第七章素养检测

根据复数的概念得,复数 $ z=-7-6\mathrm{i} $ 的虚部为 $ -6 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由题知, $ \overline{z}=1-m\mathrm{i} $ ,则 $ \overline{z}(2-\mathrm{i})=(1-m\mathrm{i})(2-\mathrm{i})=(2-m)-(1+2m)\mathrm{i} $ .

又 $ \overline{z}(2-\mathrm{i}) $ 是纯虚数,则 $ 2-m=0 $ 且 $ 1+2m\ne 0 $ ,得 $ m=2 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

选项 $ \mathrm{A} $ ,当 $ {z}_{1}=1 $ , $ {z}_{2}=\mathrm{i} $ 时, $ |{z}_{1}|=|{z}_{2}| $ ,显然 $ {z}_{1}\ne {z}_{2} $ , $ \mathrm{A} $ 错误；

选项 $ \mathrm{B} $ ,若 $ {z}_{1}=\overline{{z}_{1}} $ ,则 $ {z}_{1} $ 的虚部为0,即 $ {z}_{1} $ 为实数, $ \mathrm{B} $ 正确；

选项 $ \mathrm{C} $ ,只有当 $ {z}_{2} $ 为非零实数时, $ {z}_{2}^{2} > 0 $ 才成立, $ \mathrm{C} $ 错误；

选项 $ \mathrm{D} $ ,当 $ {z}_{1}=\mathrm{i} $ , $ {z}_{2}=-\mathrm{i} $ 时, $ ({z}_{1}-1)^{2}+{\left({z}_{2}-1 \right) ^ {2}}=-2\mathrm{i}+2\mathrm{i}=0 $ 也成立, $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ {\mathrm{i}}^{2}=-1 $ , $ {\mathrm{i}}^{3}=-\mathrm{i} $ , $ {\mathrm{i}}^{4}=1 $ , $ {\mathrm{i}}^{5}=\mathrm{i} $ , $ \cdots $ ,所以 $ {\mathrm{i}}^{n}(n\in {\boldsymbol{N}}_{+}) $ 具有周期性,周期为4.

又 $ \mathrm{i}+{\mathrm{i}}^{2}+{\mathrm{i}}^{3}+{\mathrm{i}}^{4}=0 $ ,所以 $ \mathrm{i}+{\mathrm{i}}^{2}+{\mathrm{i}}^{3}+{\mathrm{i}}^{4}+\cdots +{\mathrm{i}}^{2024}=506×(\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^{2}+{\mathrm{i}}^{3}+{\mathrm{i}}^{4})=0 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

设 $ z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \boldsymbol{R}) $ ,则 $ a+1+b\mathrm{i}=3\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}+\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}\mathrm{i} $ ,

即 $ \begin{cases}a+1=3\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}},\\ b=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}},\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases}a=0,\\ b=\dfrac{1}{3},\end{cases} $ 所以 $ z=\dfrac{1}{3}\mathrm{i} $ , $ |z|=\dfrac{1}{3} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

若 $ {z}_{1} $ , $ {z}_{2} $ 皆是实数,则 $ {z}_{1}-{z}_{2} $ 一定不是虚数,因此当 $ {z}_{1}-{z}_{2} $ 是虚数时,则“ $ {z}_{1} $ , $ {z}_{2} $ 中至少有一个数是虚数”成立,即必要性成立；当 $ {z}_{1} $ , $ {z}_{2} $ 中至少有一个数是虚数时, $ {z}_{1}-{z}_{2} $ 不一定是虚数,如 $ {z}_{1}={z}_{2}=\mathrm{i} $ ,即充分性不成立,故选 $ \mathrm{C} $ .

由题意得 $ \begin{cases}m-3 < 0,\\ m-1 > 0,\end{cases} $ 解得 $ 1 < m < 3 $ .又 $ m\in \boldsymbol{Z} $ , $ \therefore m=2.\therefore z=-1+\mathrm{i} $ ,则 $ \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{-1+\mathrm{i}}=\dfrac{-1-\mathrm{i}}{(-1+\mathrm{i})(-1-\mathrm{i})}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\mathrm{i} $ , $ \therefore |\dfrac{1}{z}|=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

因为 $ z=1+\sqrt{3}\mathrm{i} $ ,所以 $ \overline{z}=1-\sqrt{3}\mathrm{i} $ ,所以 $ z+t\cdot \overline{z}=1+\sqrt{3}\mathrm{i}+t(1-\sqrt{3}\mathrm{i})=1+t+(\sqrt{3}-\sqrt{3}t)\mathrm{i} $ ,

所以 $ |z+t\cdot \overline{z}|=\sqrt{ (1+t)^{2}+ (\sqrt{3}-\sqrt{3}t)^{2}}=\sqrt{4{t}^{2}-4t+4}=2\sqrt{{\left(t-\dfrac{1}{2} \right) ^ {2}}+\dfrac{3}{4}} $ ,

所以当 $ t=\dfrac{1}{2} $ 时, $ |z+t\cdot \overline{z}| $ 有最小值,最小值为 $ 2\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\sqrt{3} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

复数 $ {z}_{1} $ , $ {z}_{2} $ 对应的向量分别为 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}}=(-1,2) $ , $ \overrightarrow {O{Z}_{2}}=(2,-3) $ ,

则 $ {z}_{1}+{z}_{2} $ 对应的向量 $ \overrightarrow {O{Z}_{1}}+\overrightarrow {O{Z}_{2}}=(1,-1) $ ,因此 $ {z}_{1}+{z}_{2} $ 的实部为1,虚部为 $ -1 $ ,实部与虚部不相等, $ \mathrm{A} $ 错误；

$ |{z}_{1}|=\sqrt{(-1)^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5} $ , $ |{z}_{2}|=\sqrt{{2}^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13} $ ,所以 $ |{z}_{1}| < |{z}_{2}| $ , $ \mathrm{B} $ 正确；

向量 $ \overrightarrow {O{Z}_{2}}-\overrightarrow {O{Z}_{1}}=(2,-3)-(-1,2)=(3,-5) $ 对应的复数为 $ 3-5\mathrm{i} $ , $ \mathrm{C} $ 正确；

若 $ {z}_{1}-{z}_{2}+\lambda \mathrm{i}=-1+2\mathrm{i}-2+3\mathrm{i}+\lambda \mathrm{i}=-3+(\lambda +5)\mathrm{i} $ 在复平面内对应的点 $ (-3,\lambda +5) $ 位于第三象限,则 $ \lambda +5 < 0 $ ,得 $ \lambda < -5 $ ,则 $ \lambda $ 的取值范围为 $ (-\mathrm{\infty },-5) $ , $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,设 $ {z}_{1}=a+b\mathrm{i}(a,b\in \boldsymbol{R}) $ , $ {z}_{2}=c+d\mathrm{i}(c,d\in \boldsymbol{R}) $ ,则 $ \overline{{z}_{1}+{z}_{2}}=a+c-(b+d)\mathrm{i}=(a-b\mathrm{i})+(c-d\mathrm{i})=\overline{{z}_{1}}+\overline{{z}_{2}} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,设 $ z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \boldsymbol{R}) $ ,则 $ \overline{z}=a-b\mathrm{i} $ ,则 $ z\cdot \overline{z}=(a+b\mathrm{i})(a-b\mathrm{i})={a}^{2}+{b}^{2}=|z{|}^{2}=|\overline{z}{|}^{2} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,点 $ (0,0) $ 在虚轴上,但对应的复数不是纯虚数,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ,设复数 $ z $ 在复平面内对应的点为 $ Z $ ,因为 $ |z+3\mathrm{i}|=1 $ 表示点 $ Z $ 到点 $ (0,-3) $ 的距离为1,则点 $ Z $ 在以 $ (0,-3) $ 为圆心,1为半径的圆上,

又 $ |z-1+2\mathrm{i}| $ 表示点 $ Z $ 到点 $ (1,-2) $ 的距离,又点 $ (0,-3) $ 到点 $ (1,-2) $ 的距离为 $ \sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{2} $ ,所以 $ |z-1+2\mathrm{i}| $ 的最小值是 $ \sqrt{2}-1 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

由 $ {z}^{2}+2z+4=0 $ ,得 $ z=\dfrac{-2±2\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}=-1±\sqrt{3}\mathrm{i} $ .

$ \mathrm{A} $ .由 $ z=-1±\sqrt{3}\mathrm{i} $ ,得 $ |z|=\sqrt{(-1)^{2}+(±\sqrt{3})^{2}}=2 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确.

$ \mathrm{B} $ .由题意得,方程 $ {z}^{2}+2z+4=0 $ 的两根互为共轭复数,

所以当 $ z $ 是方程 $ {z}^{2}+2z+4=0 $ 的一个虚数根时, $ \overline{z} $ 也是此方程的根,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

$ \mathrm{C} $ .当 $ z=-1+\sqrt{3}\mathrm{i} $ 时, $ {z}^{2}=(-1+\sqrt{3}\mathrm{i})^{2}=-2-2\sqrt{3}\mathrm{i}\ne -1-\sqrt{3}\mathrm{i}=\overline{z} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误.

$ \mathrm{D} $ .当 $ z=-1+\sqrt{3}\mathrm{i} $ 时, $ {z}^{2}=-2-2\sqrt{3}\mathrm{i} $ , $ {z}^{4}=(-2-2\sqrt{3}\mathrm{i})^{2}=-8+8\sqrt{3}\mathrm{i} $ , $ {z}^{8}=(-8+8\sqrt{3}\mathrm{i})^{2}=-128-128\sqrt{3}\mathrm{i} $ ,

所以 $ {z}^{10}={z}^{8}\cdot {z}^{2}=(-128-128\sqrt{3}\mathrm{i})\cdot (-2-2\sqrt{3}\mathrm{i})=-512+512\sqrt{3}\mathrm{i}=512×(-1+\sqrt{3}\mathrm{i})={2}^{9}z $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .

由题意可得 $ {z}_{1}+{z}_{2}={a}^{2}-a+({a}^{2}-3a+2)\mathrm{i} $ ,则 $ |{z}_{1}+{z}_{2}|=\sqrt{{\left({a}^{2}-a\right) ^ {2}}+{\left({a}^{2}-3a+2\right) ^ {2}}}=2\sqrt{10} $ ,即 $ {a}^{2} (a-1)^{2}+{\left(a-2 \right) ^ {2}} (a-1)^{2}=40 $ ,

即 $ (a-1)^{2} (2{a}^{2}-4a+4 )=40 $ ,故 $ (a-1)^{2}\cdot [ (a-1)^{2}+1 ]=20 $ .

因为 $ a\in \boldsymbol{Z} $ ,所以 $ (a-1)^{2}+1\in \boldsymbol{Z} $ , $ (a-1)^{2}\in \boldsymbol{Z} $ ,且 $ (a-1)^{2}\geqslant 0 $ .

因为 $ 20=4×5={2}^{2}×({2}^{2}+1) $ ,所以 $ (a-1)^{2}=4 $ ,解得 $ a=-1 $ 或 $ a=3 $ .

因为 $ 3-\mathrm{i} $ 是关于 $ x $ 的实系数方程 $ 2{x}^{2}+mx+n=0(m,n\in \boldsymbol{R}) $ 的一个根,

所以方程的另一个虚数根为 $ 3+\mathrm{i} $ ,

所以 $ \begin{cases}-\dfrac{m}{2}=(3-\mathrm{i})+(3+\mathrm{i}),\\ \dfrac{n}{2}=(3-\mathrm{i})(3+\mathrm{i}),\end{cases} $

解得 $ \begin{cases}m=-12,\\ n=20.\end{cases} $

设 $ z=x+y\mathrm{i}(x,y\in \boldsymbol{R}) $ ,则 $ |z-{z}_{1}-{z}_{2}|=|x-1+y\mathrm{i}|=4 $ ,所以 $ (x-1)^{2}+{y}^{2}=16 $ ,

故设 $ x-1=4 \cos \theta $ , $ y=4 \sin \theta $ ,则 $ |z{|}^{2}=(1+4 \cos \theta )^{2}+16{ \sin }^{2}\theta =1+8 \cos \theta +16=17+8 \cos \theta $ ,

因为 $ \cos \theta \in [-1,1] $ ,所以 $ |z{|}^{2}\in [9,25] $ ,所以 $ |z|\in [3,5] $ .