $ \overline{{x}_{1}}=\overline{{x}_{2}} $
C．一定有 $ {x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{b}{a} $ ， $ {x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{c}{a} $
D．一定有 $ ({x}_{1}-{x}_{2})^{2}=\dfrac{|{b}^{2}-4ac|}{{a}^{2}} $
对于 $ \mathrm{A} $ ,当 $ {b}^{2}-4ac=0 $ 时, $ {x}_{1}={x}_{2}=-\dfrac{b}{2a}\in \boldsymbol{R} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；对于 $ \mathrm{B} $ ,当 $ {b}^{2}-4ac < 0 $ 时,不妨设 $ {x}_{1}=\dfrac{-b-\mathrm{i}\sqrt{-{b}^{2}+4ac}}{2a} $ , $ {x}_{2}=\dfrac{-b+\mathrm{i}\sqrt{-{b}^{2}+4ac}}{2a} $ ,则 $ {x}_{1}\notin \boldsymbol{R} $ , $ {x}_{2}\notin \boldsymbol{R} $ ,且 $ \overline{{x}_{1}}\ne \overline{{x}_{2}} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；对于 $ \mathrm{C} $ ,由一元二次方程根与系数的关系可得 $ {x}_{1}+{x}_{2}=-\dfrac{b}{a} $ , $ {x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{c}{a} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；对于 $ \mathrm{D} $ , $ ({x}_{1}-{x}_{2})^{2}=\dfrac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .
8．若 $ 1+2\mathrm{i} $ 是关于 $ x $ 的方程 $ {x}^{2}+px+q=0 $ 的虚数根，且 $ p $ , $ q\in \boldsymbol{R} $ ，则（ ）
A． $ p=2 $ ， $ q=5 $
B． $ p=-2 $ ， $ q=5 $
C． $ p=2 $ ， $ q=-5 $
D． $ p=-2 $ ， $ q=-5 $
因为实系数一元二次方程的两个虚数根是共轭复数,所以可知 $ 1+2\mathrm{i} $ 和 $ 1-2\mathrm{i} $ 是方程 $ {x}^{2}+px+q=0 $ 的两个根,根据根与系数的关系可得 $ \begin{cases}1+2\mathrm{i}+1-2\mathrm{i}=-p,\\ (1+2\mathrm{i})(1-2\mathrm{i})=q,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}p=-2,\\ q=5.\end{cases} $ 故选 $ \mathrm{B} $ .
9．在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 $ \dfrac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}} $ ， $ -2+\mathrm{i} {\rm ，0} $ ，则第四个顶点对应的复数为 .
$ -1+3\mathrm{i} $
$ \dfrac{3+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\dfrac{(3+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\dfrac{2+4\mathrm{i}}{2}=1+2\mathrm{i} $ .
设复数 $ {z}_{1}=1+2\mathrm{i} $ , $ {z}_{2}=-2+\mathrm{i} $ , $ {z}_{3}=0 $ ,它们在复平面内对应的点分别是 $ A $ , $ B $ , $ C.\therefore A(1,2) $ , $ B(-2,1) $ , $ C(0,0).\therefore BC=\sqrt{5} $ , $ AC=\sqrt{5} $ , $ AB=\sqrt{10} $ ,即 $ B{C}^{2}+A{C}^{2}=A{B}^{2} $ , $ \therefore \mathrm{\angle }BCA={90}^{\circ } $ .
设正方形 $ ACBD $ 的第四个顶点 $ D $ 在复平面内的坐标是 $ (x,y) $ ,
$ \therefore \overrightarrow {AD}=\overrightarrow {CB} $ , $ \therefore (x-1,y-2)=(-2,1) $ ,
$ \therefore x-1=-2 $ , $ y-2=1 $ , $ \therefore x=-1 $ , $ y=3.\therefore $ 第四个顶点对应的复数为 $ -1+3\mathrm{i} $ .
10．设复数 $ z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \boldsymbol{R}) $ .
（1） 若 $ z=\mathrm{i}(2+\mathrm{i}) $ ，求 $ a $ ， $ b $ 的值；
（2） 若 $ z $ 与复数 $ {z}_{1}=2+\mathrm{i} $ 互为共轭复数，求 $ z\cdot {z}_{1} $ 的值；
（3） 当 $ b\ne 0 $ 时，若 $ z+\dfrac{2}{z}=t(t\in \boldsymbol{R}) $ ，求 $ |z| $ 的值.
（1） 【解】因为 $ z=\mathrm{i}(2+\mathrm{i})=-1+2\mathrm{i}=a+b\mathrm{i}(a,b\in \boldsymbol{R}) $ ,所以 $ a=-1 $ , $ b=2 $ .
（2） 因为 $ z $ 与复数 $ {z}_{1}=2+\mathrm{i} $ 互为共轭复数,所以 $ z=2-\mathrm{i} $ ,故 $ z\cdot {z}_{1}=(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=4+1=5 $ .
（3） 因为 $ b\ne 0 $ , $ z+\dfrac{2}{z}=t(t\in \boldsymbol{R}) $ ,
则 $ t=a+b\mathrm{i}+\dfrac{2}{a+b\mathrm{i}}=a+b\mathrm{i}+\dfrac{2(a-b\mathrm{i})}{(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})}=(a+\dfrac{2a}{{a}^{2}+{b}^{2}})+(b-\dfrac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}})\mathrm{i} $ ,
所以 $ b-\dfrac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}}=\dfrac{({a}^{2}+{b}^{2}-2)b}{{a}^{2}+{b}^{2}}=0 $ ,
又 $ b\ne 0 $ ,所以 $ {a}^{2}+{b}^{2}=2 $ ,所以 $ |z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{2} $ .