1．（结论开放）写出一个同时满足下列条件的复数： $ z= $ .
$ ①|z|=\sqrt{5} $ ； $ ②\dfrac{1}{z} $ 在复平面内对应的点位于第二象限.
$ -2-\mathrm{i} $ （答案不唯一）
设 $ z=a+b\mathrm{i}(a,b\in \boldsymbol{R}) $ ,则 $ \dfrac{1}{z}=\dfrac{a-b\mathrm{i}}{{a}^{2}+{b}^{2}} $ .
由题意可知 $ {a}^{2}+{b}^{2}=5 $ ,且 $ a < 0 $ , $ b < 0 $ ,因此取 $ a=-2 $ , $ b=-1 $ ,则 $ z=-2-\mathrm{i} $ .
2．（条件开放）在 $ △ABC $ 中，内角 $ A $ , $ B $ , $ C $ 所对的边分别为 $ a $ , $ b $ , $ c $ ， $ A $ 为钝角， $ \sqrt{3}a \tan B=2b \sin A $ .
（1） 求 $ B $ ；
（2） 若 $ a=4\sqrt{3} $ ， $ b=\sqrt{13} $ ， $ D $ 为 $ AB $ 边上一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 $ △ACD $ 存在且唯一确定，求 $ △ACD $ 的面积.
条件①： $ DC=4 $ ；
条件②： $ \sin \mathrm{\angle }ADC=\dfrac{1}{3} $ ；
条件③： $ △ACD $ 的周长为 $ 5+\sqrt{13} $ .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（1） 【解】由 $ \sqrt{3}a \tan B=2b \sin A $ ,得 $ \sqrt{3}a \sin B=2b \sin A \cos B. $
在 $ △ABC $ 中,由正弦定理得 $ \sqrt{3} \sin A \sin B=2 \sin A \sin B \cos B $ .
因为 $ \sin A > 0 $ , $ \sin B > 0 $ ,
所以 $ \cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ .
又 $ 0 < B < \mathrm{\pi } $ ,所以 $ B=\dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ .
（2） 选条件①： $ DC=4 $ .
在 $ △ABC $ 中,由正弦定理得 $ \dfrac{b}{ \sin B}=\dfrac{a}{ \sin A} $ ,则 $ \sin A=\dfrac{4\sqrt{3} \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}}{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13} $ .
因为 $ A $ 为钝角,所以 $ \cos A=-\dfrac{\sqrt{13}}{13} $ .
在 $ △ACD $ 中, $ DC=4 $ ,所以由余弦定理得 $ D{C}^{2}=A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC\cdot AD \cos A $ ,
即 $ 16=13+A{D}^{2}-2\sqrt{13}\cdot AD\cdot (-\dfrac{\sqrt{13}}{13}) $ ,
解得 $ AD=1 $ 或 $ AD=-3 $ （舍）.
所以 $ {S}_{△ACD}=\dfrac{1}{2}AD\cdot AC \sin A=\dfrac{1}{2}×1×\sqrt{13}×\dfrac{2\sqrt{39}}{13}=\sqrt{3} $ .
选条件②：因为 $ A $ 为钝角,所以 $ B $ , $ \mathrm{\angle }ADC $ 为锐角,而 $ \sin \mathrm{\angle }ADC=\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}= \sin B $ ,
所以 $ \mathrm{\angle }ADC < B $ ,
因为 $ \mathrm{\angle }ADC=\mathrm{\angle }BCD+B > B $ ,与 $ \mathrm{\angle }ADC < B $ 矛盾,此时 $ △ACD $ 不存在.
选条件③： $ △ACD $ 的周长为 $ 5+\sqrt{13} $ .
在 $ △ABC $ 中,由正弦定理得 $ \dfrac{b}{ \sin B}=\dfrac{a}{ \sin A} $ ,则 $ \sin A=\dfrac{4\sqrt{3} \sin \dfrac{\mathrm{\pi }}{6}}{\sqrt{13}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13} $ .
因为 $ A $ 为钝角,所以 $ \cos A=-\dfrac{\sqrt{13}}{13} $ .
因为 $ △ACD $ 的周长为 $ 5+\sqrt{13} $ ,所以 $ AD+DC=5 $ .
在 $ △ACD $ 中,由余弦定理得 $ D{C}^{2}=A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC\cdot AD \cos A $ ,
即 $ (5-AD)^{2}=A{C}^{2}+A{D}^{2}-2AC\cdot AD \cos A $ ,解得 $ AD=1 $ .
所以 $ {S}_{△ACD}=\dfrac{1}{2}AD\cdot AC \sin A=\dfrac{1}{2}×1×\sqrt{13}×\dfrac{2\sqrt{39}}{13}=\sqrt{3} $ .