第4节 速度变化快慢的描述——加速度

根据加速度定义式 $ a=\dfrac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t} $ ,可知加速度越大,则在相同的时间内速度改变量就越大,故 $ \mathrm{A} $ 正确；若加速度方向与速度方向相反,物体做减速运动,加速度增大,物体的速度减小,故 $ \mathrm{B} $ 错误；加速度与速度无必然联系,加速度越大,物体的速度不一定越大,故 $ \mathrm{C} $ 错误；速率不变时,速度的方向可能改变,此时加速度不为零,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

矢量的正负表示方向,不表示大小,矢量的大小只取决于数值的大小,速度和加速度都是矢量,所以甲的速度小于乙的速度,丙的加速度小于丁的加速度, $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 错误；若乙做匀速直线运动,根据匀速直线运动公式得 $ 1\mathrm{s} $ 内乙的位移大小 $ x=|{v}_{乙}|\cdot t=5\mathrm{m} $ , $ \mathrm{C} $ 正确；若丁物体的速度方向和加速度方向相同,则其做匀加速直线运动, $ \mathrm{D} $ 错误.

由表格数据可知,子弹的加速度最大,则子弹的速度变化最快；高铁起步的加速度最小,则高铁的速度变化最慢,但其速度变化量不一定最小,故 $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{C} $ 错误.汽车在刹车过程中的速度方向保持不变,所以汽车的位移是逐渐增大的,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

（1） 台球甲从被击出到击中台球乙前的平均速度大小 $ \overline{v}=\dfrac{{x}_{1}}{{t}_{1}}=6\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .

（2） 根据加速度的定义式可得,台球甲在碰撞过程中的平均加速度大小 $ {a}_{1}=|\dfrac{{v}_{2}-{v}_{1}}{\mathrm{\Delta }t}|=800\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .

（3） 根据加速度的定义式可得,台球乙在碰撞过程中的平均加速度大小 $ {a}_{2}=|\dfrac{{v}_{3}}{\mathrm{\Delta }t}|=800\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .

题图甲中 $ {v}_{2} > {v}_{1} $ ,即汽车速度在增大,所以题图甲中汽车正在做加速运动；题图乙中 $ {v}_{2} < {v}_{1} $ ,即汽车速度在减小,所以题图乙中汽车正在做减速运动, $ \mathrm{A} $ 正确.由加速度的定义式 $ a=\dfrac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t} $ 可知,在相同的时间内,速度的变化量 $ \mathrm{\Delta }v $ 越大,加速度越大, $ \mathrm{B} $ 错误.加速度反映的是物体速度变化的快慢,与物体速度的大小无直接关系, $ \mathrm{C} $ 错误.由加速度的定义式 $ a=\dfrac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t} $ 可知,加速度的方向与速度的变化量 $ \mathrm{\Delta }v $ 的方向相同,与汽车做加速运动还是减速运动无关, $ \mathrm{D} $ 错误.

（1） 蜻蜓的加速度为 $ {a}_{1}=\dfrac{\mathrm{\Delta }{v}_{1}}{\mathrm{\Delta }{t}_{1}}=\dfrac{0-8}{0.7}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=-11.4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,火箭的加速度为 $ {a}_{2}=\dfrac{\mathrm{\Delta }{v}_{2}}{\mathrm{\Delta }{t}_{2}}=\dfrac{100-0}{10}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,蜻蜓和火箭加速度的大小分别为 $ 11.4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ 和 $ 10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,且 $ 11.4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} > 10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,则蜻蜓速度变化快.

（2） 根据第（1）问,可知蜻蜓的加速度为负值,表示其方向与速度方向相反；火箭的加速度为正值,表示其方向与速度方向相同.

（3） 根据第（1）问,可得在直线运动中,当加速度方向与速度方向相同时,物体做加速运动；当加速度方向与速度方向相反时,物体做减速运动.

根据 $ v-t $ 图像的斜率表示加速度,可知 $ 0\sim {t}_{a} $ 段火箭的加速度小于 $ {t}_{a}\sim {t}_{b} $ 段火箭的加速度,故 $ \mathrm{D} $ 正确；根据 $ v-t $ 图像可知, $ 0\sim {t}_{c} $ 内 $ v $ 始终大于0,可知 $ 0\sim {t}_{c} $ 段火箭都处在上升过程,则 $ {t}_{c} $ 时刻火箭离地面最远,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{C} $ 错误.

$ t=0 $ 时刻,若物体的初速度为零,根据 $ a-t $ 图像可知, $ 0\sim \dfrac{T}{2} $ 内物体向正方向做加速度大小不变的加速直线运动； $ \dfrac{T}{2}\sim T $ 内物体向正方向做匀速直线运动； $ T\sim \dfrac{3T}{2} $ 内物体向正方向做加速度大小不变的减速直线运动, $ \dfrac{3}{2}T $ 时刻物体的速度为0； $ \dfrac{3T}{2}\sim 2T $ 内物体向负方向做加速度大小不变的加速直线运动,且 $ 0\sim \dfrac{T}{2} $ 内和 $ T\sim 2T $ 内物体的加速度大小相同,方向相反,故 $ \mathrm{C} $ 正确.

（1） 由 $ v-t $ 图像可知 $ 0\sim 2\mathrm{s} $ 内图线是一条倾斜的直线且速度为正、加速度为正,两者方向相同,则重物做加速直线运动, $ 2\sim 5\mathrm{s} $ 内图线是一条平行于 $ t $ 轴的直线,则重物做匀速直线运动, $ 5\sim 8\mathrm{s} $ 内图线是一条倾斜的直线且速度为正、加速度为负,则重物做减速直线运动.

（2） 由加速度的定义式 $ a=\dfrac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t} $ 结合 $ v-t $ 图像,在 $ 0\sim 2\mathrm{s} $ 内、 $ 5\sim 8\mathrm{s} $ 内分别代入数据,有 $ {a}_{1}=2.5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,方向竖直向上, $ {a}_{2}=\dfrac{5}{3}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,方向竖直向下.

以初速度的方向为正方向,则初速度 $ {v}_{0}=8\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,当末速度为 $ {v}_{1}=2\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 时,由加速度定义式得 $ {a}_{1}=\dfrac{{v}_{1}-{v}_{0}}{t}=-3\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,负号表示方向与初速度方向相反；当末速度为 $ {v}_{2}=-2\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 时,由加速度定义式得 $ {a}_{2}=\dfrac{{v}_{2}-{v}_{0}}{t}=-5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,负号表示方向与初速度方向相反,故 $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{D} $ 正确.

自行车的运动方向沿斜坡向下,加速度方向沿斜坡向上,所以速度一直减小,位移一直在增大,当加速度减小到零后做匀速直线运动,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{D} $ 正确.

由于初速度 $ {v}_{0} > 0 $ ,加速度 $ a > 0 $ ,即速度和加速度同向,不管加速度大小如何变化,速度都是在增加的,当加速度减小时,相同时间内速度的增加量变小,即增加得慢了；当 $ a=0 $ 时,速度达到最大值,此后以该最大速度做匀速直线运动,位移不断增大, $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{C} $ 正确.

由题意有 $ v=100\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}=\dfrac{100}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ {v}_{0}=0 $ ,根据加速度的定义式得该汽车的平均加速度为 $ a=\dfrac{v-{v}_{0}}{t}=4.48\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,由题意知该车的“ $ G $ 值”约为 $ \dfrac{a}{g}=0.46 $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

速度—时间图像的切线斜率表示加速度,在 $ 0\sim 66\mathrm{s} $ 内题图图线的切线斜率越来越小,加速度越来越小,故海盗快艇做加速度减小的加速直线运动,故 $ \mathrm{A} $ 错误；海盗快艇在 $ 96\mathrm{s} $ 末速度由正值变为负值,速度方向发生变化,即改变运动的方向,开始掉头逃离,故 $ \mathrm{B} $ 正确, $ \mathrm{C} $ 错误；在 $ 96\sim 116\mathrm{s} $ 内,根据加速度定义式 $ a=\dfrac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t} $ 可得 $ a=\dfrac{-15-0}{116-96}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=-0.75\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 根据加速度的定义式可得 $ a=\dfrac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\dfrac{20}{10}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,方向与运动方向相同.

（2） 摩托车运动的 $ v-t $ 图像如图所示.

（3） $ v-t $ 图像的斜率表示加速度,摩托车第一个 $ 10\mathrm{s} $ 内的加速度 $ a\prime =k=\dfrac{30}{15}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,方向与运动方向相同,与（1）中的计算结果相同.

（4） 摩托车在 $ 15\mathrm{～}30\mathrm{s} $ 内的加速度为 $ {a}_{1}=\dfrac{\mathrm{\Delta }v\prime }{\mathrm{\Delta }t\prime }=\dfrac{0-30}{15}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=-2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,负号表示加速度方向与运动方向相反.

变化率是变化量与所用时间的比值,“加速度的变化率”是 $ \dfrac{\mathrm{\Delta }a}{\mathrm{\Delta }t} $ , $ a $ 的单位是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ , $ t $ 的单位是 $ \mathrm{s} $ ,则 $ \dfrac{\mathrm{\Delta }a}{\mathrm{\Delta }t} $ 的单位为 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{3} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；加速度的变化率为0是指加速度保持不变,即加速度恒定,做速度均匀变化的直线运动,故 $ \mathrm{B} $ 正确；若加速度与速度同方向,则汽车做加速运动,如题图所示,加速度减小,则汽车速度增加得越来越慢,但仍在加速,速度不会减小,故 $ \mathrm{C} $ 错误；根据题意可知在 $ a-t $ 图像中图像与时间轴所围图形的面积表示汽车速度的变化量,则 $ \mathrm{\Delta }v=\dfrac{1}{2}×2×3\mathrm{m}/\mathrm{s}=3\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,由于加速度与速度同方向,故汽车做加速直线运动,已知初速度为 $ 5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,则汽车在 $ 2\mathrm{s} $ 末的速度大小为 $ 8\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.