课时2 力的分解

若 $ {F}_{1} $ 是 $ F $ 的一个分力,由三角形定则可知 $ F $ 为 $ {F}_{1} $ 和 $ {F}_{2} $ 首尾相连得到的,则另一个分力 $ {F}_{2} $ 应该由 $ C $ 指向 $ B $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；随着夹角的变化,合力 $ F $ 与分力的关系为 $ |{F}_{1}-{F}_{2}|⩽ F⩽ {F}_{1}+{F}_{2} $ ,则改变分力与 $ F $ 的夹角, $ F $ 不一定是最大的,故 $ \mathrm{B} $ 错误；若受力分析时对 $ F $ 进行了分解,则之后的分析中就只考虑两分力,而不应再将 $ F $ 计算在内,故 $ \mathrm{C} $ 正确；若 $ F $ 与 $ {F}_{1} $ 的大小一定,另一分力 $ {F}_{2} $ 的方向一定,则 $ {F}_{2} $ 的大小有两种可能或一种可能或无解,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

重力的大小和方向始终不变,分解到两木块方向时,设人字形架的夹角为 $ \theta $ ,由平衡条件有 $ 2F \cos \dfrac{\theta }{2}=G $ ,可得该同学的重力沿木块方向的分力大小为 $ F=\dfrac{G}{2 \cos \dfrac{\theta }{2}} $ ,可知人字形架的夹角越大,该同学的重力沿两木块方向的作用力越大,越容易推动书桌.故选 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{C} $ .

将力 $ (F+G) $ 分解为 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 两个分力,这两个分力分别与斧头的两个侧面垂直,如图所示,根据对称性可知,两分力 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 大小相等,则以 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 为邻边的平行四边形是一个菱形,因为菱形的对角线互相垂直且平分,根据相似三角形有 $ \dfrac{\dfrac{d}{2}}{l}=\dfrac{\dfrac{F+G}{2}}{{F}_{1}} $ ,解得 $ {F}_{1}=\dfrac{l}{d}(F+G) $ ,故选 $ \mathrm{A} $ .

图A中船帆受到风的作用力,如图甲所示,由于 $ {F}_{2} $ 方向与航向相反,故 $ \mathrm{A} $ 错误；图B中船帆受到风的作用力,如图乙所示,由于 $ {F}_{2} $ 方向与航向相反,故 $ \mathrm{B} $ 错误；图C中船帆受到风的作用力,如图丙所示,由于 $ {F}_{2} $ 方向与航向相反,故 $ \mathrm{C} $ 错误；图D中船帆受到风的作用力,如图丁所示,由于 $ {F}_{2} $ 方向与航向相同,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

把球1、2所受重力按力的作用效果分解,如图甲、乙所示.斜面对球1的支持力大小 $ {N}_{1}={F}_{2}=\dfrac{G}{ \cos \theta } $ ,斜面对球2的支持力大小 $ {N}_{2}={F}_{4}=G \cos \theta $ ,所以 $ {N}_{1}:{N}_{2}=1:{ \cos }^{2}\theta $ .

如图所示,以 $ F=G=100\mathrm{N} $ 的力的“箭头”为圆心,以 $ {F}_{2} $ 的大小 $ 60\mathrm{N} $ 为半径画一个圆弧,圆弧与 $ {F}_{1} $ 所在直线有两个交点,因此 $ {F}_{2} $ 有两个可能的方向, $ {F}_{1} $ 的大小有两个可能的值.故选 $ \mathrm{C} $ .

$ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 如图所示,根据三角形定则,当 $ {F}_{2} $ 与 $ {F}_{1} $ 垂直时, $ {F}_{2} $ 最小, $ {F}_{2} $ 的最小值为 $ {F}_{ \min }=F \sin {30}^{\circ }=5\mathrm{N} $ ,故 $ {F}_{2} $ 的大小不可能小于 $ 5\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{C} $ 正确；只确定 $ {F}_{1} $ 的方向时, $ {F}_{2} $ 的长度不存在最大值,所以 $ {F}_{1} $ 的大小也不存在最大值, $ {F}_{1} $ 的大小范围为 $ 0\mathrm{～}\mathrm{\infty } $ ,故 $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误.

正交分解 $ {F}_{1} $ , $ x $ 轴方向的合力为 $ {F}_{x}={F}_{1} \cos {45}^{\circ }=10\mathrm{N} $ ,沿 $ x $ 轴正方向, $ y $ 轴方向的合力为 $ {F}_{y}={F}_{2}-{F}_{1} \sin {45}^{\circ }=10\mathrm{N} $ ,沿 $ y $ 轴负方向.故这两个力的合力大小 $ F=\sqrt{{F}_{x}^{2}+{F}_{y}^{2}}=10\sqrt{2}\mathrm{N} $ ,方向与 $ x $ 轴正方向夹角为 $ {45}^{\circ } $ .故选 $ \mathrm{C} $ .

分析物体受到的合力大小的过程如图所示.

题图甲说明物体做加速运动,速度的变化量由初速度的箭头端指向末速度的箭头端, $ \mathrm{A} $ 错误；题图乙说明两分力的合力由一个分力的箭尾端指向另一个分力的箭头端, $ \mathrm{B} $ 错误；题图丙的三个力的矢量线段首尾相连,组成封闭的三角形,三个力的合力一定为零, $ \mathrm{C} $ 正确；题图丁的两个力矢量线段首尾相连,其合力由 $ {F}_{1} $ 的箭尾端指向 $ {F}_{2} $ 的箭头端,合力的方向向右,都在同一条直线上,即合力的大小改变,方向不变, $ \mathrm{D} $ 错误.

$ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 两个力是重力的分力,不是物体实际受到的力, $ {F}_{2} $ 的作用点在物体上，不在斜面上,所以不是物体对斜面的压力,故 $ \mathrm{A} $ 错误；物体受到 $ mg $ 、 $ {F}_{\mathrm{N}} $ 两个力的作用, $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 两个力是重力的分力,不能与重力同时作用在物体上,故 $ \mathrm{B} $ 错误； $ {F}_{\mathrm{N}} $ 和 $ {F}_{2} $ 大小相等、方向相反,都作用在物体上,是一对平衡力,不是作用力和反作用力,故 $ \mathrm{C} $ 错误；由于 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 共同作用的效果与重力作用的效果相同,所以 $ {F}_{\mathrm{N}} $ 、 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 三个力的作用效果和 $ mg $ 、 $ {F}_{\mathrm{N}} $ 两个力的作用效果相同,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

将力 $ F $ 按照作用效果分解为 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ ,如图所示,由图可知 $ {F}_{1}={F}_{2} \cos \theta $ , $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误.由几何关系有 $ {F}_{2}=\dfrac{F}{ \sin \theta } $ , $ {F}_{1}=\dfrac{F}{ \tan \theta } $ ,可知力 $ F $ 一定时,夹角 $ \theta $ 越小, $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 均越大；夹角 $ \theta $ 越大, $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 均越小,越不容易凿入木头, $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误.

高大的桥要建很长的引桥,减小斜面倾角,是为了减小汽车行驶过程中重力沿斜面的分力,增大重力垂直于斜面的分力,从而增大摩擦力,故 $ \mathrm{A} $ 错误；对刀施加力时,有 $ F=2{F}_{1} \cos \theta $ ,刀刃越薄,则 $ \theta $ 越大, $ \cos \theta $ 越小, $ {F}_{1} $ 越大,更容易切开食物,所以刀刃前部和后部厚薄不匀,跟使用功能有关,故 $ \mathrm{B} $ 错误；运动员做引体向上（缓慢上升）动作时,有 $ mg=2F \cos \theta $ ,双臂张开很大的角度时,即 $ \theta $ 变大, $ \cos \theta $ 变小, $ F $ 变大,即比双臂平行时费力（即需要更大的力）,故 $ \mathrm{C} $ 正确；将车与树用水平张紧的钢索相连,在钢索中点垂直汽车与树连线方向施加一个力,此时有 $ F=2{F}_{1} \cos \theta $ ,当 $ \theta $ 较大时, $ \cos \theta $ 较小, $ F $ 小于 $ {F}_{1} $ ,即施加的作用力小于钢索的拉力,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

设两细杆对小球支持力的合力为 $ {F}_{\mathrm{N}} $ ,可知 $ {F}_{\mathrm{N}}=mg \cos \alpha $ ,设每根杆的支持力大小为 $ F $ ,由平行四边形定则可得 $ 2F \cos \theta ={F}_{\mathrm{N}} $ ,解得 $ F=\dfrac{mg \cos \alpha }{2 \cos \theta } $ ,故选 $ \mathrm{C} $ .

物体在斜面上受到重力、支持力和外力,在三力作用下沿对角线做直线运动.将重力沿斜面向下和垂直于斜面方向正交分解,沿斜面方向的合力与 $ PQ $ 共线,根据矢量三角形可知,当外力垂直于 $ PQ $ 时,外力最小,所施加的外力的最小值为 $ {F}_{ \min }=mg \sin \theta \sin {45}^{\circ }=\dfrac{\sqrt{2}}{2}mg \sin \theta $ ,所以对物体施加的作用力大小应满足 $ F⩾ \dfrac{\sqrt{2}}{2}mg \sin \theta $ ,故选 $ \mathrm{D} $ .

“ $ \mathrm{Y} $ ”形千斤顶的 $ A $ 点受力分析如图甲所示,将压力 $ T $ 分解为拉螺旋杆的力 $ {F}_{1} $ 和压斜杆的力 $ F $ ,作出平行四边形,可知 $ T=G $ , $ {F}_{1}=\dfrac{G}{ \tan \theta } $ ,对“菱形”千斤顶的 $ A $ 点和 $ C $ 点受力分析如图乙所示,根据力的实际作用效果,首先将压力 $ T $ 分解为两个等大的力 $ F\prime $ ,有 $ F\prime =\dfrac{G}{2 \sin \theta } $ , $ F\prime $ 作用在 $ A $ 点,又可以分解为拉螺旋杆的力 $ F{\prime }_{1} $ 和压斜杆的力 $ {F}_{2} $ ,由于四边形 $ ACBD $ 是一个菱形,根据力的三角形与几何三角形相似可得 $ {F}_{2}=F\prime $ ,在 $ A $ 处可得 $ F{\prime }_{1}=2F\prime \cos \theta $ ,所以 $ F{\prime }_{1}=\dfrac{G}{2 \sin \theta }\cdot 2 \cos \theta =\dfrac{G}{ \tan \theta } $ ,则题图（a）、 $ (\mathrm{b}) $ 两种千斤顶螺旋杆的拉力大小之比为 $ 1:1 $ .

将力 $ F $ 沿垂直于两个侧面的方向分解,如图所示,则 $ \dfrac{F{\prime }_{\mathrm{N}}}{{F}_{\mathrm{N}}}= \cos \theta $ ,若 $ \theta $ 一定,增大 $ F $ ,直侧面与倾斜侧面推力之比不变,则 $ F{\prime }_{\mathrm{N}} < {F}_{\mathrm{N}} $ ,即针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力大,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；分析可知 $ \dfrac{F}{F{\prime }_{\mathrm{N}}}= \tan \theta $ ,解得 $ F{\prime }_{\mathrm{N}}=\dfrac{F}{ \tan \theta } $ ,若 $ F $ 一定,增大 $ \theta $ ,则直侧面推力 $ F{\prime }_{\mathrm{N}} $ 减小,故 $ \mathrm{C} $ 正确.