第九章素养检测

由题意可得被抽到的研发人员有 $ 600×\dfrac{120}{1200}=60 $ （人）,销售人员有 $ 400×\dfrac{120}{1200}=40 $ （人）,则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多 $ 60-40=20 $ .故选 $ \mathrm{A} $ .

初中部女教师有 $ 120×70\%=84 $ （人）,高中部女教师有 $ 150×(1-60\%)=150×40\%=60 $ （人）,所以该校女教师共有 $ 84+60=144 $ （人）.故选 $ \mathrm{B} $ ．

依次从数表中读出的有效编号为12,02,01,04,15,20,得到选出来的第6个个体的编号为20,故选 $ \mathrm{B} $ .

将这7个数据从小到大排列为1,2,3,3,3,4,5,

对于 $ \mathrm{A} $ ,极差是 $ 5-1=4 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ ,平均数是 $ \dfrac{1+2+3×3+4+5}{7}=\dfrac{21}{7}=3 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ ,方差是 $ \dfrac{4+1+0×3+1+4}{7}=\dfrac{10}{7} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ , $ 7×0.25=1.75 $ ,所以下四分位数为从小到大排列的第2个数,即2,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

故选 $ \mathrm{C} $ .

由题可知,去掉一个最高分和一个最低分前后的样本数字特征如下表.

由表可知,只有极差发生变化.故选 $ \mathrm{B} $ .

由题中图表可知,年人均收入为 $ (2000×3+4000×5+6000×5+8000×6+10000×7+12000×5+16000×3)÷40=7050 $ （元）,达到了标准①；年人均食品支出为 $ (1400×3+2000×5+2400×13+3000×10+3600×9)÷40=2695 $ （元）,则年人均食品支出占年人均收入的 $ \dfrac{2695}{7050}×100\%\approx 38.2\% > 35\% $ ,未达到标准②,所以不是小康县.故选 $ \mathrm{B} $ .

由频率分布直方图得 $ 10(a+0.035+0.04+0.01)=1 $ ,解得 $ a=0.015 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

中位数是累积频率达到0.5时横坐标的值，由 $ 10×(0.015+0.035)=0.5 $ ，可知中位数位于 $ [70,80) $ 和 $ [80,90) $ 的分界线,所以中位数近似值为80,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

$ 65×0.15+75×0.35+85×0.4+95×0.1=79.5 $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

设落在 $ [80,100] $ 内的得分的平均值为 $ \overline{x} $ ，方差为 $ {s}^{2} $ ，则

$ \overline{x}=\dfrac{0.4{\overline{x}}_{1}+0.1{\overline{x}}_{2}}{0.4+0.1}=\dfrac{0.4×85+0.1×95}{0.5}=87 $ ,

$ {s}^{2}=\dfrac{0.4× [{s}_{1}^{2}+ (\overline{{x}_{1}}-\overline{x})^{2} ]+0.1× [{s}_{2}^{2}+ (\overline{{x}_{2}}-\overline{x})^{2} ]}{0.4+0.1} $

$ =\dfrac{0.4× [6+ (85-87)^{2} ]+0.1× [11+ (95-87)^{2} ]}{0.5} $

$ =23 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确,故选 $ \mathrm{C} $ .

由题意可知, $ {a}_{i} $ 为数据除以7的余数为 $ {\rm i}({\rm i}=0,1,2,3,4,5,6) $ 的数的个数,

对于 $ \mathrm{A} $ 选项, $ 22=7×3+1 $ ,不妨假设这7个位置存放的数据个数分别为3,3,3,3,3,3,4,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ 选项,由题意可知,这些奇数分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,

这些数据除7的余数分别为1,3,5,0,2,4,6,1,3,5,0,2,4,6,1,3,5,0,2,4,6,1,所以 $ {a}_{0}=3 $ , $ {a}_{1}=4 $ , $ {a}_{2}=3 $ , $ {a}_{3}=3 $ , $ {a}_{4}=3 $ , $ {a}_{5}=3 $ , $ {a}_{6}=3 $ ,将 $ {a}_{0}～{a}_{6} $ 这7个数由小到大排列依次为3,3,3,3,3,3,4,中位数为3,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ 选项,由题意可知, $ {a}_{0}～{a}_{6} $ 这7个数的平均数为 $ \overline{x}=\dfrac{22}{7} $ ,且 $ 3 < \dfrac{22}{7} < 4 $ , $ |3-\dfrac{22}{7}| < |4-\dfrac{22}{7}| $ ,因为 $ {a}_{i}\in \boldsymbol{N}(i=0,1,2,3,4,5,6) $ , $ {s}^{2}=\dfrac{1}{7}\underset{i=0}{\sum ^{6}}{\left({a}_{i}-\dfrac{22}{7}\right) ^ {2}} $ ,

当 $ {a}_{0}～{a}_{6} $ 这7个数中有6个3,1个4时, $ {s}^{2} $ 取最小值,即 $ ({s}^{2})_{ \min }=\dfrac{1}{7}× [6×{\left(3-\dfrac{22}{7} \right) ^ {2}}+{\left(4-\dfrac{22}{7} \right) ^ {2}} ]=\dfrac{6}{49} $ ,当 $ {a}_{0}～{a}_{6} $ 这7个数中有6个0,1个22时, $ {s}^{2} $ 取最大值,即 $ ({s}^{2})_{ \max }=\dfrac{1}{7}× [6×{\left(0-\dfrac{22}{7} \right) ^ {2}}+{\left(22-\dfrac{22}{7} \right) ^ {2}} ]=\dfrac{2904}{49} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ 选项,不妨设 $ {a}_{0}～{a}_{6} $ 这7个数依次为1,6,3,3,3,3,3,

满足极差为5,此时所有位置都有数据,

若存在一些位置没有数据,则 $ {a}_{0}～{a}_{6} $ 这7个数据中的最大值为5,最小值为0,

因为 $ 22=5×4+2 $ ,此时至少需要5个位置存放数据,所以至多有2个位置没有存放数据,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

设中年市民、青年市民被抽到的人数分别为 $ x $ , $ y $ ,则 $ \dfrac{80}{4}=\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{3} $ ,解得 $ x=y=60 $ ,而 $ n=\dfrac{80}{\dfrac{4}{4+3+3}}=200 $ ,抽取的中年与青年市民人数之和比老年市民人数多 $ 60+60-80=40 $ ,故 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ ,根据条形图,知2024年我国数字阅读用户规模为6.7亿,网民规模为11.1亿,所以数字阅读用户规模约占网民规模的 $ 60.36\% $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；

对于 $ \mathrm{B} $ ,近五年我国数字阅读用户规模的增长量为 $ 6.7-4.94=1.76 $ 亿,网民规模的增长量为 $ 11.1-9.9=1.2 $ 亿,所以数字阅读用户规模的增长量大于网民规模的增长量,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,根据条形图可以看出,从2020年至2024年,我国数字阅读用户规模逐年递增,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

对于 $ \mathrm{D} $ ,根据条形图,知从2020年至2021年我国网民规模的增长率为 $ \dfrac{10.3-9.9}{9.9}\approx 0.0404 $ ,从2023年至2024年我国网民规模的增长率为 $ \dfrac{11.1-10.9}{10.9}\approx 0.0183 $ ,增长率减小了,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C} $ .

设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排列为 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ {x}_{3} $ , $ {x}_{4} $ , $ {x}_{5} $ ,则 $ {x}_{1}\leqslant {x}_{2}\leqslant {x}_{3}\leqslant {x}_{4}\leqslant {x}_{5} $ , $ {x}_{3}=26 $ ,且24至少出现2次,故 $ {x}_{1}={x}_{2}=24 $ , $ \mathrm{A} $ 正确；

设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排列为 $ {y}_{1} $ , $ {y}_{2} $ , $ {y}_{3} $ , $ {y}_{4} $ , $ {y}_{5} $ ,

则 $ {y}_{1}\leqslant {y}_{2}\leqslant {y}_{3}\leqslant {y}_{4}\leqslant {y}_{5} $ , $ {y}_{3}=29 $ ,取 $ {y}_{1}=20 $ , $ {y}_{2}=23 $ , $ {y}_{4}=29 $ , $ {y}_{5}=29 $ ,可得其满足题中条件,但有2场得分低于 $ {\rm 24,} \mathrm{B} $ 错误；

设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大的顺序排列为 $ {z}_{1} $ , $ {z}_{2} $ , $ {z}_{3} $ , $ {z}_{4} $ , $ {z}_{5} $ ,

由已知得 $ \dfrac{1}{5} [ ({z}_{1}-26)^{2}+{\left({z}_{2}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{3}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{4}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{5}-26 \right) ^ {2}} ]=9.6 $ ,

所以 $ ({z}_{1}-26)^{2}+{\left({z}_{2}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{3}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{4}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{5}-26 \right) ^ {2}}=48 $ ,

若 $ {z}_{4}\geqslant 32 $ ,则 $ {z}_{5} > 32 $ ,

所以 $ ({z}_{1}-26)^{2}+{\left({z}_{2}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{3}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{4}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{5}-26 \right) ^ {2}} > 72 $ ,矛盾,

所以 $ {z}_{5}=32 $ ,所以 $ ({z}_{1}-26)^{2}+{\left({z}_{2}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{3}-26 \right) ^ {2}}+{\left({z}_{4}-26 \right) ^ {2}}=12 $ ,

因为 $ {z}_{1} $ , $ {z}_{2} $ , $ {z}_{3} $ , $ {z}_{4} $ , $ {z}_{5} $ 的平均数为26,所以 $ {z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3}+{z}_{4}=98 $ ,

取 $ {z}_{1}=23 $ , $ {z}_{2}=25 $ , $ {z}_{3}=25 $ , $ {z}_{4}=25 $ ,满足题中条件,但有一场得分低于24分, $ \mathrm{C} $ 错误；

因为 $ 5×60\%=3 $ ,所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为 $ \dfrac{{z}_{3}+{z}_{4}}{2} $ ,

若 $ \dfrac{{z}_{3}+{z}_{4}}{2}\leqslant 24 $ ,则 $ \dfrac{{z}_{1}+{z}_{2}}{2}\leqslant 24 $ ,故 $ {z}_{1}+{z}_{2}+{z}_{3}+{z}_{4} < 98 $ ,矛盾,所以 $ \dfrac{{z}_{3}+{z}_{4}}{2} > 24 $ ,所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于 $ {\rm 24,} \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{D} $ .

估计此森林内约有松鼠 $ 100÷\dfrac{5}{50}=1000 $ （只）.

由题意可知,数据 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {x}_{n} $ 的平均数为10,所以 $ \overline{x}=\dfrac{1}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}=10 $ ,则 $ \underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}=10n $ ,

所以数据 $ 2{x}_{1}+4 $ , $ 2{x}_{2}+4 $ , $ \cdots $ , $ 2{x}_{n}+4 $ 的平均数为 $ \overline{{x}^{\prime }}=\dfrac{1}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}}(2{x}_{i}+4)=\dfrac{2}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}+4=2×10+4=24 $ ,

方差为 $ {s}^{\prime 2}=\dfrac{1}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}} [ (2{x}_{i}+4 )- (2\overline{x}+4 ){ ]}^{2}=\dfrac{4}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}} ({x}_{i}-10)^{2}=\dfrac{4}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}^{2}-\dfrac{4}{n}×20\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}+\dfrac{4}{n}×n×{10}^{2}=\dfrac{4}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}^{2}-400=8 $ ,

解得 $ \underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}^{2}=102n $ .

将两组数据合并后,得到新数据 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ \cdots $ , $ {x}_{n} $ , $ 2{x}_{1}+4 $ , $ 2{x}_{2}+4 $ , $ \cdots $ , $ 2{x}_{n}+4 $ ,

则其平均数为

$ \overline{{x}^{\prime \prime }}=\dfrac{1}{2n}[\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}+\underset{i=1}{\sum ^{n}}(2{x}_{i}+4)]=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}}(3{x}_{i}+4)=\dfrac{1}{2}(\dfrac{3}{n}\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}+4)=\dfrac{1}{2}×(3×10+4)=17 $ ,

方差为 $ {s}^{\prime \prime 2}=\dfrac{1}{2n} [\underset{i=1}{\sum ^{n}} ({x}_{i}-17)^{2}+\underset{i=1}{\sum ^{n}} (2{x}_{i}+4-17)^{2} ]=\dfrac{1}{2n} (5\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}^{2}-86\underset{i=1}{\sum ^{n}}{x}_{i}+458n )=\dfrac{1}{2n} (5×102n-86×10n+458n )=54 $ .

已知5天数据的平均数为 $ \overline{x} $ ,前4天的数据的平均数为 $ \overline{y} $ ,且 $ \overline{x}=\overline{y} $ ,

则被污染的数据为 $ 5\overline{x}-4\overline{y}=5\overline{x}-4\overline{x}=\overline{x} $ .

不妨设5天的数据由小到大为 $ {x}_{1} $ , $ {x}_{2} $ , $ {x}_{3} $ , $ {x}_{4} $ , $ {x}_{5} $ ,其中 $ {x}_{3}=\overline{x} $ ,

因为 $ 5×75\%=3.75 $ ,所以这5天数据的第75百分位数为 $ {x}_{4} $ ,

污染后的数据关系为 $ {x}_{1} < {x}_{2} < {x}_{4} < {x}_{5} $ ,

因为 $ 4×75\%=3 $ ,所以前4天数据的第75百分位数为 $ \dfrac{{x}_{4}+{x}_{5}}{2} $ ,显然 $ {x}_{4} < \dfrac{{x}_{4}+{x}_{5}}{2} $ .