10.1.4 概率的基本性质

对于 $ \mathrm{A} $ ,甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去,则每位同学被抽到的概率都是 $ \dfrac{1}{3} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；对于 $ \mathrm{B} $ ,由概率的性质可知, $ 0\leqslant P(A)\leqslant 1 $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

对于 $ \mathrm{C} $ ,如果事件 $ A $ 与事件 $ B $ 对立,那么一定有 $ P(A)+P(B)=1 $ ,但互斥事件不一定对立,故 $ \mathrm{C} $ 错误；对于 $ \mathrm{D} $ ,因为事件 $ A $ 发生的概率为 $ P(A)=0.3 $ ,所以它的对立事件 $ \overline{A} $ 发生的概率 $ P(\overline{A})=1-0.3=0.7 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{D} $ .

对于 $ \mathrm{A} $ 选项,例如在编号为1,2,3,4,5的小球中任取一球,

定义事件 $ A: $ 所取小球的编号不小于3,定义事件 $ B: $ 所取小球的编号不小于4,显然 $ A $ , $ B $ 不是对立事件,但 $ P(A)+P(B)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}=1 $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

对于 $ \mathrm{B} $ 选项,互斥事件不一定是对立事件,但对立事件一定是互斥事件,故 $ \mathrm{B} $ 错误；

对于 $ \mathrm{C} $ 选项,若事件 $ A $ , $ B $ , $ C $ 两两互斥,则 $ P(A)+P(B)+P(C)=P(A\cup B\cup C)\leqslant 1 $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；

对于 $ \mathrm{D} $ 选项,若 $ A\cap B $ 为不可能事件,则 $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B) $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

因为事件 $ A $ , $ B $ 互斥, $ A $ , $ B $ 都不发生的概率为 $ \dfrac{1}{4} $ ,

所以 $ P(A)+P(B)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} $ ,而 $ P(A)=3P(B) $ ,解得 $ P(A)=\dfrac{9}{16} $ , $ P(B)=\dfrac{3}{16} $ ,

所以 $ P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16} $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以“甲获胜”的概率是 $ 1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；设甲不输为事件 $ A $ ,则事件 $ A $ 是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以 $ P(A)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为 $ \dfrac{1}{6} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；设乙不输为事件 $ B $ ,则事件 $ B $ 是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以 $ P(B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D} $ .

由题易知,从1个红球、1个黄球、2个蓝球的小球中任取2个小球,总的样本点有6个,取出的这两个小球的颜色相同的情况只有1种,所以这两个小球的颜色相同的概率为 $ \dfrac{1}{6} $ ,故这两个小球的颜色不同的概率为 $ 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6} $ .

由题意得 $ P(B)=1-P(\overline{B})=0.4 $ ,则 $ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.9 $ ．

（1） 如果 $ B\subseteq A $ ,那么 $ A\cup B=A $ , $ A\cap B=B $ ,所以 $ P(A\cup B)=P(A)=0.5 $ , $ P(AB)=P(B)=0.3 $ .

（2） 如果 $ A $ , $ B $ 互斥,那么 $ A\cap B=⌀ $ ,所以 $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8 $ , $ P(AB)=0 $ .

设事件 $ A= $ “甲跑第一棒”,事件 $ B= $ “乙跑第四棒”,

则 $ P(A)=\dfrac{1}{4} $ , $ P(B)=\dfrac{1}{4} $ .

记甲跑第 $ x $ 棒,乙跑第 $ y $ 棒为 $ (x,y) $ ,则共有12种可能结果： $ (1,2) $ , $ (1,3) $ , $ (1,4) $ , $ (2,1) $ , $ (2,3) $ , $ (2,4) $ , $ (3,1) $ , $ (3,2) $ , $ (3,4) $ , $ (4,1) $ , $ (4,2) $ , $ (4,3) $ .

甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即 $ (1,4) $ ,故 $ P(AB)=\dfrac{1}{12} $ .所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为 $ P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{12} $ .

设成员会用现金支付为事件 $ A $ ,会用非现金支付为事件 $ B $ ,则 $ A\cap B $ 为既会用现金支付也会用非现金支付, $ P(A)=0.6 $ , $ P(B)=0.55 $ ,则 $ P(A\cup B)=1 $ ,则 $ P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0.6+0.55-1=0.15 $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

因为 $ A $ , $ B $ 互斥,且 $ A $ , $ B $ 发生的概率均不为0,所以 $ \begin{cases}0 < 2-3a < 1,\\ 0 < 2a-\dfrac{1}{2} < 1,\\ 0 < 2-3a+2a-\dfrac{1}{2}\leqslant 1,\end{cases} $

解得 $ \dfrac{1}{2}\leqslant a < \dfrac{2}{3} $ ,所以实数 $ a $ 的取值范围是 $ [\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{3}) $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

由题图知参加兴趣小组的共有 $ 6+7+8+8+10+10+11=60 $ （人）,只属于数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8,故只属于音乐小组的概率为 $ \dfrac{8}{60}=\dfrac{2}{15} $ ,只属于英语小组的概率为 $ \dfrac{6}{60}=\dfrac{1}{10} $ .“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况,故他属于至少2个小组的概率为 $ \dfrac{11+10+7+8}{60}=\dfrac{3}{5} $ .“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”,其对立事件是“3个小组”,故他属于不超过2个小组的概率 $ P=1-\dfrac{8}{60}=\dfrac{13}{15} $ .故选 $ \mathrm{C}\mathrm{D} $ .

规律方法

对于复杂事件的概率也可以先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率,这也就是我们常说的“正难则反”.

因为事件 $ A $ , $ B $ , $ C $ 两两互斥,所以 $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\dfrac{8}{15} $ ,

又因为 $ P(A)=\dfrac{1}{5} $ ,所以 $ P(B)=\dfrac{8}{15}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{3} $ ,同理可得 $ P(C)=\dfrac{1}{4} $ ,

所以 $ P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12} $ .