1．复数 $ z=-3-\sqrt{3}\mathrm{i} $ 的辐角的主值为（ ）
A． $ \dfrac{7\mathrm{\pi }}{6} $
B． $ -\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $
C． $ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3} $
D． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $
$ z=-3-\sqrt{3}\mathrm{i}=2\sqrt{3}\cdot (-\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i})=2\sqrt{3}( \cos \dfrac{7\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{7\mathrm{\pi }}{6}) $ ,所以辐角的主值为 $ \dfrac{7\mathrm{\pi }}{6} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
2．若复数 $ z=\dfrac{2\mathrm{i}}{1-\sqrt{3}\mathrm{i}} $ ，则 $ z $ 的辐角的主值为（ ）
A． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $
B． $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $
C． $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $
D． $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $
因为 $ z=\dfrac{2\mathrm{i}}{1-\sqrt{3}\mathrm{i}}=\dfrac{2\mathrm{i}(1+\sqrt{3}\mathrm{i})}{(1-\sqrt{3}\mathrm{i})(1+\sqrt{3}\mathrm{i})}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i} $ ,所以 $ z= \cos \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ ,所以 $ z $ 的辐角的主值为 $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
3．复数 $ -\sqrt{3}+\mathrm{i} $ 的三角形式可以为（ ）
A． $ 2( \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}) $
B． $ 2( \cos \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}) $
C． $ \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $
D． $ \cos \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $
$ -\sqrt{3}+\mathrm{i}=2(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\mathrm{i})=2( \cos \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}) $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
4．复数 $ z=\sqrt{3}( \sin \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}) $ 化为代数形式为 .
$ \dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} $
$ z=\sqrt{3}\cdot ( \sin \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3})=\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}×(-\dfrac{1}{2})\mathrm{i}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} $ .
5．已知复数 $ z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} $ （ $ \mathrm{i} $ 为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）（多选）
A． $ {z}^{3}=1 $
B． $ {z}^{2}=z $
C． $ {z}^{2}+z+1=0 $
D． $ z+{z}^{2}+\cdots +{z}^{2025}=0 $
把 $ z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} $ 化为三角形式,可得 $ z= \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ .
选项 $ \mathrm{A} $ , $ {z}^{3}= \cos 2\mathrm{\pi }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{\pi }=1 $ , $ \mathrm{A} $ 正确；
选项 $ \mathrm{B} $ , $ {z}^{2}= \cos \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}=- \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}\ne z $ , $ \mathrm{B} $ 错误；
选项 $ \mathrm{C} $ ,由 $ \mathrm{B} $ 知 $ {z}^{2}+z+1=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}+1=0 $ , $ \mathrm{C} $ 正确；
选项 $ \mathrm{D} $ , $ z+{z}^{2}+\cdots +{z}^{2025}=(1+z+{z}^{2})(z+{z}^{4}+\cdots +{z}^{2020}+{z}^{2023})=0 $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .
6． $ \dfrac{1}{2}( \cos {60}^{\circ }-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{240}^{\circ })×6( \cos {30}^{\circ }-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{210}^{\circ })= $ .
$ 3\mathrm{i} $
$ \dfrac{1}{2}( \cos {60}^{\circ }-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{240}^{\circ })×6( \cos {30}^{\circ }-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{210}^{\circ })=\dfrac{1}{2}( \cos {60}^{\circ }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{60}^{\circ })×6( \cos {30}^{\circ }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{30}^{\circ })=3[ \cos ({60}^{\circ }+{30}^{\circ })+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({60}^{\circ }+{30}^{\circ })]=3( \cos {90}^{\circ }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{90}^{\circ })=3\mathrm{i} $ .
7．复数 $ 2÷[\sqrt{2}( \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})] $ 的三角形式可以是（ ）
A． $ \sqrt{2}( \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{5}) $
B． $ \sqrt{2}( \cos \dfrac{3\mathrm{\pi }}{10}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{3\mathrm{\pi }}{10}) $
C． $ \sqrt{2}[ \cos (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})] $
D． $ \sqrt{2}( \cos \dfrac{4\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{4\mathrm{\pi }}{5}) $
$ 2÷[\sqrt{2}( \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})]=\dfrac{2( \cos 0+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}0)}{\sqrt{2}( \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\cdot [ \cos (0-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(0-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})]=\sqrt{2}\cdot [ \cos (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-\dfrac{\mathrm{\pi }}{5})] $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
8．计算： $ {\left(\dfrac{ \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}}{ \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}}\right) ^ {6}}= $ .
$ -1 $
$ {\left(\dfrac{ \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}}{ \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}}\right) ^ {6}}={\left(\dfrac{ \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}}{ \cos \dfrac{7\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{7\mathrm{\pi }}{4}}\right) ^ {6}} $
$ ={[ \cos (\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}-\dfrac{7\mathrm{\pi }}{4})+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\dfrac{\mathrm{\pi }}{4}-\dfrac{7\mathrm{\pi }}{4})]}^{6} $
$ ={[ \cos (-\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2})+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-\dfrac{3\mathrm{\pi }}{2})]}^{6} $
$ ={\left( \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}\right) ^ {6}} $
$ ={\mathrm{i}}^{6} $
$ =-1 $ .
9．设复数 $ {z}_{1} $ , $ {z}_{2} $ 对应的向量分别为 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}} $ , $ \overrightarrow {O{Z}_{2}} $ , $ O $ 为坐标原点，且 $ {z}_{1}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\mathrm{i} $ ，若把 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}} $ 绕原点顺时针旋转 $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ ，把 $ \overrightarrow {O{Z}_{2}} $ 绕原点逆时针旋转 $ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3} $ ，所得两向量的终点重合，则 $ {z}_{2}= $ （ ）
A． $ 1-\sqrt{3}\mathrm{i} $
B． $ -1+\sqrt{3}\mathrm{i} $
C． $ \sqrt{3}-\mathrm{i} $
D． $ -\sqrt{3}+\mathrm{i} $
由已知得 $ {z}_{1}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}\mathrm{i}=2(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mathrm{i})=2( \cos \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}) $ ,
所以 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}} $ 绕原点顺时针旋转 $ \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4} $ 所得向量对应的复数为 $ 2( \cos \dfrac{3\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4})\cdot [ \cos (-\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4})+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-\dfrac{3\mathrm{\pi }}{4})]=2( \cos 0+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}0)=2 $ ,
由 $ \overrightarrow {O{Z}_{2}} $ 绕原点逆时针旋转 $ \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3} $ 所得向量对应的复数为 $ {z}_{2}( \cos \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}) $ ,由所得两向量的终点重合,得 $ {z}_{2}( \cos \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\cdot \sin \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3})=2 $ ,
所以 $ {z}_{2}=\dfrac{2}{ \cos \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}}=2( \cos \dfrac{4\mathrm{\pi }}{3}-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{4\mathrm{\pi }}{3})=-1+\sqrt{3}\mathrm{i} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .
10．已知复数 $ z=(m+3)-(m+1)\mathrm{i} $ 在复平面内对应的点在第一象限， $ \mathrm{i} $ 是虚数单位.
（1） 求实数 $ m $ 的取值范围;
（2） 当 $ m=-2 $ 时，求复数 $ z $ 的三角表示式;
（3） 若在复平面内，向量 $ \overrightarrow {OZ} $ 对应（2）中的复数 $ z $ ，把 $ \overrightarrow {OZ} $ 绕点 $ O $ 按顺时针方向旋转 $ {60}^{\circ } $ 得到 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}} $ ，求向量 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}} $ 对应的复数 $ {z}_{1} $ （结果用代数形式表示）.
（1） 【解】因为复数 $ z=(m+3)-(m+1)\mathrm{i} $ 在复平面内对应的点在第一象限,
所以 $ \begin{cases}m+3 > 0,\\ -(m+1) > 0,\end{cases} $ 解得 $ -3 < m < -1 $ ,所以实数 $ m $ 的取值范围为 $ (-3,-1) $ .
（2） 当 $ m=-2 $ 时, $ z=1+\mathrm{i} $ ,所以 $ r=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2} $ , $ \cos \theta = \sin \theta =\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ,
所以 $ \theta ={45}^{\circ } $ ,所以 $ z=\sqrt{2}( \cos {45}^{\circ }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{45}^{\circ }) $ .
（3）（代数运算）根据题意得 $ z=1+\mathrm{i} $ 在复平面内对应的向量 $ \overrightarrow {OZ}=(1,1) $ ,将其顺时针旋转 $ {60}^{\circ } $ 后得到向量 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}} $ ,则 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}} $ 对应的复数 $ {z}_{1}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{ \cos {60}^{\circ }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{60}^{\circ }}=\dfrac{1+\mathrm{i}}{\dfrac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\mathrm{i} $ .
11． $ {z}^{6}+{z}^{4}+{z}^{3}+{z}^{2}+1=0 $ 所有虚部为正的根之积为 $ P $ ，则 $ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}P= $ .
$ \dfrac{23\mathrm{\pi }}{15} $
$ \because {z}^{6}+{z}^{4}+{z}^{3}+{z}^{2}+1=0 $ ,
$ \therefore ({z}^{6}-z)+({z}^{4}+{z}^{3}+{z}^{2}+z+1)=0 $ ,
易知 $ z\ne 1 $ ,
$ \therefore z({z}^{5}-1)+\dfrac{{z}^{5}-1}{z-1}=0 $ ,
$ \therefore ({z}^{5}-1)\cdot \dfrac{{z}^{2}-z+1}{z-1}=0 $ .
①若 $ {z}^{5}-1=0 $ ,即 $ {z}^{5}=1= \cos 2k\mathrm{\pi }+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2k\mathrm{\pi } $ , $ k\in \boldsymbol{Z} $ ,
由终边相同的角的意义,取 $ \dfrac{2k\mathrm{\pi }}{5}\in [0,2\mathrm{\pi }) $ ,则 $ z= \cos \dfrac{2k\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{2k\mathrm{\pi }}{5} $ , $ k=1 {\rm ,2,3,4} $ ,
$ \therefore {z}_{1}= \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{2\mathrm{\pi }}{5} $ , $ {z}_{2}= \cos \dfrac{4\mathrm{\pi }}{5}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{4\mathrm{\pi }}{5} $ 符合虚部为正；
②若 $ {z}^{2}-z+1=0 $ ,则 $ z=\dfrac{1±\sqrt{3}\mathrm{i}}{2} $ , $ \therefore {z}_{3}=\dfrac{1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}= \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ 符合虚部为正.
$ \therefore {z}_{1}{z}_{2}{z}_{3}= \cos (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{5}+\dfrac{4\mathrm{\pi }}{5}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{5}+\dfrac{4\mathrm{\pi }}{5}+\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})= \cos \dfrac{23\mathrm{\pi }}{15}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{23\mathrm{\pi }}{15} $ ,
$ \therefore $ 辐角的主值 $ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}P=\dfrac{23\mathrm{\pi }}{15} $ .
12．已知复数 $ {z}_{A} $ , $ {z}_{B} $ 在复平面内对应的点分别为 $ A $ , $ B $ ,且满足 $ |{z}_{A}|=3 $ , $ 9{z}_{A}^{2}-6{z}_{A}{z}_{B}+4{z}_{B}^{2}=0 $ ， $ O $ 为复平面内的原点，则 $ △AOB $ 的面积为 .
$ \dfrac{27\sqrt{3}}{8} $
易知 $ {z}_{A}\ne 0 $ ,设 $ \dfrac{{z}_{B}}{{z}_{A}}=\omega $ ,则原方程等价于 $ 4{\omega }^{2}-6\omega +9=0 $ ,解得 $ \omega =\dfrac{6±6\sqrt{3}\mathrm{i}}{8}=\dfrac{3}{2}(\dfrac{1}{2}±\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}) $ ,
则 $ \omega =\dfrac{3}{2}( \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mathrm{\pi }}{3}) $ 或 $ \omega =\dfrac{3}{2}[ \cos (-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})+\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-\dfrac{\mathrm{\pi }}{3})] $ ,
因此 $ △AOB $ 的面积 $ S=\dfrac{1}{2}|{z}_{A}||{z}_{B}|\cdot \sin ⟨\overrightarrow {OA} $ , $ \overrightarrow {OB}⟩=\dfrac{1}{2}×3×3×\dfrac{3}{2}\cdot \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{27\sqrt{3}}{8} $ .