1．甲、乙两人独立地破译一份密码，设事件 $ A= $ “甲成功破译”，事件 $ B= $ “乙成功破译”，则表示“密码被成功破译”的事件为（ ）
A． $ A\cup B $
B． $ A\cap B $
C． $ \overline{A}\cup \overline{B} $
D． $ \overline{A}\cap \overline{B} $
“密码被成功破译”是指甲、乙两人至少有一人成功破译密码,而事件 $ A\cup B $ 指的就是至少有一人成功破译密码.故选 $ \mathrm{A} $ .
2．（多选）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： $ {C}_{i}= $ “点数为 $ i $ ”，其中 $ i=1 {\rm ，2，3，4，5，6} $ ； $ {D}_{1}= $ “点数不大于2”； $ {D}_{2}= $ “点数大于2”， $ {D}_{3}= $ “点数大于4”，则下列结论正确的是 $ (\mathrm{\Omega } $ 表示样本空间 $ ) $ （ ）（多选）
A． $ {C}_{1}={D}_{1} $
B． $ {C}_{3}\subseteq {D}_{2} $
C． $ {D}_{1}\cup {D}_{2}=\mathrm{\Omega } $
D． $ {D}_{2}\cap {D}_{3}={D}_{2} $
该事件的样本空间为 $ \mathrm{\Omega }=｛1,2,3,4,5,6｝ $ , $ {C}_{i}=｛i｝(i=1,2,\cdots ,6) $ , $ {D}_{1}=｛1,2｝ $ , $ {D}_{2}=｛3,4,5,6｝ $ , $ {D}_{3}=｛5,6｝ $ .
对于 $ \mathrm{A} $ 选项, $ {C}_{1}=｛1｝\ne {D}_{1} $ ,所以 $ \mathrm{A} $ 错误；对于 $ \mathrm{B} $ 选项, $ {C}_{3}=｛3｝\subseteq {D}_{2} $ ,所以 $ \mathrm{B} $ 正确；
对于 $ \mathrm{C} $ 选项, $ {D}_{1}\cup {D}_{2}=\mathrm{\Omega } $ ,所以 $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ 选项, $ {D}_{2}\cap {D}_{3}=｛5,6｝\ne {D}_{2} $ ,所以 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .
3．对空中移动的目标连续射击三次，设事件 $ A= $ “三次都击中目标”， $ B= $ “三次都没击中目标”， $ C= $ “恰有两次击中目标”， $ D= $ “至少有两次击中目标”，下列关系中不正确的是（ ）
A． $ A\subseteq D $
B． $ B\cap D=⌀ $
C． $ A\cup C=D $
D． $ A\cup C=B\cup D $
对空中移动的目标连续射击三次,则样本空间为 $ \mathrm{\Omega }=｛ $ 三次都击中目标,恰有两次击中目标,恰有一次击中目标,三次都没击中目标}.
$ D= $ “至少有两次击中目标”包含：恰有两次击中目标和三次都击中目标,
由题意可得, $ A\subseteq D $ ,选项 $ \mathrm{A} $ 正确；
$ B\cap D=⌀ $ ,选项 $ \mathrm{B} $ 正确；
$ A\cup C=D $ ,选项 $ \mathrm{C} $ 正确；
$ B\cup D $ 包含：三次都击中目标,恰有两次击中目标,三次都没击中目标,
$ A\cup C $ 包含：三次都击中目标,恰有两次击中目标,
故 $ A\cup C\ne B\cup D $ ,选项 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{D} $ .
4．抛掷同一枚硬币两次，若事件 $ A= $ “至少有一次正面朝上”，则事件 $ \overline{A}= $ （ ）
A．两次均正面朝上
B．至多有一次正面朝上
C．两次均反面朝上
D．至少有一次反面朝上
因为事件 $ A= $ “至少有一次正面朝上”,所以事件 $ \overline{A}= $ “两次均反面朝上”,故 $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{A} $ , $ \mathrm{B} $ , $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{C} $ .
5．（多选）袋子中有4个大小、质地完全相同的球，其中2个红球、2个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，记 $ A= $ “恰有一次摸到红球”， $ B= $ “两次都摸到红球”， $ C= $ “两次都摸到黄球”， $ D= $ “至少有一次摸到红球”， $ E= $ “至多有一次摸到红球”.则下列说法正确的是（ ）（多选）
A．事件 $ A $ 与事件 $ B $ 是互斥事件
B．事件 $ B $ 与事件 $ C $ 是对立事件
C．事件 $ C $ 与事件 $ D $ 是对立事件
D．事件 $ D $ 与事件 $ E $ 是互斥事件
对于 $ \mathrm{A} $ ,由于事件 $ A $ 与事件 $ B $ 不可能同时发生,所以事件 $ A $ 与事件 $ B $ 是互斥事件,故 $ \mathrm{A} $ 正确；对于 $ \mathrm{B} $ , $ B\cap C=⌀ $ ,但 $ B\cup C\ne \mathrm{\Omega } $ （ $ \mathrm{\Omega } $ 表示样本空间）,故事件 $ B $ 与事件 $ C $ 是互斥事件,不是对立事件,故 $ \mathrm{B} $ 错误；对于 $ \mathrm{C} $ ,至少有一次摸到红球包括有一次摸到红球一次摸到黄球和两次都摸到红球,其对立事件为没有一次摸到红球,即两次都摸到黄球,故事件 $ C $ 与事件 $ D $ 是对立事件,故 $ \mathrm{C} $ 正确；对于 $ \mathrm{D} $ , $ D\cap E= $ {有一次摸到红球,另一次摸到黄球},故事件 $ D $ 与事件 $ E $ 不是互斥事件,故 $ \mathrm{D} $ 错误,故选 $ \mathrm{A}\mathrm{C} $ .
6．如果事件 $ A $ ， $ B $ 互斥，记 $ \overline{A} $ ， $ \overline{B} $ 分别为事件 $ A $ ， $ B $ 的对立事件，那么 $ ①A\cup B $ 是必然事件； $ ②\overline{A}\cup \overline{B} $ 是必然事件； $ ③\overline{A} $ 与 $ \overline{B} $ 一定互斥； $ ④\overline{A} $ 与 $ \overline{B} $ 一定不互斥.其中正确的是 .（填序号）
②
用 $ \mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{n} $ 图解决此类问题较为直观,如图所示, $ \overline{A}\cup \overline{B} $ 是必然事件,则②正确,①③错误.若 $ A $ 与 $ B $ 互斥且对立,则 $ \overline{A}=B $ , $ \overline{B}=A $ ,则④错误.
7．某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘（上面扇形的圆心角都相等），顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动.记事件 $ A= $ “获得不多于30元的菜品或饮品”.
（1） 求事件 $ A $ 包含的样本点；
（2） 写出事件 $ A $ 的对立事件，以及一个事件 $ A $ 的互斥事件.
（1） 【解】事件 $ A=｛ $ 获得10元的菜品或饮品,获得20元的菜品或饮品,获得30元的菜品或饮品}.
（2） 事件 $ A $ 是获得不多于30元的菜品或饮品,它的对立事件是获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品,即 $ \overline{A}= $ “获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品”.在获得的菜品或饮品不多于120元且多于30元中的任何一个事件都与事件 $ A $ 互斥,如事件 $ A $ 的一个互斥事件为“获得40元的菜品或饮品”.
8．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件 $ A $ 表示“向上的点数为偶数”，事件 $ B $ 表示“向上的点数是1或3”，事件 $ C $ 表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ）
A． $ A $ 与 $ B $ 是对立事件
B． $ B $ 与 $ C $ 是对立事件
C． $ A $ 与 $ C $ 是互斥事件
D． $ A $ 与 $ B $ 是互斥事件
当向上的点数为5时,事件 $ A $ 与 $ B $ 同时不发生,故 $ \mathrm{A} $ 错误；
当向上的点数为2时,事件 $ B $ 与 $ C $ 同时不发生,故 $ \mathrm{B} $ 错误；
当向上的点数是4或6时,事件 $ A $ 与事件 $ C $ 同时发生,故 $ \mathrm{C} $ 错误；
事件 $ A $ 与事件 $ B $ 不能同时发生,故 $ \mathrm{D} $ 正确.
故选 $ \mathrm{D} $ .
1．某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立事件的是（ ）
A．至多投中2次
B．全部没投中
C．投中1次或全部没投中
D．没有全部投中
某人连续投篮3次,包含的样本点有①全部没投中, $ ②1 $ 次投中,2次没投中, $ ③2 $ 次投中,1次没投中,④全部投中这4个,
事件“至少投中2次”包含样本点③和④,
事件“投中1次或全部没投中”包含样本点①和②,则它们互为对立事件.
故选 $ \mathrm{C} $ .
2．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品.若从中任取2支，记事件 $ A= $ “恰有1支一等品”，事件 $ B= $ “2支都是二等品”，事件 $ C= $ “没有三等品”，则下列说法正确的是（ ）
A．事件 $ A $ 与事件 $ B $ 互斥
B．事件 $ B $ 与事件 $ C $ 互斥
C．事件 $ A $ 与事件 $ C $ 对立
D．事件 $ B $ 与事件 $ C $ 对立
对于 $ \mathrm{A} $ ,事件 $ A $ 与事件 $ B $ 不会同时发生,则事件 $ A $ 与事件 $ B $ 互斥,故 $ \mathrm{A} $ 正确；
对于 $ \mathrm{B} $ ,若取到的两支笔都是二等品,则事件 $ B $ 与 $ C $ 同时发生,则事件 $ B $ 与事件 $ C $ 不是互斥事件,故 $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ,若取到的两支笔一支是二等品,一支是三等品,此时事件 $ A $ 与 $ C $ 都没有发生,所以事件 $ A $ 与 $ C $ 不是对立事件,故 $ \mathrm{C} $ 错误；
对于 $ \mathrm{D} $ ,若取到的两支笔一支是一等品,一支是三等品,则事件 $ B $ 与事件 $ C $ 都没有发生,所以事件 $ B $ 与事件 $ C $ 不是对立事件,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A} $ .
3．（多选）某同学参加3次不同测试，用事件 $ {J}_{i}(i=1,2,3) $ 表示随机事件“第 $ {\rm i}({\rm i}=1,2,3) $ 次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（ ）（多选）
A． $ {J}_{1}\cup {J}_{2} $ 表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格
B． $ \overline{{J}_{2}\cup {J}_{3}} $ 表示后两次测试成绩均不及格
C． $ {J}_{1}\cap {J}_{2}\cap {J}_{3} $ 表示三次测试成绩均及格
D． $ \overline{{J}_{1}}\cap \overline{{J}_{2}}\cap \overline{{J}_{3}} $ 表示三次测试成绩均不及格
因为 $ {J}_{1}\cup {J}_{2} $ 表示前两次测试成绩中至少有一次及格,故 $ \mathrm{A} $ 错误；
因为 $ {J}_{2}\cup {J}_{3} $ 表示后两次测试成绩中至少有一次及格,所以 $ \overline{{J}_{2}\cup {J}_{3}} $ 表示后两次测试成绩均不及格,故 $ \mathrm{B} $ 正确；
$ {J}_{1}\cap {J}_{2}\cap {J}_{3} $ 表示 $ {J}_{1} $ , $ {J}_{2} $ , $ {J}_{3} $ 同时发生,即表示三次测试成绩均及格,故 $ \mathrm{C} $ 正确；
$ \overline{{J}_{i}} $ 表示第 $ i $ 次测试成绩不及格,所以 $ \overline{{J}_{1}}\cap \overline{{J}_{2}}\cap \overline{{J}_{3}} $ 表示三次测试成绩均不及格,故 $ \mathrm{D} $ 正确.
故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .
4．甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件 $ A $ 为“甲中奖”，事件 $ B $ 为“乙中奖”，事件 $ C $ 为“甲、乙中至少有一人中奖”，则（ ）（多选）
A． $ A $ 与 $ B $ 为互斥事件
B． $ B $ 与 $ C $ 为对立事件
C． $ A\cap B $ 与 $ \overline{C} $ 为互斥事件
D． $ \overline{A}\cap \overline{B} $ 与 $ C $ 为对立事件
对于 $ \mathrm{A} $ ,事件 $ A $ 与 $ B $ 可能同时发生,所以 $ \mathrm{A} $ 错误；
对于 $ \mathrm{B} $ ,事件 $ C $ 的对立事件为“甲、乙都不中奖”,所以 $ \mathrm{B} $ 错误；
对于 $ \mathrm{C} $ ,事件 $ A\cap B $ 表示“甲、乙都中奖”,事件 $ \overline{C} $ 表示“甲、乙都不中奖”,
所以 $ A\cap B $ 与 $ \overline{C} $ 不可能同时发生,所以 $ A\cap B $ 与 $ \overline{C} $ 为互斥事件,所以 $ \mathrm{C} $ 正确；
对于 $ \mathrm{D} $ ,事件 $ \overline{A}\cap \overline{B} $ 表示“甲、乙都不中奖”,事件 $ C $ 表示“甲、乙中至少有一人中奖”,所以 $ \overline{A}\cap \overline{B} $ 与 $ C $ 为对立事件,所以 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{C}\mathrm{D} $ .
5．生产某种产品需要2道工序，设事件 $ A= $ “第一道工序加工合格”，事件 $ B= $ “第二道工序加工合格”，事件 $ D=(A\cap \overline{B})\cup (\overline{A}\cap B)\cup (\overline{A}\cap \overline{B}) $ 表示的含义是 .
产品不合格
事件 $ D=(A\cap \overline{B})\cup (\overline{A}\cap B)\cup (\overline{A}\cap \overline{B}) $ 表示的是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道工序加工不合格,所以事件 $ D $ 表示“产品不合格”.
6．如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用 $ A $ 表示事件“电灯变亮”，用 $ B $ ， $ C $ ， $ D $ 依次表示事件“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则 $ A= $ .（用 $ B $ ， $ C $ ， $ D $ 间的运算关系式表示）
$ (BC )\cup (BD ) ( $ 或 $ (BC)+(BD) $ 或 $ B\cap (C\cup D) $ 或 $ B (C+D ) ) $
要使电灯变亮,则开关Ⅰ必须闭合,且开关Ⅱ和Ⅲ中至少有一个闭合,即要使“事件 $ B $ 发生”且“事件 $ C $ 发生或事件 $ D $ 发生”,用符号表示为 $ B\cap (C\cup D) $ 或 $ B(C+D) $ .也可分类讨论,即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合,即事件 $ BC $ 发生或事件 $ BD $ 发生,用符号表示为 $ (BC)\cup (BD) $ 或 $ (BC)+(BD) $ .
7．连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件 $ A=｛ $ 两次出现的点数相同 $ ｝ $ ，事件 $ B=｛ $ 两次出现的点数之和为 $ 4｝ $ ，事件 $ C=｛ $ 两次出现的点数之差的绝对值为 $ 4｝ $ ，事件 $ D=｛ $ 两次出现的点数之和为 $ 6｝ $ .
（1） 用样本点表示事件 $ C\cap D $ ， $ A\cup B $ .
（2） 若事件 $ E=｛(1,3) $ , $ (1,5) $ , $ (2,2) $ , $ (2,6) $ , $ (3,1) $ , $ (5,1) $ , $ (6,2)｝ $ ，则事件 $ E $ 与已知事件是什么运算关系？
（1） 【解】由题意得,事件 $ A=｛(1,1) $ , $ (2,2) $ , $ (3,3) $ , $ (4,4) $ , $ (5,5) $ , $ (6,6)｝ $ ,
事件 $ B=｛(1,3) $ , $ (2,2) $ , $ (3,1)｝ $ ,
事件 $ C=｛(1,5) $ , $ (2,6) $ , $ (5,1) $ , $ (6,2)｝ $ ,
事件 $ D=｛(1,5) $ , $ (2,4) $ , $ (3,3) $ , $ (4,2) $ , $ (5,1)｝ $ .
则 $ C\cap D=｛(1,5) $ , $ (5,1)｝ $ , $ A\cup B=｛(1,1) $ , $ (1,3) $ , $ (2,2) $ , $ (3,1) $ , $ (3,3) $ , $ (4,4) $ , $ (5,5) $ , $ (6,6)｝ $ .
（2） 由（1）知,事件 $ B=｛(1,3) $ , $ (2,2) $ , $ (3,1)｝ $ , $ C=｛(1,5) $ , $ (2,6) $ , $ (5,1) $ , $ (6,2)｝ $ .
因为 $ E=｛(1,3) $ , $ (1,5) $ , $ (2,2) $ , $ (2,6) $ , $ (3,1) $ , $ (5,1) $ , $ (6,2)｝ $ ,
所以 $ E=B\cup C $ .
8．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件 $ R= $ “两次都摸到红球”， $ G= $ “两次都摸到绿球”， $ M= $ “两个球颜色相同”， $ N= $ “两个球颜色不同”.
（1） 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2） 写出事件 $ R $ 与 $ G $ ， $ M $ 与 $ N $ 之间的关系；
（3） 写出事件 $ R $ 与事件 $ G $ 的并事件与事件 $ M $ 的关系.
（1） 【解】用数组 $ ({x}_{1},{x}_{2}) $ 表示可能的结果, $ {x}_{1} $ 是第一次摸到的球的标号, $ {x}_{2} $ 是第二次摸到的球的标号,
所以试验的样本空间 $ \mathrm{\Omega }=｛(1,2) $ , $ (1,3) $ , $ (1,4) $ , $ (2,1) $ , $ (2,3) $ , $ (2,4) $ , $ (3,1) $ , $ (3,2) $ , $ (3,4) $ , $ (4,1) $ , $ (4,2) $ , $ (4,3)｝ $ ,
事件 $ R=｛(1,2) $ , $ (2,1)｝ $ ,事件 $ G=｛(3,4) $ , $ (4,3)｝ $ ,事件 $ M=｛(1,2) $ , $ (2,1) $ , $ (3,4) $ , $ (4,3)｝ $ ,
事件 $ N=｛(1,3) $ , $ (1,4) $ , $ (2,3) $ , $ (2,4) $ , $ (3,1) $ , $ (4,1) $ , $ (3,2) $ , $ (4,2)｝ $ .
（2） 由（1）知, $ R\cap G=⌀ $ ,而 $ R\cup G\ne \mathrm{\Omega } $ ,所以事件 $ R $ , $ G $ 互斥,不对立；
$ M\cap N=⌀ $ , $ M\cup N=\mathrm{\Omega } $ ,所以事件 $ M $ , $ N $ 互为对立事件.
（3） 由（1）知, $ R\cup G=M $ ,所以事件 $ M $ 是事件 $ R $ 与事件 $ G $ 的并事件.