8.5.1 直线与直线平行

对于选项 $ \mathrm{A} $ ,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故 $ \mathrm{A} $ 错误；对于选项 $ \mathrm{B} $ ,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等,故 $ \mathrm{B} $ 正确；对于选项 $ \mathrm{C} $ ,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的大小关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补,如图,在正方体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中, $ \mathrm{\angle }{A}_{1}{D}_{1}{C}_{1} $ 与 $ \mathrm{\angle }{A}_{1}B{C}_{1} $ 满足 $ {A}_{1}{D}_{1}\perp {A}_{1}B $ , $ {C}_{1}{D}_{1}\perp {C}_{1}B $ ,但是 $ \mathrm{\angle }{A}_{1}{D}_{1}{C}_{1}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ , $ \mathrm{\angle }{A}_{1}B{C}_{1}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,二者既不相等也不互补,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于选项 $ \mathrm{D} $ ,如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

如图①所示,满足 $ \mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }{A}_{1}{O}_{1}{B}_{1} $ , $ OA//{O}_{1}{A}_{1} $ ,射线 $ OA $ 与射线 $ {O}_{1}{A}_{1} $ 的方向相同,但 $ OB $ 与 $ {O}_{1}{B}_{1} $ 不平行；

图①

如图②所示,满足 $ \mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }{A}_{1}{O}_{1}{B}_{1} $ , $ OA//{O}_{1}{A}_{1} $ ,射线 $ OA $ 与射线 $ {O}_{1}{A}_{1} $ 的方向相同,

图②

此时 $ OB//{O}_{1}{B}_{1} $ 且射线 $ OB $ 与射线 $ {O}_{1}{B}_{1} $ 的方向相同.故 $ OB $ 与 $ {O}_{1}{B}_{1} $ 不一定平行,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{D} $ .

因为角 $ \alpha $ 与角 $ \beta $ 的两边分别平行,所以角 $ \alpha $ 与角 $ \beta $ 相等或互补.又 $ \alpha ={40}^{\circ } $ ,所以 $ \beta ={40}^{\circ } $ 或 $ \beta ={140}^{\circ } $ .

由点 $ E $ , $ F $ 分别是 $ AB $ , $ BC $ 的中点,得 $ EF//AC $ ,且 $ EF=\dfrac{1}{2}AC $ ,同理可得 $ GH//AC $ ,且 $ GH=\dfrac{1}{2}AC $ ,则 $ EF//GH $ , $ EF=GH $ ,

所以四边形 $ EFGH $ 是平行四边形.

由点 $ E $ , $ H $ 分别是 $ AB $ , $ AD $ 的中点,得 $ EH=\dfrac{1}{2}BD $ ,而 $ AC=BD $ ,则 $ EH=\dfrac{1}{2}AC=GH $ ,

所以 $ ▱EFGH $ 是菱形.故选 $ \mathrm{D} $ .

如图,连接 $ AC $ , $ BD $ , $ EH $ , $ FG $ .因为 $ F $ , $ G $ 分别是 $ BC $ , $ CD $ 上的点,且 $ \dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CG}{CD}=\dfrac{2}{3} $ ,所以 $ GF//BD $ ,且 $ GF=\dfrac{2}{3}BD $ .因为点 $ E $ , $ H $ 分别是 $ AB $ , $ AD $ 的中点,所以 $ EH//BD $ ,且 $ EH=\dfrac{1}{2}BD $ ,所以 $ EH//GF $ ,且 $ EH\ne GF $ ,所以直线 $ EF $ 与 $ GH $ 相交,其交点为 $ M $ .因为 $ M\in EF $ , $ EF\subset $ 平面 $ ABC $ ,所以 $ M\in $ 平面 $ ABC $ ,同理 $ M\in $ 平面 $ ACD $ .又平面 $ ABC\cap $ 平面 $ ACD=AC $ ,所以 $ M $ 在直线 $ AC $ 上.故选 $ \mathrm{D} $ .