8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

在正方形 $ ABCD $ 中, $ AB//CD $ ,所以 $ D $ 在平面 $ ABCD $ 内, $ D $ 不在直线 $ AB $ 上,又 $ E $ 不在平面 $ ABCD $ 内,所以 $ AB $ 与 $ DE $ 异面；

因为 $ BC\subset $ 平面 $ ABCD $ , $ N $ 在平面 $ ABCD $ 内, $ N $ 不在直线 $ BC $ 上,又 $ E $ 不在平面 $ ABCD $ 内,所以 $ BC $ 与 $ EN $ 异面；

因为 $ CD\subset $ 平面 $ ABCD $ , $ B $ 在平面 $ ABCD $ 内, $ B $ 不在直线 $ CD $ 上,又 $ M $ 不在平面 $ ABCD $ 内,所以 $ CD $ 与 $ BM $ 异面；

连接 $ BD $ , $ BE $ , $ MN $ ,因为点 $ N $ 为正方形 $ ABCD $ 的中心,又 $ M $ 是线段 $ ED $ 的中点,

所以 $ MN//BE $ ,所以 $ B $ , $ M $ , $ N $ , $ E $ 在平面 $ BDE $ 内,所以 $ BM $ 与 $ EN $ 不是异面直线.

故选 $ \mathrm{D} $ .

根据正方体的展开图画出还原的正方体如图所示.

可以得到 $ HG//CD $ , $ CD $ 与 $ EF $ 相交, $ EF $ 与 $ AB $ 异面, $ GH $ 与 $ AB $ 相交.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,若 $ a\subset \alpha $ , $ b\not\subset \alpha $ ,则 $ a $ 与 $ b $ 平行或相交或异面,故 $ \mathrm{A} $ 为假命题；

对于 $ \mathrm{B} $ ,若点 $ A\notin \alpha $ ,点 $ B\notin \alpha $ ,则直线 $ AB// $ 平面 $ \alpha $ 或直线 $ AB $ 与平面 $ \alpha $ 相交,故 $ \mathrm{B} $ 为假命题；

对于 $ \mathrm{C} $ ,若 $ a//\alpha $ , $ b\subset \alpha $ ,则 $ a $ 与 $ b $ 平行或异面,故 $ \mathrm{C} $ 为假命题；

对于 $ \mathrm{D} $ ,若点 $ A\in \alpha $ ,点 $ B\notin \alpha $ ,则直线 $ AB $ 与平面 $ \alpha $ 相交,故 $ \mathrm{D} $ 为真命题.

故选 $ \mathrm{D} $ .

因为 $ m\not\subset \alpha $ 包含 $ m//\alpha $ 和直线 $ m $ 与平面 $ \alpha $ 相交两种情况,因此若 $ m\not\subset \alpha $ ,

则直线 $ m $ 可以与平面 $ \alpha $ 无公共点,也可以与平面 $ \alpha $ 有一个公共点,

因此“ $ m\not\subset \alpha $ ”是“直线 $ m $ 与平面 $ \alpha $ 无公共点”的必要不充分条件.

故选 $ \mathrm{B} $ .

三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线两两平行或交于一点.三条交线两两平行,如三棱柱的三个侧面两两相交,交线是三棱柱的三条侧棱,这三条侧棱是互相平行的.三条交线交于一点,如长方体的三个相邻的面两两相交,交线交于长方体的一个顶点.故选 $ \mathrm{D} $ .

$ \mathrm{A} $ 选项,当三个平面交于一点时,最多可以把空间分成8部分,此时可看成墙角的三个平面，故 $ \mathrm{A} $ 选项正确；

$ \mathrm{B} $ 选项,“ $ \alpha $ 与 $ \beta $ 相交”推不出“ $ a $ 与 $ b $ 相交”,也可能 $ a//b $ ,故 $ \mathrm{B} $ 选项错误；

$ \mathrm{C} $ 选项,因为 $ \alpha \cap \beta =l $ ,所以直线 $ l $ 是 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的交线,因为 $ a\subset \alpha $ , $ b\subset \beta $ ,且 $ a\cap b=P $ ,则 $ P\subset \alpha $ , $ P\subset \beta $ ，则 $ P\in l $ ,故 $ \mathrm{C} $ 选项正确；

$ \mathrm{D} $ 选项,正方体的侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面,故 $ \mathrm{D} $ 选项错误.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

$ b//c $ , $ b\subset \beta $ , $ c\subset \beta $ ,当 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 相交或平行时,都能找到 $ a//b//c $ 且 $ a\subset \alpha $ ,如图.

对于①,两直线无公共点,可能平行,也可能异面,故①错误；对于②,由两直线的位置关系知②正确；对于③,过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内经过线面交点的直线是相交直线,而不是异面直线,故③错误；对于④,和两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线,也可能是相交直线,故④错误.

分别在两个平行平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线可能平行,也可能异面,所以①②错误,③正确；④中 $ a $ 与 $ \beta $ 也可能平行,所以④错误.