1．下列关于抽样的说法正确的是（ ）（多选）
A．总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法
B．在对分层随机抽样的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样
C．分层随机抽样的整个抽样过程中，每个个体被抽取的可能性相等
D．百货商场的抽奖活动是抽签法
总体的个体数不多时宜用简单随机抽样法,因此 $ \mathrm{A} $ 正确；对分层随机抽样的每一层进行抽样时,采用的是简单随机抽样,因此 $ \mathrm{B} $ 正确；按比例分配的分层随机抽样的整个抽样过程中,每个个体被抽取的可能性相等,不按比例分配的分层随机抽样的整个抽样过程中,每个个体被抽取的可能性不一定相等, $ \mathrm{C} $ 错误;百货商场的抽奖活动是抽签法,也叫抓阄,因此 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{D} $ .
2．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三年级学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ）
A．40人
B．36人
C．30人
D．24人
由题意可知该校高一年级学生有400人,高二年级学生有500人,高三年级学生有600人,共1 500人,要抽取90人,则抽样比为 $ \dfrac{90}{1500}=\dfrac{3}{50} $ ,则根据按比例分配的分层随机抽样的特征可知,抽取的学生中,高一年级有 $ 400×\dfrac{3}{50}=24 $ 人.故选 $ \mathrm{D} $ .
3．某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 $ 2:3:5 $ ，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为 $ n $ 的样本，样本中甲型号产品有10件，则 $ n $ 的值为（ ）
A．20
B．30
C．50
D．100
因为某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 $ 2:3:5 $ ,现用按比例分配的分层随机抽样方法抽出一个容量为 $ n $ 的样本,样本中甲型号产品有10件,
所以 $ \dfrac{10}{n}=\dfrac{2}{2+3+5} $ ,解得 $ n=50 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
4．现有以下两项调查：①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查；②某社区有600户家庭，其中高收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入家庭60户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟抽取一个容量为30的样本.则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
①的总体中的个体数较少,宜采用简单随机抽样,②中600户家庭中收入存在较大差异,层次比较明显,宜采用分层随机抽样.故选 $ \mathrm{C} $ .
5．为了解高一、高二、高三年级学生的身高情况，现用分层抽样的方法抽取一个容量为660的样本，三个年级学生人数之比依次为 $ 3:4:k $ .已知高一年级共抽取了180人，则高三年级抽取的人数为 .
240
因为三个年级学生人数之比依次为 $ 3:4:k $ ,所以高一年级抽取的比例为 $ \dfrac{3}{3+4+k}=\dfrac{180}{660} $ ,得 $ k=4 $ .则高三年级抽取的人数为 $ 660×\dfrac{4}{3+4+4}=240 $ .
6．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了 $ 10\% $ 的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如表：
年级 | 高一 | 高二 | 高三 |
抽样人数 | 36 | 34 | 30 |
平均身高 | $ \overline{x} $ | $ \overline{y} $ | $ \overline{z} $ |
则该校高中学生的平均身高可估计为（ ）
A． $ 3.6\overline{x}+3.4\overline{y}+3.0\overline{z} $
B． $ \dfrac{\overline{x}+\overline{y}+\overline{z}}{2} $
C． $ 0.36\overline{x}+0.34\overline{y}+0.30\overline{z} $
D． $ \dfrac{\overline{x}+\overline{y}+\overline{z}}{3} $
由题意可知,抽取的总人数为100,各年级的频率依次为 $ 0.36 $ , $ 0.34 $ , $ 0.30 $ ,
所以该校高中学生的平均身高可估计为 $ 0.36\overline{x}+0.34\overline{y}+0.30\overline{z} $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
7．在某校高一年级的800名学生中，男生有360名，女生有440名.现采用比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取样本量为60的样本，计算出男生样本的平均数为 $ 171\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，女生样本的平均数为 $ 160\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，则样本的平均数为 .
$ 164.95\mathrm{c}\mathrm{m} $
依题意,抽样比为 $ \dfrac{60}{800}=\dfrac{3}{40} $ ,则男生应抽 $ 360×\dfrac{3}{40}=27 $ 名,女生应抽 $ 440×\dfrac{3}{40}=33 $ 名,所以样本平均数估计为 $ \overline{w}=\dfrac{27}{60}×171+\dfrac{33}{60}×160=164.95\mathrm{c}\mathrm{m} $ .
8．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是（ ）
A．抽签法
B．随机数法
C．直接采用分层随机抽样
D．先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样
直接采用比例分配的分层随机抽样,老年人、中年人和青年人中应抽取的人数分别为 $ \dfrac{28}{28+54+81}×36\approx 6 $ , $ \dfrac{54}{28+54+81}×36\approx 12 $ , $ \dfrac{81}{28+54+81}×36\approx 18 $ .故选 $ \mathrm{C} $ .
1．为了保证分层随机抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求（ ）
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取 $ {n}_{i}=n\cdot \dfrac{{N}_{i}}{N}(i=1,2,\cdots ,k) $ 个个体，其中 $ k $ 是层数， $ n $ 是抽取的样本量， $ {N}_{i} $ 是第 $ i $ 层所包含的个体数， $ N $ 是总体容量
D．只要抽取的样本量一定，每层抽取的个体数没有限制
选项 $ \mathrm{A} $ ,每层的个体数不一定都一样多,故 $ \mathrm{A} $ 错误；选项 $ \mathrm{B} $ ,由于每层的容量不一定相等,每层抽同样多的个体,从整个总体来看,各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了,故 $ \mathrm{B} $ 错误；选项 $ \mathrm{C} $ 正确；选项 $ \mathrm{D} $ ,每层抽取的个体数是有限制的,不可能随意抽取,故 $ \mathrm{D} $ 错误.
2．一汽车厂生产 $ A $ ， $ B $ ， $ C $ 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表（单位：辆） $ ： $
| 轿车 $ A $ | 轿车 $ B $ | 轿车 $ C $ |
舒适型 | 100 | 150 | $ z $ |
标准型 | 300 | 450 | 600 |
采分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有 $ A $ 类轿车10辆，则表格中 $ z $ 的值为（ ）
A．400
B．500
C．600
D．1 000
由题意知抽样比为 $ \dfrac{10}{100+300}=\dfrac{1}{40} $ ,
则 $ \dfrac{50}{100+300+150+450+z+600}=\dfrac{1}{40} $ ,解得 $ z=400 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
3．某校要从高一、高二、高三共2 026名学生中选取50名组成志愿团.若采用下面的方法选取：选用简单随机抽样的方法从2 026人中剔除26人，剩下的2 000人再用比例分配的分层随机抽样方法进行抽取，则每人入选的可能性（ ）
A．都相等且为 $ \dfrac{25}{1013} $
B．都相等且为 $ \dfrac{1}{40} $
C．不全相等
D．均不相等
简单随机抽样和比例分配的分层随机抽样都是等可能抽样,故每人入选的可能性都为 $ \dfrac{25}{1013} $ .故选 $ \mathrm{A} $ .
4．某中学有初中生600名，高中生200名，为保障学生的身心健康，学校举办“校园安全知识”竞赛.现按比例分配的分层随机抽样的方法，分别抽取初中生 $ m $ 名，高中生 $ n $ 名，经统计： $ m+n $ 名学生的平均成绩为74分，其中 $ m $ 名初中生的平均成绩为72分， $ n $ 名高中生的平均成绩为 $ x $ 分，则 $ x= $ （ ）
A．74
B．76
C．78
D．80
由题意,得 $ \begin{cases}\dfrac{m}{n}=\dfrac{600}{200},\\ \dfrac{72m+nx}{m+n}=74,\end{cases} $ 可得 $ \dfrac{72×3+x}{3+1}=74 $ ,解得 $ x=80 $ .故选 $ \mathrm{D} $ .
5．（多选）某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：
性别 | 研究学科 | ||||
数学 | 物理 | 化学 | 生物 | 合计 | |
女 | 15 | 10 | 24 | 31 | 80 |
男 | 45 | 40 | 18 | 17 | 120 |
合计 | 60 | 50 | 42 | 48 | 200 |
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（ ）（多选）
A．若按照研究学科进行分层抽样，则数学学科科研人员一定被抽取12人
B．若按照性别进行分层抽样，则男性科研人员可能被抽取20人
C．若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人
D．若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员
对于选项 $ \mathrm{A} $ ,按学科分层抽样,则抽样比为 $ \dfrac{40}{200}=\dfrac{1}{5} $ ,故数学学科被抽取人数为 $ \dfrac{1}{5}×60=12 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；对于选项 $ \mathrm{B} $ ,按性别分层抽样,抽样比为 $ \dfrac{40}{200}=\dfrac{1}{5} $ ,则男性科研人员被抽到的人数为 $ \dfrac{1}{5}×120=24 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；对于选项 $ \mathrm{C} $ ,若按照简单随机抽样,则每个人被抽到的可能性都相等,则女性科研人员不一定被抽取10人,故 $ \mathrm{C} $ 错误；对于选项 $ \mathrm{D} $ ,若按照简单随机抽样,则每个人被抽到的可能性都相等,则可能抽出的均为数学学科科研人员,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .
6．某班兴趣小组做了一次关于“电子产品对视力的影响”的问卷调查.他们从 $ 3～6 $ 岁、 $ 7～12 $ 岁、 $ 13～15 $ 岁、 $ 16～18 $ 岁四个年龄段回收的问卷份数依次为 $ {\rm 120，180，240，} x $ .因调查需要，现从回收的问卷中按年龄段用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为300的样本.若从 $ 7～12 $ 岁年龄段的问卷中抽取了60份，则应从 $ 16～18 $ 岁年龄段的问卷中抽取的份数为 .
120
因为从 $ 7～12 $ 岁年龄段回收了180份问卷,且从 $ 7～12 $ 岁年龄段的问卷中抽取了60份作为样本,所以抽样比为 $ \dfrac{60}{180}=\dfrac{1}{3} $ .
因为按比例分层抽取的样本容量为300,
所以回收的问卷总份数为 $ \dfrac{300}{\dfrac{1}{3}}=900 $ ,则 $ x=900-120-180-240=360 $ ,
所以从 $ 16～18 $ 岁年龄段中抽取的问卷份数为 $ 360×\dfrac{1}{3}=120 $ .