8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

如图, $ PO $ 是正四棱锥 $ P-ABCD $ 的高,所以 $ PO=2\sqrt{3} $ , $ PE $ 是斜高,由 $ {S}_{侧}=2{S}_{底} $ 可得 $ 4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot PE=2B{C}^{2} $ ,所以 $ BC=PE $ .

在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△POE $ 中, $ PO=2\sqrt{3} $ ,

$ OE=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}PE $ ,所以 $ 12+{\left(\dfrac{PE}{2}\right) ^ {2}}=P{E}^{2} $ ,所以 $ PE=4 $ ,

所以 $ {S}_{底}=B{C}^{2}=P{E}^{2}=16 $ , $ {S}_{侧}=2{S}_{底}=2×16=32 $ ,

所以 $ {S}_{表}={S}_{底}+{S}_{侧}=16+32=48 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

设正六边形的边长为 $ a $ ,则由题意知正六棱柱的高为 $ 2a $ .

因为正六棱锥的高与底面边长的比为 $ 2:3 $ ,所以正六棱锥的高为 $ \dfrac{2}{3}a $ ,则正六棱锥的侧棱长为 $ \sqrt{{a}^{2}+{\left(\dfrac{2}{3}a\right) ^ {2}}}=\dfrac{\sqrt{13}}{3}a $ ,则正六棱锥的侧面积 $ {S}_{1}=6×\dfrac{1}{2}a×\sqrt{\dfrac{13}{9}{a}^{2}-\dfrac{1}{4}{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{43}}{2}{a}^{2} $ ,

正六棱柱的侧面积 $ {S}_{2}=6\cdot a\cdot 2a=12{a}^{2} $ ,

所以 $ \dfrac{{S}_{1}}{{S}_{2}}=\dfrac{\sqrt{43}}{24} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为正棱台的上、下底面是边长分别为4,6的正方形,侧棱长为 $ \sqrt{5} $ ,侧面是等腰梯形,所以棱台侧面的高 $ h=\sqrt{ (\sqrt{5})^{2}-{\left(\dfrac{6-4}{2} \right) ^ {2}}}=2 $ ,所以一个侧面面积 $ {S}_{侧}=\dfrac{1}{2}×(4+6)×2=10 $ ,棱台的上、下底面面积和 $ S={4}^{2}+{6}^{2}=52 $ ,所以该棱台的表面积为 $ 10×4+52=92 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

对 $ \mathrm{A} $ ： $ {V}_{A-BC{C}_{1}}={V}_{{C}_{1}-ABC}=\dfrac{1}{3}×C{C}_{1}×{S}_{△ABC}=\dfrac{1}{3}×4×\dfrac{1}{2}×2×3=4 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对 $ \mathrm{B} $ ： $ {V}_{C-AP{C}_{1}}={V}_{A-PC{C}_{1}} $ ,而三棱锥 $ A-BC{C}_{1} $ 与三棱锥 $ A-PC{C}_{1} $ 有共同的高, $ \because P $ 为 $ B{C}_{1} $ 的中点, $ \therefore {S}_{△PC{C}_{1}}=\dfrac{1}{2}\cdot {S}_{△BC{C}_{1}} $ , $ \therefore {V}_{A-PC{C}_{1}}=\dfrac{1}{2}{V}_{A-BC{C}_{1}}=\dfrac{1}{2}×4=2 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对 $ \mathrm{C} $ ： $ {V}_{{C}_{1}-AB{B}_{1}{A}_{1}}={V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{{C}_{1}-ABC}=\dfrac{2}{3}\cdot {V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\dfrac{2}{3}×\dfrac{1}{2}×2×3×4=8 $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对 $ \mathrm{D} $ ：由题可知, $ AC=\sqrt{13} $ , $ A{C}_{1}=\sqrt{29} $ , $ B{C}_{1}=5 $ , $ \therefore A{B}^{2}+B{\rm C}_{1}^{2}=A{\rm C}_{1}^{2} $ ,

$ \therefore △AB{C}_{1} $ 是直角三角形, $ AB\perp B{C}_{1} $ ,

$ \therefore $ 三棱锥 $ {C}_{1}-ABC $ 的表面积为 $ {S}_{△ABC}+{S}_{△BC{C}_{1}}+{S}_{△AC{C}_{1}}+{S}_{△AB{C}_{1}}=\dfrac{1}{2}×2×3+\dfrac{1}{2}×3×4+\dfrac{1}{2}×\sqrt{13}×4+\dfrac{1}{2}×2×5=14+2\sqrt{13} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

设 $ △ABC $ 的面积为 $ S $ ,底面 $ ABC $ 水平放置时,水面高度为 $ h $ .当侧面 $ A{A}_{1}{B}_{1}B $ 水平放置时,水的体积 $ V=\dfrac{3}{4}{S}_{△ABC}\cdot A{A}_{1}=\dfrac{3}{4}A{A}_{1}\cdot S=60S $ ,当底面 $ ABC $ 水平放置时,水的体积 $ V={S}_{△ABC}h=Sh $ ,于是 $ Sh=60S $ ,解得 $ h=60 $ ,所以当底面 $ ABC $ 水平放置时,水面的高度是 $ 60\mathrm{m}\mathrm{m} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

取正四棱台 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 的上、下底面的中心分别为 $ {O}_{1} $ , $ O $ ,棱 $ {B}_{1}{C}_{1} $ , $ BC $ 的中点分别为 $ {E}_{1} $ , $ E $ ,

连接 $ O{O}_{1} $ , $ OE $ , $ E{E}_{1} $ , $ {O}_{1}{E}_{1} $ ,则 $ O{O}_{1} $ , $ E{E}_{1} $ 分别是正四棱台 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 的高和斜高.

依题意, $ {S}_{四边形BC{C}_{1}{B}_{1}}=\dfrac{1}{2}(BC+{B}_{1}{C}_{1})\cdot E{E}_{1}=3E{E}_{1}=3\sqrt{3} $ ,解得 $ E{E}_{1}=\sqrt{3} $ .

在直角梯形 $ OE{E}_{1}{O}_{1} $ 中, $ OE//{O}_{1}{E}_{1} $ , $ O{O}_{1}\perp OE $ , $ OE=1 $ , $ {O}_{1}{E}_{1}=2 $ ,

则 $ O{O}_{1}=\sqrt{E{E}_{1}^{2}-({O}_{1}{E}_{1}-OE)^{2}}=\sqrt{2} $ ,

所以正四棱台 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 的体积 $ V=\dfrac{1}{3}({2}^{2}+\sqrt{{2}^{2}×{4}^{2}}+{4}^{2})×\sqrt{2}=\dfrac{28\sqrt{2}}{3} $ .

正六棱柱的六个侧面面积之和为 $ 2×6×6=72({\mathrm{d}\mathrm{m}}^{2}) $ ,正六棱柱的底面面积为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×6=6\sqrt{3}({\mathrm{d}\mathrm{m}}^{2}) $ .

如图所示,正六棱台 $ ABCDEF-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}{E}_{1}{F}_{1} $ 中, $ {A}_{1}{B}_{1}=2\mathrm{d}\mathrm{m} $ , $ AB=4\mathrm{d}\mathrm{m} $ .

过点 $ {A}_{1} $ 作 $ {A}_{1}{A}_{2} $ 垂直底面 $ ABCDEF $ 于点 $ {A}_{2} $ ,连接 $ AD $ ,取 $ AD $ 的中点为 $ O $ ,则 $ {A}_{2} $ 为 $ OA $ 的中点,

过点 $ {A}_{2} $ 作 $ {A}_{2}G\perp AB $ 于点 $ G $ ,连接 $ {A}_{1}G $ ,则 $ {A}_{1}G $ 为正六棱台的斜高,

其中 $ {A}_{1}{A}_{2}=1\mathrm{d}\mathrm{m} $ , $ AG=\dfrac{AB-{A}_{1}{B}_{1}}{2}=1\mathrm{d}\mathrm{m} $ , $ A{A}_{2}=\dfrac{1}{2}AO=2\mathrm{d}\mathrm{m} $ ,

由勾股定理得 $ {A}_{2}G=\sqrt{{A}_{2}{A}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{3}\mathrm{d}\mathrm{m} $ ,故 $ {A}_{1}G=\sqrt{{A}_{2}{G}^{2}+{A}_{1}{\rm A}_{2}^{2}}=2\mathrm{d}\mathrm{m} $ ,

所以正六棱台的斜高为 $ 2\mathrm{d}\mathrm{m} $ ,

故正六棱台的侧面积为 $ \dfrac{1}{2}×(4+2)×2×6=36({\mathrm{d}\mathrm{m}}^{2}) $ .

又正六棱台的下底面 $ ABCDEF $ 的面积为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×6=24\sqrt{3}({\mathrm{d}\mathrm{m}}^{2}) $ ,

所以该花灯的表面积为 $ 72+6\sqrt{3}+36+24\sqrt{3}=108+30\sqrt{3}({\mathrm{d}\mathrm{m}}^{2}) $ .

故选 $ \mathrm{A} $ .

正八面体的表面由8个全等的正三角形组成,其中正三角形 $ ABE $ 的边长为2,

则正八面体的表面积 $ S=8{S}_{△ABE}=8×\dfrac{\sqrt{3}}{4}A{B}^{2}=8\sqrt{3} $ .又正八面体可视为两个共底面的、侧棱长与底面边长相等的正四棱锥 $ E-ABCD $ 与 $ F-ABCD $ 拼接而成,正四棱锥 $ E-ABCD $ 的高 $ h=\sqrt{A{E}^{2}-{\left(\dfrac{1}{2}AC \right) ^ {2}}}=\sqrt{{2}^{2}- (\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2} $ ,则正八面体的体积 $ V=2{V}_{E-ABCD}=2×\dfrac{1}{3}A{B}^{2}×h=\dfrac{2}{3}×4×\sqrt{2}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3} $ ,于是可得 $ \dfrac{V}{S}=\dfrac{\dfrac{8\sqrt{2}}{3}}{8\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{9} $ ,

所以正八面体的体积与表面积之比为 $ \sqrt{6}:9 $ .