第8.3节综合训练

由题意可得,以 $ AB $ 所在直线为轴,其他三边旋转一周所围成的几何体的上部分为圆柱内挖去一个圆锥,下部分为与上部分挖去部分相同的圆锥,圆锥和圆柱的底面圆半径 $ r=BC× \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ,圆柱的高为 $ CD=AB=2 $ ,一个圆锥的侧面积为 $ \mathrm{\pi }×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{\pi } $ ,圆柱的侧面积为 $ 2\mathrm{\pi }×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×2=2\sqrt{3}\mathrm{\pi } $ ,所以该几何体的表面积为2个圆锥的侧面积加一个圆柱的侧面积,为 $ 2×\dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{\pi }+2\sqrt{3}\mathrm{\pi }=3\sqrt{3}\mathrm{\pi } $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

设截面与（下）底面的距离为 $ h $ ,则①中截面内圆半径为 $ h $ ,则截面圆环的面积为 $ \mathrm{\pi }({R}^{2}-{h}^{2}) $ ;

②中截面圆的半径为 $ R-h $ ,则截面圆的面积为 $ \mathrm{\pi }(R-h)^{2} $ ;

③中截面圆的半径为 $ R-\dfrac{h}{2} $ ,则截面圆的面积为 $ \mathrm{\pi }{\left(R-\dfrac{h}{2}\right) ^ {2}} $ ;

④中截面圆的半径为 $ \sqrt{{R}^{2}-{h}^{2}} $ ,则截面圆的面积为 $ \mathrm{\pi }({R}^{2}-{h}^{2}) $ .

所以①④中截面的面积总相等.又①中几何体的高与④中半球的半径相等,所以①④满足祖暅原理.故选 $ \mathrm{D} $ ．

$ \because \overrightarrow {AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB} $ , $ \overrightarrow {AF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} $ , $ \therefore EF//BC $ , $ EF=\dfrac{2}{3}BC $ , $ \therefore {S}_{△AEF}=\dfrac{4}{9}{S}_{△ABC} $ .

$ \because \dfrac{EF}{{B}_{1}{C}_{1}}=\dfrac{AF}{{A}_{1}{C}_{1}}=\dfrac{AE}{{A}_{1}{B}_{1}}=\dfrac{2}{3} $ ,

$ \therefore $ 几何体 $ AEF-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} $ 为三棱台.

设三棱柱 $ ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1} $ 的高为 $ h $ ,

则 $ {V}_{1}=\dfrac{1}{3}({S}_{△AEF}+\sqrt{{S}_{△AEF}\cdot {S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}}+{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}})\cdot h $

$ =\dfrac{1}{3}(\dfrac{4}{9}{S}_{△ABC}+\dfrac{2}{3}{S}_{△ABC}+{S}_{△ABC})\cdot h $

$ =\dfrac{19}{27}{S}_{△ABC}\cdot h=\dfrac{19}{27}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}} $ ,

$ \therefore {V}_{2}={V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}-{V}_{1}=\dfrac{8}{27}{V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}} $ ,

$ \therefore {V}_{1}:{V}_{2}=19:8 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

由题意,可将三棱锥放入长方体中考虑,则长方体的外接球即为三棱锥的外接球,故球的半径为长方体体对角线的一半,设 $ PA=x $ ,则 $ P{B}^{2}+P{C}^{2}=B{C}^{2}=7 $ ,所以 $ 5-{x}^{2}+4-{x}^{2}=7 $ ,解得 $ x=1 $ ,故 $ PA=1 $ , $ PB=2 $ , $ PC=\sqrt{3} $ ,所以三棱锥 $ P-ABC $ 外接球的半径 $ R=\dfrac{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{\left(\sqrt{3}\right) ^ {2}}}}{2}=\sqrt{2} $ ,得球的体积为 $ \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^{3}=\dfrac{8\sqrt{2}\mathrm{\pi }}{3} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

如图,设 $ E $ 为等边三角形 $ ADC $ 的中心, $ F $ 为 $ CD $ 的中点,连接 $ PF $ , $ EF $ , $ PE $ ,则 $ PE $ 为正三棱锥的高, $ PF $ 为斜高,又 $ PF=\sqrt{ (2\sqrt{3})^{2}-{\left(\dfrac{3}{2} \right) ^ {2}}}=\dfrac{\sqrt{39}}{2} $ , $ EF=\dfrac{1}{3}×\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ,故 $ PE=\sqrt{P{F}^{2}-E{F}^{2}}=3 $ ,故 $ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{B} $ 正确.正三棱锥的体积为 $ \dfrac{1}{3}×3×\dfrac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4} $ ,侧面积为 $ 3×\dfrac{1}{2}×3×\dfrac{\sqrt{39}}{2}=\dfrac{9\sqrt{39}}{4} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,依题意,得棱切球的半径为 $ \sqrt{2} $ ,则球 $ O $ 的体积为 $ \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }×(\sqrt{2})^{3}=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}\mathrm{\pi } $ , $ \mathrm{A} $ 错误;

对于 $ \mathrm{B} $ ,记球 $ O $ 的内接圆柱的底面半径为 $ r $ ,则内接圆柱的高为 $ \sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right) ^ {2}}-{\left(2r\right) ^ {2}}}=\sqrt{8-4{r}^{2}} $ ,则内接圆柱的侧面积 $ S=2\mathrm{\pi }r\cdot \sqrt{8-4{r}^{2}}=4\mathrm{\pi }\sqrt{{r}^{2}\cdot (2-{r}^{2})}\leqslant 4\mathrm{\pi }\cdot \dfrac{{r}^{2}+2-{r}^{2}}{2}=4\mathrm{\pi } $ ,当且仅当 $ r=1 $ 时等号成立,

故球 $ O $ 的内接圆柱的侧面积的最大值为 $ 4\mathrm{\pi } $ , $ \mathrm{B} $ 正确;

对于 $ \mathrm{C} $ ,球 $ O $ 在正方体外部的体积小于球 $ O $ 的体积与正方体内切球的体积之差,即 $ \dfrac{8\sqrt{2}}{3}\mathrm{\pi }-\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }×{1}^{3}=\dfrac{4}{3}(2\sqrt{2}-1)\mathrm{\pi } $ , $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,球 $ O $ 在正方体外部的面积等于正方体外6个球冠的表面积,每一个球冠的表面积大于这个球冠中内接圆锥的侧面积,则内接圆锥的底面半径为1,高为 $ \sqrt{2}-1 $ ,则内接圆锥的母线长为 $ \sqrt{{1}^{2}+{\left(\sqrt{2}-1\right) ^ {2}}}=\sqrt{4-2\sqrt{2}} $ ,则内接圆锥的侧面积为 $ \mathrm{\pi }×1×\sqrt{4-2\sqrt{2}}=\sqrt{4-2\sqrt{2}}\mathrm{\pi } $ ,所以6个球冠的表面积大于 $ 6\sqrt{4-2\sqrt{2}}\mathrm{\pi } $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

设正六边形 $ ABCDEF $ 的中心为 $ M $ ,则点 $ M $ 与正六边形 $ ABCDEF $ 的任意一条边均构成等边三角形,

因此点 $ M $ 到各边的距离均为等边三角形的高,即为 $ 2 \sin {60}^{\circ }=\sqrt{3} $ .

不妨设该正六棱柱的高为 $ h $ ,则 $ r= \min ｛\sqrt{3},\dfrac{h}{2}｝ $ .

易得该正六棱柱的外接球半径为 $ R=\sqrt{{\left(\dfrac{h}{2}\right) ^ {2}}+{2}^{2}}=\dfrac{\sqrt{{h}^{2}+16}}{2} $ .

当 $ h < 2\sqrt{3} $ 时, $ r=\dfrac{h}{2} $ , $ \dfrac{R}{r}=\dfrac{\sqrt{{h}^{2}+16}}{h}=\sqrt{1+\dfrac{16}{{h}^{2}}} > \sqrt{1+\dfrac{16}{12}}=\dfrac{\sqrt{21}}{3} $ ;

当 $ h\geqslant 2\sqrt{3} $ , $ r=\sqrt{3} $ , $ \dfrac{R}{r}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{{h}^{2}+16}}{2}}{\sqrt{3}}\geqslant \dfrac{\sqrt{12+16}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{21}}{3} $ ,

所以 $ h=2\sqrt{3} $ 时, $ \dfrac{R}{r} $ 取得最小值 $ \dfrac{\sqrt{21}}{3} $ .

又底面上一个等边三角形的面积为 $ \dfrac{1}{2}×{2}^{2}× \sin {60}^{\circ }=\sqrt{3} $ ,所以正六棱柱底面的面积为 $ 6\sqrt{3} $ ,

则此时该正六棱柱的体积为 $ 6\sqrt{3}×2\sqrt{3}=36 $ .