第2节 匀变速直线运动的速度与时间的关系

$ v-t $ 图像的切线斜率表示加速度,由于匀变速直线运动的加速度保持不变,所以匀变速直线运动的 $ v-t $ 图像是一条倾斜的直线,故 $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误；根据 $ \mathrm{\Delta }v=a\mathrm{\Delta }t $ ,由于加速度保持不变,无论 $ \mathrm{\Delta }t $ 选在什么区间,对应的速度的变化量 $ \mathrm{\Delta }v $ 与所用的时间 $ \mathrm{\Delta }t $ 之比都是一样的,故 $ \mathrm{C} $ 正确；在匀变速直线运动中,如果物体的速度随时间均匀减小,这种运动叫作匀减速直线运动,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

汽车做匀加速直线运动,在第 $ 3\mathrm{s} $ 末的速度 $ v={v}_{0}+at=25\mathrm{m}/\mathrm{s}+2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}×3\mathrm{s}=31\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

根据 $ v=(2t+4)\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 可知火箭的初速度 $ {v}_{0}=4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,加速度 $ a=2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,则火箭做匀加速直线运动, $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误；在 $ 3\mathrm{s} $ 末,火箭的瞬时速度为 $ v=(2×3+4)\mathrm{m}/\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ \mathrm{C} $ 正确.

（1） 滑雪运动员以加速度 $ {a}_{1} $ 由静止从坡顶沿直线匀加速滑下,由速度—时间公式可得 $ {v}_{1}={a}_{1}{t}_{1} $ ,代入数据解得 $ {a}_{1}=1\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ , $ {t}_{2}=50\mathrm{s} $ 时到达坡底,此时运动员的速度 $ {v}_{2}={a}_{1}{t}_{2}=1×50\mathrm{m}/\mathrm{s}=50\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,在水平面做匀减速运动时,以运动员的方向为正方向,滑雪运动员以加速度 $ {a}_{2} $ 匀减速过程有 $ 0-{v}_{2}={a}_{2}{t}_{3} $ ,代入数据解得 $ {a}_{2}=\dfrac{-50}{25}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=-2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ，则加速度大小为 $ 2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .

（2） 由题意知,运动员到达坡底后再运动 $ 25\mathrm{s} $ 速度减为0,故运动员到达坡底后再经过 $ {t}_{4}=26\mathrm{s} $ 时的速度大小为0.

由题图可知 $ 0\sim 2\mathrm{s} $ 内火箭速度增大,但是 $ v-t $ 图像为曲线,火箭做变加速运动, $ \mathrm{A} $ 错误；根据图像的斜率为加速度可知, $ 2\sim 4\mathrm{s} $ 内火箭的加速度大小为 $ a=|\dfrac{-10-10}{4-2}|\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,加速度方向在 $ t=3\mathrm{s} $ 时没有改变, $ \mathrm{B} $ 错误；由题图可知, $ t=3\mathrm{s} $ 时火箭速度反向,开始下落, $ \mathrm{C} $ 错误；火箭上升到最高点时离地面最远,在最高点时速度为零,所以 $ t=3\mathrm{s} $ 时火箭离地面最远, $ \mathrm{D} $ 正确.

以滑块初速度方向为正方向,若末速度与初速度方向相同,则 $ \dfrac{{v}_{0}}{2}={v}_{0}-a{t}_{1} $ ,得 $ {t}_{1}=\dfrac{{v}_{0}}{2a} $ ,若末速度与初速度方向相反,有 $ -\dfrac{{v}_{0}}{2}={v}_{0}-a{t}_{2} $ ,得 $ {t}_{2}=\dfrac{3{v}_{0}}{2a} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{C} $ 正确.

规定着陆时的速度方向为正方向,飞机着陆时的速度 $ {v}_{0}=60\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,加速度 $ a=-6\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,则飞机速度减到零所用的时间为 $ t=\dfrac{0-60}{-6}\mathrm{s}=10\mathrm{s} $ ,可知飞机在着陆后 $ 10\mathrm{s} $ 时停下,则飞机着陆后 $ 12\mathrm{s} $ 末的速度为0,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

设无人机做匀减速运动的时间为 $ {t}_{2} $ ,根据题意得 $ {a}_{1}(t-{t}_{2})={a}_{2}{t}_{2} $ ,解得 $ {t}_{2}=\dfrac{{a}_{1}}{{a}_{1}+{a}_{2}}t $ , $ \mathrm{A} $ 正确.

$ 2{t}_{0} $ 时刻汽车的速度为 $ {v}_{1}=2a{t}_{0} $ , $ 3{t}_{0} $ 时刻汽车的速度为 $ {v}_{2}={v}_{1}-a{t}_{0}=a{t}_{0} $ ,则 $ 2{t}_{0} $ 至 $ 3{t}_{0} $ 时间内速度变化量 $ \mathrm{\Delta }v={v}_{2}-{v}_{1}=-a{t}_{0} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误； $ 8{t}_{0} $ 时刻汽车的速度达到最大值, $ {v}_{\mathrm{m}}=2a{t}_{0}-a{t}_{0}+2a{t}_{0}-a{t}_{0}+2a{t}_{0}=4a{t}_{0} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误, $ \mathrm{C} $ 正确；设汽车停止运动的时刻为 $ t $ ,由速度—时间公式有 $ 0={v}_{\mathrm{m}}-a(t-8{t}_{0}) $ ,结合 $ {v}_{\mathrm{m}}=4a{t}_{0} $ ,联立解得 $ t=12{t}_{0} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

（1） 运动员前 $ 2\mathrm{s} $ 内做匀加速运动,加速度大小 $ {a}_{1}=\dfrac{6}{2}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=3\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,若第 $ 4\mathrm{s} $ 末恰好经过 $ B $ 点,则 $ 4\mathrm{s} $ 末的速度 $ v={a}_{1}{t}_{4}=12\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,但是 $ 4\mathrm{s} $ 末的速度为 $ 10\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,可知 $ 4\mathrm{s} $ 末运动员已经做减速运动,减速运动的加速度 $ {a}_{2}=\dfrac{{v}_{6}-{v}_{4}}{{t}_{6}-{t}_{4}}=\dfrac{6-10}{6-4}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}=-2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,设运动员经过时间 $ t $ 到达 $ B $ 点,则 $ {v}_{B}={a}_{1}t={v}_{4}-{a}_{2}(4\mathrm{s}-t) $ , $ {v}_{6}={v}_{B}+{a}_{2}(6\mathrm{s}-t) $ ,解得 $ t=3.6\mathrm{s} $ , $ {v}_{B}=10.8\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,减速的时间为 $ t\prime =\dfrac{0-{v}_{B}}{{a}_{2}}=5.4\mathrm{s} $ ,则运动员恰好停在 $ C $ 点的时间 $ T=t+t\prime =9\mathrm{s} $ .

（2） 见（1）解析

（3） 见（1）解析

（1） 规定汽车初速度方向为正方向,由题意知汽车匀加速运动阶段初速度 $ {v}_{0}=36\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}=10\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,加速度 $ {a}_{1}=1.4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,则汽车 $ 10\mathrm{s} $ 末的速度 $ {v}_{1}={v}_{0}+{a}_{1}{t}_{1}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+1.4×10\mathrm{m}/\mathrm{s}=24\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,即汽车 $ 10\mathrm{s} $ 末的速度大小为 $ 24\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .

（2） 刹车阶段汽车的加速度 $ {a}_{2}=-6\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,汽车减速到零所用时间 $ {t}_{3}=\dfrac{0-{v}_{1}}{{a}_{2}}=4\mathrm{s} $ ,故刹车 $ 2\mathrm{s} $ 后速度 $ {v}_{2}={v}_{1}+{a}_{2}{t}_{2}=24\mathrm{m}/\mathrm{s}+(-6)×2\mathrm{m}/\mathrm{s}=12\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,即刹车后 $ 2\mathrm{s} $ 汽车的速度大小为 $ 12\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .

（3） 见（2）解析

（4） 由题意和前面分析可知, $ 0\sim 10\mathrm{s} $ 内汽车做匀加速直线运动, $ 10\sim 14\mathrm{s} $ 内汽车做匀减速直线运动,汽车运动的速度—时间图像如图所示.