专题5 空间线、面位置关系

选项 $ \mathrm{A} $ ,垂直于同一条直线的两个平面平行,故 $ \mathrm{A} $ 正确.选项 $ \mathrm{B} $ ,不满足面面平行的判定定理,若 $ m\subset \alpha $ , $ n\subset \beta $ , $ m//n $ ,则 $ \alpha //\beta $ 或 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 相交,故 $ \mathrm{B} $ 错误.选项 $ \mathrm{C} $ ,因为 $ m\subset \alpha $ , $ m//\beta $ ,所以在平面 $ \beta $ 内必存在直线 $ m^\prime //m $ ,所以 $ m^\prime //\alpha $ ,又 $ n//\alpha $ , $ n\subset \beta $ , $ m $ , $ n $ 是异面直线,所以 $ m^\prime $ 与 $ n $ 是相交直线,且都在平面 $ \beta $ 内,所以 $ \alpha //\beta $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确.选项 $ \mathrm{D} $ ,垂直于同一个平面的两个平面平行或相交,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,因为 $ A^\prime N\subset $ 平面 $ A^\prime C^\prime CA $ , $ C^\prime \in $ 平面 $ A^\prime C^\prime CA $ , $ P\notin $ 平面 $ A^\prime C^\prime CA $ ,

且 $ C^\prime \notin A^\prime N $ ,所以 $ A^\prime N $ , $ PC\prime $ 为异面直线,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ,因为 $ AC\subset $ 平面 $ A^\prime C^\prime CA $ , $ A^\prime \in $ 平面 $ A^\prime C^\prime CA $ , $ P\notin $ 平面 $ A^\prime C^\prime CA $ ,且 $ A^\prime \notin AC $ ,所以 $ A^\prime P $ 与 $ AC $ 为异面直线,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,如图,连接 $ MP $ ,因为棱 $ AB $ , $ BC $ 的中点分别为点 $ M $ , $ P $ ,所以 $ AC//MP $ ,因为 $ AC//A^\prime C^\prime $ ,所以 $ MP//A^\prime C^\prime $ ,所以 $ M $ , $ P $ , $ C^\prime $ , $ A^\prime $ 四点共面,又 $ AB\cap $ 平面 $ A^\prime C^\prime PM=M $ ,所以 $ AB $ 与平面 $ A^\prime C^\prime P $ 不平行,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ,因为 $ AB $ , $ AC $ 的中点分别为点 $ M $ , $ N $ ,所以 $ MN//BC $ ,因为 $ MN\not\subset $ 平面 $ BCC\prime B^\prime $ , $ BC\subset $ 平面 $ BCC\prime B^\prime $ ,所以 $ MN// $ 平面 $ BCC\prime B^\prime $ ,

因为 $ AC//A^\prime C^\prime $ , $ A^\prime C^\prime =\dfrac{1}{2}AC=NC $ ,所以四边形 $ A^\prime C^\prime CN $ 为平行四边形,所以 $ A^\prime N//C^\prime C $ ,因为 $ A^\prime N\not\subset $ 平面 $ BCC\prime B^\prime $ , $ C^\prime C\subset $ 平面 $ BCC\prime B^\prime $ ,所以 $ A^\prime N// $ 平面 $ BCC\prime B^\prime $ ,又 $ MN\cap A^\prime N=N $ , $ MN $ , $ A^\prime N\subset $ 平面 $ A^\prime MN $ ,所以平面 $ A^\prime MN// $ 平面 $ BCC\prime B^\prime $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ 项,若点 $ G $ 为 $ {B}_{1}C $ 与 $ B{C}_{1} $ 的交点,则 $ BG//EF $ ,理由如下：

若点 $ G $ 为 $ {B}_{1}C $ 与 $ B{C}_{1} $ 的交点,则 $ B $ , $ G $ , $ {C}_{1} $ 三点共线,由正方体性质得 $ AB//{C}_{1}{D}_{1} $ , $ AB={C}_{1}{D}_{1} $ ,所以四边形 $ AB{C}_{1}{D}_{1} $ 是平行四边形,所以 $ B{C}_{1}//A{D}_{1} $ ,

因为 $ E $ , $ F $ 分别为 $ {A}_{1}{D}_{1} $ , $ A{A}_{1} $ 的中点,所以 $ EF//A{D}_{1} $ ,所以 $ B{C}_{1}//EF $ ,即 $ BG//EF $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ 项,如图,连接 $ {A}_{1}D $ ,记 $ {A}_{1}D\cap EF=P $ , $ H $ 为侧面 $ C{B}_{1} $ 的中心,则平面 $ {A}_{1}DC{B}_{1} $ 与平面 $ EFG $ 和平面 $ BD{C}_{1} $ 分别交于线 $ PG $ , $ DH $ ,

假设线段 $ {B}_{1}C $ 上存在点 $ G $ 使平面 $ EFG// $ 平面 $ BD{C}_{1} $ ,则 $ PG//DH $ ,又 $ {A}_{1}D//C{B}_{1} $ ,所以四边形 $ PGHD $ 为平行四边形,即 $ PD=GH $ ,且 $ PD > \dfrac{\sqrt{2}}{2}={B}_{1}H $ ,此时 $ G $ 应在 $ C{B}_{1} $ 延长线上,与假设矛盾,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ 项,易知 $ {B}_{1}C// $ 平面 $ {A}_{1}EF $ ,随着点 $ G $ 的移动,点 $ G $ 到平面 $ {A}_{1}EF $ 的距离始终不变,即为 $ {A}_{1}{B}_{1} $ ,

故 $ {V}_{{A}_{1}-EFG}={V}_{G-{A}_{1}EF}=\dfrac{1}{3}×{A}_{1}{B}_{1}×{S}_{△{A}_{1}EF}=\dfrac{1}{24} $ ,即三棱锥 $ {A}_{1}-EFG $ 的体积是定值, $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ 项,如图,当点 $ G $ 为 $ {B}_{1}C $ 上靠近点 $ C $ 的四等分点时,平面 $ EFG $ 截正方体的截面 $ EFIJKL $ 为正六边形, $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

由四棱锥 $ P-ABCD $ 的底面 $ ABCD $ 为平行四边形,得 $ BC//AD $ ,因为 $ AD\subset $ 平面 $ PAD $ , $ BC\not\subset $ 平面 $ PAD $ ,所以 $ BC// $ 平面 $ PAD $ ,记平面 $ EBC\cap $ 平面 $ PAD=l $ ,又 $ BC\subset $ 平面 $ EBC $ ,所以 $ BC//l $ ,所以 $ l//BC//AD $ .

因为 $ E\subset $ 平面 $ EBC $ , $ E\subset $ 平面 $ PAD $ ,所以 $ l $ 过点 $ E $ ,设 $ l $ 与 $ PD $ 交于点 $ F $ ,又 $ E $ 为 $ PA $ 的中点,则 $ F $ 是 $ PD $ 的中点,连接 $ ED $ , $ CF $ , $ AC $ ,如图所示，

设四棱锥 $ P-ABCD $ 的体积为 $ V $ ,则被截面截得的下面部分几何体的体积为 $ {V}_{E-ABCD}+{V}_{C-DEF} $ ,

显然 $ {V}_{E-ABCD}=\dfrac{1}{2}V $ , $ {V}_{C-DEF}=\dfrac{1}{2}{V}_{C-PDE}=\dfrac{1}{4}{V}_{C-PAD}=\dfrac{1}{4}{V}_{P-ADC}=\dfrac{1}{8}V $ ,

则 $ {V}_{E-ABCD}+{V}_{C-DEF}=\dfrac{5}{8}V $ ,则被截面截得的上面部分几何体的体积为 $ V-\dfrac{5}{8}V=\dfrac{3}{8}V $ ,

所以较小的几何体与较大的几何体的体积的比值为 $ \dfrac{3}{5} $ .

在正方体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中,设 $ A{A}_{1}=AD=AB=2 $ , $ E $ , $ F $ 分别为所在棱的中点,

对于 $ \mathrm{A} $ ,因为 $ A{A}_{1}\perp $ 底面 $ ABCD $ , $ BF\subset $ 平面 $ ABCD $ ,所以 $ A{A}_{1}\perp BF $ ,

假设 $ AE\perp BF $ ,由 $ A{A}_{1}\cap AE=A $ 且都在平面 $ A{A}_{1}{D}_{1}D $ 内,可得 $ BF\perp $ 平面 $ A{A}_{1}{D}_{1}D $ ,

又 $ AD\subset $ 平面 $ A{A}_{1}{D}_{1}D $ ,所以 $ BF\perp AD $ ,显然不成立,因而假设不成立,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ,同 $ \mathrm{A} $ 分析,假设 $ AE\perp BF $ ,则 $ BF\perp AD $ ,所以 $ BF\perp BC $ ,显然不成立,因而假设不成立,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,连接 $ AF $ , $ EF $ ,如图所示：

因为 $ EF\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ BF\subset $ 平面 $ ABCD $ ,所以 $ EF\perp BF $ ,

假设 $ AE\perp BF $ ,由 $ AE\cap EF=E $ 且都在平面 $ AEF $ 内,可得 $ BF\perp $ 平面 $ AEF $ ,

又 $ AF\subset $ 平面 $ AEF $ ,所以 $ AF\perp BF $ ,则 $ \mathrm{\angle }CFB=\mathrm{\angle }DFA=\dfrac{\mathrm{\pi }}{4} $ ,显然不成立,

因而假设不成立,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ ,取 $ BC $ 的中点 $ G $ ,连接 $ AG $ , $ EG $ ,如图所示,

因为 $ EG\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ BF\subset $ 平面 $ ABCD $ ,所以 $ EG\perp BF $ ,

又因为 $ \dfrac{BG}{AB}=\dfrac{FC}{BC}=\dfrac{1}{2} $ ,所以 $ △ABG\sim △BCF $ ,所以 $ \mathrm{\angle }BAG=\mathrm{\angle }CBF $ ,又因为 $ \mathrm{\angle }CBA=\mathrm{\angle }BCF=\dfrac{\mathrm{\pi }}{2} $ ,所以 $ AG\perp BF $ ,

又 $ AG\cap EG=G $ 且都在平面 $ AEG $ 内,所以 $ BF\perp $ 平面 $ AEG $ ,

又 $ AE\subset $ 平面 $ AEG $ ,所以 $ AE\perp BF $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{D} $ .

设 $ PD=AD=1 $ ,则 $ AB=2 $ ,对于 $ \mathrm{A} $ ,由余弦定理可得 $ BD=\sqrt{1+4-2×1×2× \cos \dfrac{\mathrm{\pi }}{3}}=\sqrt{3} $ ,

$ \therefore A{D}^{2}+B{D}^{2}=A{B}^{2} $ , $ \therefore AD\perp BD $ .

$ \because PD\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ BD\subset $ 平面 $ ABCD $ , $ \therefore BD\perp PD $ .又 $ AD\cap PD=D $ , $ AD $ , $ PD\subset $ 平面 $ PAD $ , $ \therefore BD\perp $ 平面 $ PAD $ , $ \because PA\subset $ 平面 $ PAD $ ,

$ \therefore PA\perp BD $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确.

对于 $ \mathrm{B} $ ,由 $ \mathrm{A} $ 选项分析知 $ AD\perp BD $ ,又 $ AD//BC $ , $ \therefore BC\perp BD $ ,

$ \because PD\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ BC\subset $ 平面 $ ABCD $ ,

$ \therefore BC\perp PD $ ,又 $ BD\cap PD=D $ , $ BD $ , $ PD\subset $ 平面 $ PBD $ , $ \therefore BC\perp $ 平面 $ PBD $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

对于 $ \mathrm{C} $ , $ \because AB//CD $ , $ \therefore \mathrm{\angle }PCD $ 为异面直线 $ AB $ 与 $ PC $ 所成的角.

$ \because PD=1 $ , $ CD=AB=2 $ , $ \therefore PC=\sqrt{P{D}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{5} $ ,

$ \therefore \cos \mathrm{\angle }PCD=\dfrac{CD}{PC}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误.

对于 $ \mathrm{D} $ , $ \because PD\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ \therefore \mathrm{\angle }PBD $ 为 $ PB $ 与平面 $ ABCD $ 所成的角,

$ \therefore \tan \mathrm{\angle }PBD=\dfrac{PD}{BD}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $ ,又 $ \mathrm{\angle }PBD\in (0,\dfrac{\mathrm{\pi }}{2}) $ , $ \therefore \mathrm{\angle }PBD=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误．故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ ．

因为棱长为2的正方体的内切球的半径为1,所以正方体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 的内切球的表面积 $ S=4\mathrm{\pi }×{1}^{2}=4\mathrm{\pi } $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

在正方体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中, $ AB\perp $ 平面 $ AD{D}_{1}{A}_{1} $ ,又 $ {A}_{1}D\subset $ 平面 $ AD{D}_{1}{A}_{1} $ ,

所以 $ AB\perp {A}_{1}D $ ,由正方形的性质得 $ A{D}_{1}\perp {A}_{1}D $ ,又 $ A{D}_{1}\cap AB=A $ , $ A{D}_{1} $ , $ AB\subset $ 平面 $ AB{C}_{1}{D}_{1} $ ,所以 $ {A}_{1}D\perp $ 平面 $ AB{C}_{1}{D}_{1} $ ,又 $ AP\subset $ 平面 $ AB{C}_{1}{D}_{1} $ ,所以 $ {A}_{1}D\perp AP $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

因为 $ B{C}_{1}//A{D}_{1} $ , $ B{C}_{1}\not\subset $ 平面 $ A{D}_{1}C $ , $ A{D}_{1}\subset $ 平面 $ A{D}_{1}C $ ,所以 $ B{C}_{1}// $ 平面 $ A{D}_{1}C $ ,

所以点 $ P $ 到平面 $ A{D}_{1}C $ 的距离为定值,又 $ △A{D}_{1}C $ 的面积为定值,所以三棱锥 $ {D}_{1}-ACP $ 的体积为定值,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

如图,当点 $ P $ 是线段 $ B{C}_{1} $ 的中点时,连接 $ {B}_{1}C $ , $ {A}_{1}C $ ,则点 $ P $ 也是线段 $ {B}_{1}C $ 的中点,又 $ E $ 是棱 $ {A}_{1}{B}_{1} $ 的中点,所以 $ EP//{A}_{1}C $ ,在正方体 $ ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} $ 中, $ A{A}_{1}\perp $ 平面 $ ABCD $ , $ BD\subset $ 平面 $ ABCD $ ,所以 $ A{A}_{1}\perp BD $ ,

由正方形的性质可知 $ AC\perp BD $ ,又 $ AC\cap A{A}_{1}=A $ , $ AC $ , $ A{A}_{1}\subset $ 平面 $ AC{C}_{1}{A}_{1} $ ,所以 $ BD\perp $ 平面 $ AC{C}_{1}{A}_{1} $ ,

又 $ {A}_{1}C\subset $ 平面 $ AC{C}_{1}{A}_{1} $ ,所以 $ {A}_{1}C\perp BD $ ,同理可证 $ {A}_{1}C\perp D{C}_{1} $ ,

又 $ BD\cap D{C}_{1}=D $ , $ BD $ , $ D{C}_{1}\subset $ 平面 $ BD{C}_{1} $ ,

所以 $ {A}_{1}C\perp $ 平面 $ BD{C}_{1} $ ,所以 $ EP\perp $ 平面 $ BD{C}_{1} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .