8.6.3 平面与平面垂直

对于 $ \mathrm{A} $ ，两条边不一定垂直二面角的棱，故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ，此时角的两边不一定在二面角的面内，故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ，二面角的两个半平面被一个垂直于棱的平面所截得的角，此时棱垂直于该平面与二面角的两个半平面的两条交线，并且均在平面内，符合二面角的平面角的定义，故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ，由 $ \mathrm{C} $ 知，棱不一定垂直于该平面与二面角的两个半平面的两条交线，故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .

根据题意, $ l $ 是平面 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 的交线,则根据二面角的定义,若 $ AO\perp l $ , $ BO\perp l $ ,且 $ AO\subset \alpha $ , $ BO\subset \beta $ ,则 $ \mathrm{\angle }AOB $ 为二面角 $ \alpha -l-\beta $ 的平面角.故选 $ \mathrm{D} $ .

$ \because \mathrm{\angle }AOB=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ OA=OB=2 $ , $ \therefore △AOB $ 为等边三角形, $ \therefore AB=2 $ .

$ \because $ 点 $ B $ 在以 $ AC $ 为直径的圆 $ O $ 的圆周上, $ \therefore AB\perp BC.\because PA\perp $ 平面 $ ABC $ , $ BC\subset $ 平面 $ ABC $ , $ AB\subset $ 平面 $ ABC $ , $ \therefore PA\perp BC $ , $ PA\perp AB $ .

又 $ \because PA\cap AB=A $ , $ PA $ , $ AB\subset $ 平面 $ PAB $ ,

$ \therefore BC\perp $ 平面 $ PAB $ .

$ \because PB\subset $ 平面 $ PAB $ , $ \therefore BC\perp PB $ ,

$ \therefore \mathrm{\angle }PBA $ 是二面角 $ P-BC-A $ 的平面角.

又 $ \because AB=PA=2 $ , $ PA\perp AB $ , $ \therefore \mathrm{\angle }PBA=\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

由 $ SA\perp SB $ , $ SB\perp SC $ , $ SA\perp SC $ 以及 $ AB=BC=AC $ 可得 $ △SAC≌△SBC $ , $ △SAC≌△SAB $ ,故 $ SC=SA=SB $ ,则 $ AB=\sqrt{2}SA $ ,不妨设 $ SA=2 $ ,则 $ AB=2\sqrt{2} $ ,

如图,取 $ AB $ 的中点 $ M $ ,连接 $ MS $ , $ MC $ ,故 $ MS\perp AB $ , $ MC\perp AB $ ,故 $ \mathrm{\angle }SMC $ 即为二面角 $ S-AB-C $ 的平面角.

因为 $ SB\perp SC $ , $ SA\perp SC $ , $ SA\cap SB=S $ , $ SA $ , $ SB\subset $ 平面 $ SAB $ ,所以 $ SC\perp $ 平面 $ SAB $ .因为 $ SM\subset $ 平面 $ SAB $ ,所以 $ SC\perp SM $ ,所以 $ \tan \mathrm{\angle }SMC=\dfrac{SC}{SM}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}AB}=\sqrt{2} $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

如图,在正四棱锥 $ P-ABCD $ 中,记 $ O $ 是底面的中心, $ E $ 是 $ BC $ 的中点,连接 $ PO $ , $ AC $ , $ BD $ , $ PE $ , $ OE $ ,可知 $ PO\perp $ 平面 $ ABCD $ ,则 $ \mathrm{\angle }PBO $ 是侧棱 $ PB $ 与底面所成的角,由题意可得 $ \tan \mathrm{\angle }PBO=2 $ ,则 $ \sin \mathrm{\angle }PBO=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} $ , $ \cos \mathrm{\angle }PBO=\dfrac{\sqrt{5}}{5} $ .

由正四棱锥的结构特征可知 $ PE\perp BC $ , $ OE\perp BC $ ,则 $ \mathrm{\angle }PEO $ 是该四棱锥侧面与底面所成二面角的平面角.

设正四棱锥的底面边长为 $ a $ ,则 $ OB=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}a $ ,所以 $ PB=\sqrt{5}OB=\dfrac{\sqrt{10}}{2}a $ ， $ PO=2OB=\sqrt{2}a $ ,

所以 $ PE=\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}=\sqrt{{\left(\dfrac{\sqrt{10}}{2}a\right) ^ {2}}-\dfrac{1}{4}{a}^{2}}=\dfrac{3}{2}a $ ,

所以 $ \sin \mathrm{\angle }PEO=\dfrac{PO}{PE}=\dfrac{\sqrt{2}a}{\dfrac{3}{2}a}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} $ ,即该四棱锥侧面与底面所成二面角的正弦值为 $ \dfrac{2\sqrt{2}}{3} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

如图,过点 $ A $ 作 $ AE\perp BD $ 于点 $ E $ ,连接 $ PE $ ,因为 $ PA\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ AE $ , $ BD\subset $ 平面 $ ABCD $ ,所以 $ PA\perp AE $ , $ PA\perp BD $ .

又因为 $ AE\cap PA=A $ , $ AE $ , $ PA\subset $ 平面 $ PAE $ ,

所以 $ BD\perp $ 平面 $ PAE $ .

又 $ PE\subset $ 平面 $ PAE $ ,所以 $ BD\perp PE $ ,

所以 $ \mathrm{\angle }PEA $ 即为二面角 $ P-BD-A $ 的平面角.

由题知 $ BD=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5 $ ,

由 $ {S}_{△ABD}=\dfrac{1}{2}AD\cdot AB=\dfrac{1}{2}AE\cdot BD $ ,

得 $ AE=\dfrac{AD\cdot AB}{BD}=\dfrac{12}{5} $ ,

所以 $ \tan \mathrm{\angle }PEA=\dfrac{PA}{AE}=\dfrac{\sqrt{3}}{\dfrac{12}{5}}=\dfrac{5\sqrt{3}}{12} $ ,

即二面角 $ P-BD-A $ 的正切值为 $ \dfrac{5\sqrt{3}}{12} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,由 $ a\perp \alpha $ , $ a//b $ ,得 $ b\perp \alpha $ ,而 $ b\perp \beta $ ,则 $ \alpha //\beta $ , $ \mathrm{A} $ 不符合题意；

对于 $ \mathrm{B} $ ,若 $ \alpha //\beta $ , $ a $ , $ b $ 分别是平面 $ \alpha $ , $ \beta $ 内互相垂直的异面直线,满足 $ a\subset \alpha $ , $ b\subset \beta $ , $ a\perp b $ , $ \mathrm{B} $ 不符合题意；

对于 $ \mathrm{C} $ ,由 $ a//b $ , $ a\perp \beta $ ,得 $ b\perp \beta $ ,又 $ b\subset \alpha $ ,则 $ \alpha \perp \beta $ , $ \mathrm{C} $ 符合题意；

对于 $ \mathrm{D} $ ,由 $ \alpha \cap \beta =a $ , $ b\perp a $ , $ b\subset \beta $ ,得二面角 $ \alpha -a-\beta $ 的平面角可以是锐角、直角,也可以是钝角, $ \mathrm{D} $ 不符合题意.故选 $ \mathrm{C} $ .

$ \because PA\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ BC\subset $ 平面 $ ABCD $ , $ \therefore PA\perp BC $ .又正方形 $ ABCD $ 中, $ BC\perp AB $ , $ PA\cap AB=A $ , $ PA $ , $ AB\subset $ 平面 $ PAB $ , $ \therefore BC\perp $ 平面 $ PAB $ ,又 $ BC\subset $ 平面 $ PBC $ , $ \therefore $ 平面 $ PAB\perp $ 平面 $ PBC $ ,②正确.

同理 $ AD\perp $ 平面 $ PAB $ , $ AD\subset $ 平面 $ PAD $ ,

$ \therefore $ 平面 $ PAD\perp $ 平面 $ PAB $ ,①正确.

设平面 $ PAB\cap $ 平面 $ PCD=l $ , $ \because AB//CD $ , $ AB\subset $ 平面 $ PAB $ , $ CD\not\subset $ 平面 $ PAB $ , $ \therefore CD// $ 平面 $ PAB $ , $ \therefore CD//l $ .又易得 $ CD\perp $ 平面 $ PAD $ , $ \therefore l\perp $ 平面 $ PAD $ , $ P $ 为垂足, $ \therefore \mathrm{\angle }APD $ 为二面角 $ A-l-D $ 的平面角,若平面 $ PAB\perp $ 平面 $ PCD $ ,则 $ AP\perp PD $ ,在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△PAD $ 中不可能存在 $ AP\perp PD $ ,③错误.

$ \because AB\perp PA $ , $ AC\perp PA $ , $ \therefore \mathrm{\angle }BAC $ 为二面角 $ B-PA-C $ 的平面角,若平面 $ PAB\perp $ 平面 $ PAC $ ,则 $ AB\perp AC $ ,在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△ABC $ 中不可能存在 $ AB\perp AC $ ,④错误.故选 $ \mathrm{A} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ , $ PA $ 垂直于以 $ AB $ 为直径的圆所在的平面,而 $ BC\subset $ 平面 $ ABC $ ,则 $ PA\perp BC $ ,又由圆的性质可知 $ AC\perp BC $ ,且 $ PA\cap AC=A $ , $ PA $ , $ AC\subset $ 平面 $ PAC $ ,则 $ BC\perp $ 平面 $ PAC $ ,所以 $ \mathrm{A} $ 正确.

对于 $ \mathrm{B} $ ,由 $ \mathrm{A} $ 可知 $ BC\perp AE $ ,又 $ AE\perp PC $ ,且 $ BC\cap PC=C $ , $ BC $ , $ PC\subset $ 平面 $ PCB $ ,所以 $ AE\perp $ 平面 $ PCB $ ,而 $ EF\subset $ 平面 $ PCB $ ,所以 $ AE\perp EF $ ,所以 $ \mathrm{B} $ 正确.

对于 $ \mathrm{C} $ ,已知 $ AC\perp BC $ ,若 $ AC\perp PB $ ,则由 $ BC\cap PB=B $ , $ BC $ , $ PB\subset $ 平面 $ PCB $ ,可知 $ AC\perp $ 平面 $ PCB $ ,所以 $ AC\perp PC $ ,即 $ \mathrm{\angle }PCA={90}^{\circ } $ ,在 $ \mathrm{R}\mathrm{t}△PAC $ 中, $ \mathrm{\angle }PAC={90}^{\circ } $ ,矛盾,则 $ AC\perp PB $ 不成立,所以 $ \mathrm{C} $ 错误．

对于 $ \mathrm{D} $ ,由 $ \mathrm{B} $ 可知, $ AE\perp $ 平面 $ PBC $ ,

又 $ AE\subset $ 平面 $ AEF $ ,故平面 $ AEF\perp $ 平面 $ PBC $ ,所以 $ \mathrm{D} $ 正确．故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ ．

对 $ \mathrm{A} $ ：因为 $ l\subset $ 平面 $ \beta $ ,所以平面 $ \alpha $ 内平行于 $ l $ 的直线都平行于平面 $ \beta $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对 $ \mathrm{B} $ ：在平面 $ \beta $ 内作直线 $ l $ 的垂线 $ m $ ,则 $ m\perp $ 平面 $ \alpha $ ,则 $ m $ 垂直于平面 $ \alpha $ 内的任意直线,故平面 $ \alpha $ 内已知直线必垂直于直线 $ m $ ,以及平面 $ \beta $ 内与 $ m $ 平行的无数条直线,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对 $ \mathrm{C} $ ：平面 $ \alpha $ 内垂直于交线 $ l $ 的直线才垂直于平面 $ \beta $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对 $ \mathrm{D} $ ：过平面 $ \alpha $ 内且在交线 $ l $ 外的一点作交线 $ l $ 的垂线,且垂线在平面 $ \alpha $ 内，则此垂线必垂直于平面 $ \beta $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .

连接 $ A{C}_{1}.\because AC\perp AB $ ， $ AC\perp B{C}_{1} $ ， $ AB\cap B{C}_{1}=B $ ， $ \therefore AC\perp $ 平面 $ AB{C}_{1} $ .又 $ \because AC\subset $ 平面 $ ABC $ ， $ \therefore $ 平面 $ AB{C}_{1}\perp $ 平面 $ ABC $ ， $ \therefore $ 点 $ {C}_{1} $ 在平面 $ ABC $ 上的射影点 $ H $ 必在平面 $ AB{C}_{1} $ 与平面 $ ABC $ 的交线 $ AB $ 上.故选 $ \mathrm{A} $ .

因为平面 $ ABD\perp $ 平面 $ BCD $ ,平面 $ ABD\cap $ 平面 $ BCD=BD $ , $ AB\perp BD $ , $ AB\subset $ 平面 $ ABD $ ,所以 $ AB\perp $ 平面 $ BCD $ .

又 $ AB\subset $ 平面 $ ABC $ ,所以平面 $ ABC\perp $ 平面 $ BCD $ .因为 $ CD\subset $ 平面 $ BCD $ ,所以 $ AB\perp CD $ .又 $ BD\perp CD $ , $ AB\cap BD=B $ , $ AB $ , $ BD\subset $ 平面 $ ABD $ ,所以 $ CD\perp $ 平面 $ ABD $ .

又 $ CD\subset $ 平面 $ ACD $ ,所以平面 $ ABD\perp $ 平面 $ ACD $ .

综上,平面 $ ABD\perp $ 平面 $ BCD $ ,平面 $ ABC\perp $ 平面 $ BCD $ ,平面 $ ABD\perp $ 平面 $ ACD $ ,共有3对,故选 $ \mathrm{C} $ ．

如图,连接 $ {A}_{1}{C}_{1} $ , $ {A}_{1}B $ .因为 $ A{A}_{1}//C{C}_{1} $ , $ A{A}_{1}=C{C}_{1} $ ,所以四边形 $ A{A}_{1}{C}_{1}C $ 是平行四边形,所以 $ AC//{A}_{1}{C}_{1} $ .又因为 $ AC\not\subset $ 平面 $ {A}_{1}B{C}_{1} $ , $ {A}_{1}{C}_{1}\subset $ 平面 $ {A}_{1}B{C}_{1} $ ,所以 $ AC// $ 平面 $ {A}_{1}B{C}_{1} $ .同理可证 $ A{D}_{1}// $ 平面 $ {A}_{1}B{C}_{1} $ .又因为 $ AC\subset $ 平面 $ AC{D}_{1} $ , $ A{D}_{1}\subset $ 平面 $ AC{D}_{1} $ ,且 $ AC\cap A{D}_{1}=A $ ,所以平面 $ AC{D}_{1}// $ 平面 $ {A}_{1}B{C}_{1} $ .因为 $ {A}_{1}P\subset $ 平面 $ {A}_{1}B{C}_{1} $ ,所以 $ {A}_{1}P// $ 平面 $ AC{D}_{1} $ ,故②正确.因为 $ B{C}_{1}//A{D}_{1} $ , $ A{D}_{1}\subset $ 平面 $ AC{D}_{1} $ , $ B{C}_{1}\not\subset $ 平面 $ AC{D}_{1} $ ,所以 $ B{C}_{1}// $ 平面 $ AC{D}_{1} $ ,所以点 $ P $ 到平面 $ AC{D}_{1} $ 的距离不变.又因为 $ {V}_{A-{D}_{1}PC}={V}_{P-AC{D}_{1}} $ ,所以三棱锥 $ A-{D}_{1}PC $ 的体积不变,故①正确.连接 $ DB $ , $ D{C}_{1} $ .因为 $ DB=D{C}_{1} $ ,所以当 $ P $ 为 $ B{C}_{1} $ 的中点时才有 $ DP\perp B{C}_{1} $ ,故③错误.因为 $ B{B}_{1}\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ AC\subset $ 平面 $ ABCD $ ,所以 $ AC\perp B{B}_{1} $ .又因为 $ AC\perp BD $ , $ B{B}_{1}\cap BD=B $ , $ B{B}_{1} $ , $ BD\subset $ 平面 $ B{B}_{1}{D}_{1}D $ ,所以 $ AC\perp $ 平面 $ B{B}_{1}{D}_{1}D $ .因为 $ {B}_{1}D\subset $ 平面 $ B{B}_{1}{D}_{1}D $ ,所以 $ {B}_{1}D\perp AC $ .同理可证 $ {B}_{1}D\perp A{D}_{1} $ .又因为 $ AC\subset $ 平面 $ AC{D}_{1} $ , $ A{D}_{1}\subset $ 平面 $ AC{D}_{1} $ , $ AC\cap A{D}_{1}=A $ ,所以 $ {B}_{1}D\perp $ 平面 $ AC{D}_{1} $ .又因为 $ {B}_{1}D\subset $ 平面 $ PD{B}_{1} $ ,所以平面 $ PD{B}_{1}\perp $ 平面 $ AC{D}_{1} $ ,故④正确.

对于 $ \mathrm{A} $ 选项,若 $ l//\alpha $ , $ \alpha //\beta $ ,则 $ l//\beta $ 或 $ l\subset \beta $ , $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ 选项,若 $ l//\alpha $ , $ m\subset \alpha $ ,则 $ l//m $ 或 $ l $ , $ m $ 异面, $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ 选项,若 $ m\perp n $ , $ m\subset \alpha $ , $ n\subset \beta $ ,则 $ \alpha $ , $ \beta $ 平行或相交（不一定垂直）, $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ 选项,若 $ m\perp \alpha $ , $ m\subset \beta $ ,则由面面垂直的判定定理可知 $ \alpha \perp \beta $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{D} $ .

对 $ \mathrm{A} $ 选项, $ \because $ 平面 $ ABD\perp $ 平面 $ ACD $ ,且平面 $ ABD\cap $ 平面 $ ACD=AD $ , $ BD\perp AD $ , $ BD\subset $ 平面 $ ABD $ ,

$ \therefore BD\perp $ 平面 $ ACD $ .又 $ AC\subset $ 平面 $ ACD $ ,

$ \therefore BD\perp AC $ , $ \therefore \mathrm{A} $ 选项正确.

对 $ \mathrm{B} $ , $ \mathrm{C} $ 选项,由 $ \mathrm{A} $ 选项可知 $ BD\perp $ 平面 $ ACD $ ,又 $ DC\subset $ 平面 $ ACD $ , $ \therefore BD\perp DC $ ,又 $ AD\perp BD $ , $ AD\perp DC $ ,且 $ AD=BD=DC $ , $ \therefore AB=BC=AC $ ,

$ \therefore △ABC $ 是等边三角形,三棱锥 $ D-ABC $ 是正三棱锥, $ \therefore \mathrm{B} $ , $ \mathrm{C} $ 选项正确.

对 $ \mathrm{D} $ 选项,假设平面 $ ABC\perp $ 平面 $ ACD $ ,又平面 $ ABC\cap $ 平面 $ ACD=AC $ ,

在平面 $ ABC $ 内过点 $ B $ 作 $ BH\perp AC $ ,垂足为点 $ H $ ,则 $ BH\perp $ 平面 $ ACD $ ,又由 $ \mathrm{A} $ 选项知 $ BD\perp $ 平面 $ ACD $ ,

这显然与公理“过平面外一点有且仅有唯一一条直线垂直于该平面”相矛盾, $ \therefore \mathrm{D} $ 选项错误．故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ ．

对于 $ \mathrm{A} $ ：由正方体易知 $ BC\perp $ 平面 $ DC{C}_{1}{D}_{1} $ ,又 $ BC $ 在平面 $ BCE $ 内,所以平面 $ BCE\perp $ 平面 $ DC{C}_{1}{D}_{1} $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ：在正方体中, $ {A}_{1}{B}_{1}//CD $ , $ {A}_{1}{B}_{1}=CD $ ,则四边形 $ {A}_{1}{B}_{1}CD $ 为平行四边形,则 $ {A}_{1}D//{B}_{1}C $ ,又 $ {A}_{1}D\not\subset $ 平面 $ {B}_{1}{D}_{1}C $ , $ {B}_{1}C\subset $ 平面 $ {B}_{1}{D}_{1}C $ ,所以 $ {A}_{1}D// $ 平面 $ {B}_{1}{D}_{1}C $ ,设点 $ {A}_{1} $ 到平面 $ {B}_{1}{D}_{1}C $ 的距离为 $ h $ , $ {S}_{△{B}_{1}C{D}_{1}}=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ , $ {S}_{△{B}_{1}{A}_{1}{D}_{1}}=\dfrac{1}{2}×1×1=\dfrac{1}{2} $ ,

由等体积法可得 $ {V}_{{A}_{1}-{B}_{1}C{D}_{1}}={V}_{C-{B}_{1}{A}_{1}{D}_{1}} $ ,即 $ \dfrac{1}{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}×h=\dfrac{1}{3}×\dfrac{1}{2}×1 $ ,所以 $ h=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ,则直线 $ {A}_{1}D $ 到平面 $ {B}_{1}{D}_{1}C $ 的距离为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ , $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ , $ {V}_{{B}_{1}-EC{D}_{1}}={V}_{E-{B}_{1}C{D}_{1}} $ ,由 $ \mathrm{B} $ 知, $ {A}_{1}D// $ 平面 $ {B}_{1}C{D}_{1} $ ,所以点 $ E $ 到平面 $ {B}_{1}C{D}_{1} $ 的距离为定值 $ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ,又 $ △{B}_{1}C{D}_{1} $ 的面积为定值,故三棱锥 $ {B}_{1}-EC{D}_{1} $ 的体积为定值, $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,如图,

易知 $ {C}_{1}{D}_{1}\perp $ 平面 $ AD{D}_{1}{A}_{1} $ ,则 $ \mathrm{\angle }{C}_{1}E{D}_{1} $ 为直线 $ {C}_{1}E $ 与平面 $ AD{D}_{1}{A}_{1} $ 所成的角,

所以 $ \sin \mathrm{\angle }{C}_{1}E{D}_{1}=\dfrac{1}{{C}_{1}E} $ ,若存在一点 $ E $ ,使得直线 $ {C}_{1}E $ 与平面 $ AD{D}_{1}{A}_{1} $ 所成的角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,

则 $ {D}_{1}E=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ .

而在等腰直角三角形 $ {D}_{1}{A}_{1}D $ 中, $ {D}_{1}{A}_{1}={D}_{1}D=1 $ ,则 $ {A}_{1}D=\sqrt{2} $ , $ {D}_{1}E $ 的最小值为 $ \dfrac{1}{2}{A}_{1}D=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ ,由 $ \dfrac{\sqrt{3}}{3} < \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ 知,不存在点 $ E $ ,使得直线 $ {C}_{1}E $ 与平面 $ AD{D}_{1}{A}_{1} $ 所成的角为 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ , $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ .