第9.2节综合训练

1．下列统计量中，都能度量样本 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {x}_{n} $ 的集中趋势的是（）

A．样本 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {x}_{n} $ 的标准差与极差

B．样本 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {x}_{n} $ 的中位数与平均数

C．样本 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {x}_{n} $ 的极差与众数

D．样本 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {x}_{n} $ 的方差与平均数

答案：B

解析：

度量数据的集中趋势的是中位数、平均数、众数,度量数据的离散程度的是方差、标准差、极差,故选 $ \mathrm{B} $ .

2．某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲、乙两个班的学生，收集并整理他们一周的阅读时间（单位： $ \mathrm{h} $ ），绘制了频率分布直方图.根据直方图，得到甲、乙两班学生一周阅读时间的平均数分别为 $ \overline{{x}_{1}} $ ， $ \overline{{x}_{2}} $ ，标准差分别为 $ {s}_{1} $ ， $ {s}_{2} $ ，则（）

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A． $ \overline{{x}_{1}} > \overline{{x}_{2}} $ ， $ {s}_{1} > {s}_{2} $

B． $ \overline{{x}_{1}} < \overline{{x}_{2}} $ ， $ {s}_{1} < {s}_{2} $

C． $ \overline{{x}_{1}}=\overline{{x}_{2}} $ ， $ {s}_{1} > {s}_{2} $

D． $ \overline{{x}_{1}}=\overline{{x}_{2}} $ ， $ {s}_{1} < {s}_{2} $

答案：D

解析：

根据频率分布直方图可知 $ \overline{{x}_{1}}=1.5×0.1+2.5×0.2+3.5×0.4+4.5×0.2+5.5×0.1=3.5 $ ,

$ \overline{{x}_{2}}=1.5×0.1+2.5×0.3+3.5×0.2+4.5×0.3+5.5×0.1=3.5 $ ,

$ {s}_{1}^{2}=(1.5-3.5)^{2}×0.1+(2.5-3.5)^{2}×0.2+(3.5-3.5)^{2}×0.4+(4.5-3.5)^{2}×0.2+(5.5-3.5)^{2}×0.1=1.2 $ ,

$ {s}_{2}^{2}=(1.5-3.5)^{2}×0.1+(2.5-3.5)^{2}×0.3+(3.5-3.5)^{2}×0.2+(4.5-3.5)^{2}×0.3+(5.5-3.5)^{2}×0.1=1.4 $ .所以 $ \overline{{x}_{1}}=\overline{{x}_{2}} $ , $ {s}_{1} < {s}_{2} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

3．在统计学中，为减少极端值对均值的影响，可采用切尾平均数来刻画数据的集中趋势，对于 $ n $ 个数据 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {x}_{n} $ ，且 $ {x}_{1}\leqslant {x}_{2}\leqslant \cdots \leqslant {x}_{n} $ ，称 $ \overline{{x}_{a}}=\dfrac{{x}_{[na]+1}+{x}_{[na]+2}+\cdots +{x}_{n-[na]}}{n-2[na]} $ 为该组数据的切尾平均数，其中 $ n $ 表示数据的个数， $ a $ 为切尾系数， $ [x] $ 表示不超过 $ x $ 的最大整数.在某次体操比赛中共有9名评委，其中有一位选手得分依次是 $ 9.01 $ , $ 9.02 $ , $ 9.20 $ , $ 9.25 $ , $ 9.27 $ , $ 9.28 $ , $ 9.30 $ , $ 9.58 $ , $ 9.65 $ ，则该选手的切尾平均数 $ \overline{{x}_{\frac{1}{4}}}= $ （）

A．9.25

B．9.26

C．9.27

D．9.28

答案：B

解析：

由题意, $ [na]=2 $ , $ \therefore \overline{{x}_{\frac{1}{4}}}=\dfrac{9.20+9.25+9.27+9.28+9.30}{9-4}=9.26 $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

4．某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只知这5次点数的平均数为3且方差不超过1，则这5次点数中（）（多选）

A．众数可为3

B．中位数可为2

C．极差可为2

D．最大点数可为5

答案：AC

解析：

对于 $ \mathrm{A} $ ,如果5次都是3,满足题意,且众数为3,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,若中位数为2,则当方差最小且平均数为3时,点数为2,2,2,4,5,

则方差为 $ \dfrac{1}{5}× [ (2-3)^{2}+{\left(2-3 \right) ^ {2}}+{\left(2-3 \right) ^ {2}}+{\left(4-3 \right) ^ {2}}+{\left(5-3 \right) ^ {2}} ]=\dfrac{8}{5} > 1 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,若点数为2,3,3,3,4,满足题意,且极差为2,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,若最大点数为5,则当方差最小且平均数为3时,点数为2,2,3,3,5,

则方差为 $ \dfrac{1}{5}× [ (2-3)^{2}+{\left(2-3 \right) ^ {2}}+{\left(3-3 \right) ^ {2}}+{\left(3-3 \right) ^ {2}}+{\left(5-3 \right) ^ {2}} ]=\dfrac{6}{5} > 1 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .

5．（多选）随着城市化进程的加速，通勤时间的长短直接影响到城市居民的生活质量.某调查研究机构随机采访了某地部分人群的通勤时长，共收到1 000份调查回复，将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则（）

试题资源网 https://stzy.com （多选）

A．在参与调查的人群中，通勤时长超过 $ 60 \min $ 的人数为100

B．估计该地居民通勤时长不超过 $ 20 \min $ 的人数约占 $ 25\% $

C．估计该地居民通勤平均时长约为 $ 35 \min $

D．估计该地居民通勤时长的中位数约为 $ 30 \min $

答案：BD

解析：

由题图可知,在参与调查的人群中,通勤时长超过 $ 60 \min $ 的频率为 $ 0.003×20×2=0.12 $ ,则通勤时长超过 $ 60 \min $ 的人数为 $ 0.12×1000=120 $ , $ \mathrm{A} $ 错误；

由 $ 20×(x+0.025+0.0065+0.003+0.003)=1 $ ,得 $ x=0.0125 $ .因为 $ 0.0125×20=0.25 $ ,所以估计该地居民通勤时长不超过 $ 20 \min $ 的人数约占 $ 25\% $ , $ \mathrm{B} $ 正确；

由 $ 20×(0.0125×10+0.025×30+0.0065×50+0.003×70+0.003×90)=33.6 $ ,

估计该地居民通勤平均时长约为 $ 33.6 \min $ , $ \mathrm{C} $ 错误；

因为从左到右第1个小矩形的面积为 $ 0.25 $ ,第2个小矩形的面积为 $ 0.025×20=0.5 $ ,

所以中位数在区间 $ [20,40) $ 内,设中位数为 $ m $ ,则 $ 0.25+(m-20)×0.025=0.5 $ ,得 $ m=30 $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

6．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试.现随机抽取了24名笔试者的成绩，统计结果如表所示.

分数段	$ [60,65) $	$ [65,70) $	$ [70,75) $	$ [75,80) $	$ [80,85) $	$ [85,90] $
人数	2	3	4	9	5	1

据此估计允许参加面试的分数线是 .

答案：

解析：

依题意,可参加面试的比例为 $ \dfrac{100}{400}=0.25 $ .由统计表知,样本中数据在 $ [80,90] $ 内的频率为 $ \dfrac{5+1}{24}=0.25 $ ,由样本估计总体知,分数线大约为80,所以估计允许参加面试的分数线是80.

9．某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： $ \mathrm{c}\mathrm{m} $ ）后，按照区间 $ [160,165),[165,170) $ ， $ [170,175),[175,180) $ ， $ [180,185] $ 分组，得到样本的身高频率分布直方图如图所示.

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（1）求 $ x $ 和频率分布直方图中身高在 $ 175\mathrm{c}\mathrm{m} $ 及以下的学生人数.

（2）估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留整数）.

（3）已知身高落在区间 $ [170,175) $ 内的样本平均数是173，方差是8，身高落在区间 $ [175,180) $ 内的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数 $ \overline{\omega } $ 和方差 $ {s}^{2} $ .

参考公式：若总体划分为2层，通过按比例分配的分层随机抽样的方法，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为 $ m $ ， $ \overline{x} $ ， $ {s}_{1}^{2} $ ； $ n $ ， $ \overline{y} $ ， $ {s}_{2}^{2} $ .记总的样本平均数为 $ \overline{\omega } $ ，样本方差为 $ {s}^{2} $ ，则 $ {s}^{2}=\dfrac{1}{m+n}\cdot ｛m [{s}_{1}^{2}+ (\overline{x}-\overline{\omega })^{2} ]+n [{s}_{2}^{2}+ (\overline{y}-\overline{\omega })^{2} ]｝ $ .

答案：

（1）【解】由频率分布直方图可知 $ 5×(0.01+0.07+x+0.04+0.02)=1 $ ,解得 $ x=0.06 $ ,身高在 $ 175\mathrm{c}\mathrm{m} $ 及以下的学生人数为 $ 100×5×(0.01+0.07+0.06)=70 $ .

（2） $ [160,165) $ 内的人数占比为 $ 5×0.01=5\% $ , $ [165,170) $ 内的人数占比为 $ 5×0.07=35\% $ ,

所以该校100名学生身高的下四分位数（即 $ 25\% $ 分位数）落在 $ [165,170) $ 内,

设该校100名学生身高的 $ 25\% $ 分位数为 $ x $ ,则 $ 0.05+0.07(x-165)=0.25 $ ,解得 $ x\approx 168 $ ,

故该校100名学生身高的下四分位数约为 $ 168\mathrm{c}\mathrm{m} $ .

（3）由频率分布直方图知,这100名学生中身高落在 $ [170,175) $ 内的有 $ 0.06×5×100=30 $ （人）,

身高落在 $ [175,180) $ 内的有 $ 0.04×5×100=20 $ （人）,所以 $ \overline{\omega }=\dfrac{173×30+178×20}{30+20}=175 $ ,

所以 $ {s}^{2}=\dfrac{1}{30+20}×｛30× [8+ (173-175)^{2} ]+20× [6+ (178-175)^{2} ]｝=13.2 $ .

解析：

10．某玻璃工艺品加工厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产200件该产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为 $ A $ 等品，低于10分的为 $ B $ 等品.厂家将 $ A $ 等品售价定为2 000元/件， $ B $ 等品售价定为1 200元/件.下面是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的评分：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.96	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.34	10.04	10.05	9.95

经计算得 $ \overline{x}=\dfrac{1}{16}\underset{i=1}{\sum ^{16}}{x}_{i}=9.98 $ ， $ {s}^{2}=\dfrac{1}{16}{\underset{i=1}{\sum ^{16}}({x}_{i}-\overline{x})}^{2}=\dfrac{1}{16}\underset{i=1}{\sum ^{16}}{x}_{i}^{2}-{\overline{x}}^{2}\approx 0.0345 $ ,其中 $ {x}_{i} $ 为抽取的第 $ i $ 件产品的评分， $ i=1 {\rm ,2,3} $ , $ \cdots $ ,16.该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费2 000万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.05.已知该厂现有一笔2 000万元的资金.

（1）若厂家用这2 000万元改进一条生产线，根据随机抽取的16件产品的评分，估计改进后该厂生产的所有产品的评分的平均数和方差.

（2）某金融机构向该厂推销一款年收益率为 $ 8.2\% $ 的理财产品.请你利用所学知识分析，将这2 000万元用于购买该款理财产品所获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大.（一年按365天计算）

答案：

（1）【解】设一条生产线改进前一天生产出的产品的评分为 $ {y}_{i}(i=1,2,3,\cdots ,200) $ ,改进后生产出的产品的评分为 $ {z}_{i}(i=1,2,3,\cdots ,200) $ ,其中 $ {z}_{i}={y}_{i}+0.05 $ .

用样本估计总体可知 $ \overline{y}=9.98 $ ,

所以 $ \overline{z}=\dfrac{1}{200}\underset{i=1}{\sum ^{200}}{z}_{i}=\dfrac{1}{200}\underset{i=1}{\sum ^{200}}({y}_{i}+0.05)=\overline{y}+0.05=10.03 $ ,

所以估计改进一条生产线后该厂生产的所有产品的评分的平均数为

$ \dfrac{9.98×200+10.03×200}{400}=10.005 $ .

用样本估计总体可知 $ {s}_{y}^{2}\approx 0.0345 $ ,

所以 $ {s}_{z}^{2}=\dfrac{1}{200}\underset{i=1}{\sum ^{200}}{\left({z}_{i}-\overline{z}\right) ^ {2}}=\dfrac{1}{200}\underset{i=1}{\sum ^{200}}[({y}_{i}+0.05)-(\overline{y}+0.05)]^{2}={s}_{y}^{2}\approx 0.0345 $ .

估计改进后该厂生产的所有产品的评分的方差为 $ \dfrac{1}{400}(\underset{i=1}{\sum ^{200}}{y}_{i}^{2}+\underset{i=1}{\sum ^{200}}{z}_{i}^{2})-{10.005}^{2}=\dfrac{1}{400}(\underset{i=1}{\sum ^{200}}{y}_{i}^{2}-200{\overline{y}}^{2}+200{\overline{y}}^{2}+\underset{i=1}{\sum ^{200}}{z}_{i}^{2}-200{\overline{z}}^{2}+200{\overline{z}}^{2})-{10.005}^{2} {\rm ,（*）} $

因为 $ {s}_{y}^{2}=\dfrac{1}{200}\underset{i=1}{\sum ^{200}}{y}_{i}^{2}-{\overline{y}}^{2} $ ,

所以 $ \underset{i=1}{\sum ^{200}}{y}_{i}^{2}-200{\overline{y}}^{2}=200{s}_{y}^{2} $ ,

同理 $ \underset{i=1}{\sum ^{200}}{z}_{i}^{2}-200{\overline{z}}^{2}=200{s}_{z}^{2} $ ,

所以 $ {\rm （*）=} \dfrac{1}{400}(200{s}_{y}^{2}+200{\overline{y}}^{2}+200{s}_{z}^{2}+200{\overline{z}}^{2})-{10.005}^{2} $

$ =\dfrac{{s}_{y}^{2}+{s}_{z}^{2}}{2}+\dfrac{{\overline{y}}^{2}+{\overline{z}}^{2}}{2}-{10.005}^{2} $

$ \approx 0.0345+\dfrac{{9.98}^{2}-{10.005}^{2}}{2}+\dfrac{{10.03}^{2}-{10.005}^{2}}{2} $

$ =0.0345+\dfrac{-0.025×(9.98+10.005)}{2}+\dfrac{0.025×(10.03+10.005)}{2} $

$ =0.0345+{0.025}^{2}=0.035125 $ .

（2）若将这2 000万元用于改进一条生产线,16件产品中,改进后 $ B $ 等品升为 $ A $ 等品的有6件产品,所以因产品评分提高而增加的比例为 $ \dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8} $ ,

所以将这2 000万元用于改进一条生产线,一年后因产品评分提高而增加的收益为 $ (2000-1200)×\dfrac{3}{8}×200×365-2000×{10}^{4}=190×{10}^{4} $ （元）；

将这2 000万元购买该款理财产品,一年后的收益为 $ 2000×{10}^{4}×8.2{\%}=164×{10}^{4} $ （元）.

因为 $ 190×{10}^{4} > 164×{10}^{4} $ ,

所以将这2 000万元用于改进一条生产线一年后收益更大.

解析：

第9.2节综合训练

一、刷能力