第10.1节综合训练

对于 $ \mathrm{A} $ ,例如点数 $ (1,2) $ ,满足题意要求,所以二者能同时发生,不是互斥事件,故 $ \mathrm{A} $ 错误.

对于 $ \mathrm{B} $ ,点数之和为奇数：两数一奇一偶.点数之积为奇数：两数均为奇数,两事件不能同时发生.存在两数和为偶数且积为偶数的情况,所以二者互斥但不对立,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

对于 $ \mathrm{C} $ ：二者不能同时不发生,也不能同时发生,是对立事件,故 $ \mathrm{C} $ 错误.

对于 $ \mathrm{D} $ ：二者能同时发生,不是互斥事件,如点数 $ (4,2) $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B} $ .

选项 $ \mathrm{A} $ ,若 $ B\subseteq A $ ,则 $ A\cup B=A $ ,因此 $ P(A\cup B)=P(A) $ ,而非 $ P(B) $ , $ \mathrm{A} $ 错误.

选项 $ \mathrm{B} $ ,若 $ B\subseteq A $ ,则 $ A\cap B=B $ ,因此 $ P(AB)=P(B) $ ,而非 $ P(A) $ , $ \mathrm{B} $ 错误.

选项 $ \mathrm{C} $ ,若 $ A $ 和 $ B $ 互斥,则 $ A\cap B=⌀ $ ,故 $ P(AB)=0 $ ,而非 $ {\rm 1,} \mathrm{C} $ 错误.

选项 $ \mathrm{D} $ ,若 $ A $ 和 $ B $ 对立,则 $ A\cup B $ 为必然事件,故 $ P(A\cup B)=1 $ , $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{D} $ .

60名女生中,偏理科与偏文科的人数之比为 $ 40:20=2:1 $ ,

所以用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人,偏理科的人数为 $ 6×\dfrac{2}{2+1}=4 $ ,设为 $ A $ , $ B $ , $ C $ , $ D $ ,

偏文科的人数为 $ 6×\dfrac{1}{2+1}=2 $ ,设为 $ a $ , $ b $ ,

故随机抽取3人,情况有：

$ (A,B,C) $ , $ (A,B,D) $ , $ (A,B,a) $ , $ (A,B,b) $ , $ (A,C,D) $ , $ (A,C,a) $ , $ (A,C,b) $ , $ (A,D,a) $ ,

$ (A,D,b) $ , $ (A,a,b) $ , $ (B,C,D) $ , $ (B,C,a) $ , $ (B,C,b) $ , $ (B,D,a) $ , $ (B,D,b) $ , $ (B,a,b) $ ,

$ (C,D,a) $ , $ (C,D,b) $ , $ (C,a,b) $ , $ (D,a,b) $ ,共20种情况.

其中至少有2人偏理科的情况有：

$ (A,B,C) $ , $ (A,B,D) $ , $ (A,B,a) $ , $ (A,B,b) $ , $ (A,C,D) $ , $ (A,C,a) $ , $ (A,C,b) $ , $ (A,D,a) $ ,

$ (A,D,b) $ , $ (B,C,D) $ , $ (B,C,a) $ , $ (B,C,b) $ , $ (B,D,a) $ , $ (B,D,b) $ , $ (C,D,a) $ , $ (C,D,b) $ ,共16种情况,

所以随机抽取3人,至少有2人偏理科的概率是 $ \dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5} $ .

故选 $ \mathrm{D} $ .

当 $ 2a-b=0 $ 时,方程组无解；

当 $ 2a-b\ne 0 $ 时,解得 $ \begin{cases}x=\dfrac{6-2b}{2a-b},\\ y=\dfrac{2a-3}{2a-b}.\end{cases} $ 由已知得 $ \begin{cases}\dfrac{6-2b}{2a-b} > 0,\\ \dfrac{2a-3}{2a-b} > 0,\end{cases} $ 即 $ \begin{cases}2a-b > 0,\\ a > \dfrac{3}{2},\\ b < 3\end{cases} $ 或 $ \begin{cases}2a-b < 0,\\ a < \dfrac{3}{2},\\ b > 3.\end{cases} $

又因为 $ a $ , $ b\in ｛1,2,3,4,5,6｝ $ ,所以 $ a $ , $ b $ 可取的值为

$ \begin{cases}a=2,\\ b=2,\end{cases}\begin{cases}a=2,\\ b=1,\end{cases}\begin{cases}a=3,\\ b=2,\end{cases}\begin{cases}a=3,\\ b=1,\end{cases}\begin{cases}a=4,\\ b=2,\end{cases}\begin{cases}a=4,\\ b=1,\end{cases} $

$ \begin{cases}a=5,\\ b=2,\end{cases}\begin{cases}a=5,\\ b=1,\end{cases}\begin{cases}a=6,\\ b=2,\end{cases}\begin{cases}a=6,\\ b=1,\end{cases}\begin{cases}a=1,\\ b=4,\end{cases}\begin{cases}a=1,\\ b=5,\end{cases} $

$ \begin{cases}a=1,\\ b=6,\end{cases} $ 共13组,而 $ a $ , $ b\in ｛1,2,3,4,5,6｝ $ 时,共可以有36组,

故满足题意的概率 $ P=\dfrac{13}{36} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

设三人能力分别为强、中、弱,则三人参加面试的次序为（强、中、弱）,（强、弱、中）,（中、强、弱）,（中、弱、强）,（弱、中、强）,（弱、强、中）,共6种情况,

按“不录用第一个接受面试的人,如果第二个接受面试的人比第一个能力强,就录用第二个人,否则就录用第三个人”的规定,该公司录用到能力最强的人包含的结果有（中、强、弱）,（中、弱、强）,（弱、强、中）,共3种情况,

所以该公司录用到能力最强的人的概率 $ p=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} $ .

该公司录用到能力中等的人包含的结果有（强、弱、中）,（弱、中、强）,共2种情况,所以该公司录用到能力中等的人的概率 $ q=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} $ .故选 $ \mathrm{D} $ .

$ \mathrm{A} $ 选项,因为事件 $ A $ , $ B $ , $ C $ 两两互斥,

所以 $ P(A\cup B)=P(A)+P(B)=P(A)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12} $ ,

则 $ P(A)=\dfrac{1}{3} $ ,所以 $ P(\overline{A})=\dfrac{2}{3} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；

$ \mathrm{B} $ 选项, $ P(A\cup C)=P(A)+P(C)=\dfrac{1}{3}+P(C)=\dfrac{11}{15} $ ,则 $ P(C)=\dfrac{2}{5} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；

$ \mathrm{C} $ 选项, $ P(B\cup C)=P(B)+P(C)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{13}{20} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；

$ \mathrm{D} $ 选项, $ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{59}{60} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{B}\mathrm{C} $ .

画出树状图,结合图形可知,

从1移动到9,一共有34条不同的移动路线, $ \mathrm{A} $ 正确；

从1移动到9的过程中,恰好漏掉两个数字的移动路线,即上图倒数第三行有9的路线,有15条, $ \mathrm{B} $ 正确；

若每次移动都是随机的,则移动过程中恰好跳过4的路线共有10条,则其概率为 $ \dfrac{5}{17} $ , $ \mathrm{C} $ 错误；

若每次移动都是随机的,记 $ P(i) $ 为经过 $ i $ 的概率,则 $ P(9)=1 $ 为最大值, $ P(7) < 1 $ , $ \mathrm{D} $ 错误.故选 $ \mathrm{A}\mathrm{B} $ .

由题意 $ n(\mathrm{\Omega })=5×5=25 $ ,设事件 $ A= $ “两张卡片上的数字之和为奇数”,

则 $ A=｛(1,2) $ , $ (1,4) $ , $ (2,1) $ , $ (2,3) $ , $ (2,5) $ , $ (3,2) $ , $ (3,4) $ , $ (4,1) $ , $ (4,3) $ , $ (4,5) $ , $ (5,2) $ , $ (5,4)｝ $ ,共12个,所以 $ P(A)=\dfrac{12}{25} $ .

记样本点为 $ (i,j) $ ,其中 $ i=1 {\rm ,3,5,7,9} $ , $ j=2 {\rm ,4,6,8,10} $ ,则共有25个样本点.

目标事件包含的样本点为 $ (1,6) $ , $ (3,8) $ , $ (9,4) $ , $ (5,10) $ , $ (7,2) $ ,共5个样本点.所以所求概率 $ P=\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5} $ .

由题意得选出通晓日语、韩语、葡萄牙语的志愿者各一人,包含下列样本点： $ ({A}_{1},{B}_{1},{C}_{1}) $ , $ ({A}_{1},{B}_{1},{C}_{2}) $ , $ ({A}_{1},{B}_{2},{C}_{1}) $ , $ ({A}_{1},{B}_{2},{C}_{2}) $ , $ ({A}_{2},{B}_{1},{C}_{1}) $ , $ ({A}_{2},{B}_{1},{C}_{2}) $ , $ ({A}_{2},{B}_{2},{C}_{1}) $ , $ ({A}_{2},{B}_{2},{C}_{2}) $ , $ ({A}_{3},{B}_{1},{C}_{1}) $ , $ ({A}_{3},{B}_{1},{C}_{2}) $ , $ ({A}_{3},{B}_{2},{C}_{1}) $ , $ ({A}_{3},{B}_{2},{C}_{2}) $ ,共有12个.

若 $ N $ 表示事件“ $ {B}_{1} $ , $ {C}_{1} $ 不全被选中”,则 $ \overline{N} $ 表示“ $ {B}_{1} $ , $ {C}_{1} $ 全被选中”,

由于 $ \overline{N}=｛({A}_{1},{B}_{1},{C}_{1}) $ , $ ({A}_{2},{B}_{1},{C}_{1}) $ , $ ({A}_{3},{B}_{1},{C}_{1})｝ $ ,共有3个样本点,

所以 $ P(\overline{N})=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4} $ ,所以 $ P(N)=1-P(\overline{N})=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} $ .