第5节 共点力的平衡

根据共点力的定义可知,题图甲中 $ {F}_{1} $ 与 $ {F}_{2} $ 不平行,作用线的延长线一定交于一点,故 $ {F}_{1} $ 、 $ {F}_{2} $ 是共点力, $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；题图乙中 $ F $ 竖直向上，与 $ G $ 平行,则两个力不是共点力,若 $ F $ 垂直于杆向上,则作用线的延长线必与重力 $ G $ 的作用线的延长线相交,此时 $ F $ 与 $ G $ 是共点力, $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.

定滑轮不改变力的大小,题图甲中物体静止,有 $ {F}_{1}=G $ ;以题图乙中物体为研究对象,作出受力图如图1所示,根据平衡条件有 $ {F}_{2}=G \sin {60}^{\circ }=\dfrac{\sqrt{3}}{2}G $ ；以题图丙中动滑轮为研究对象,受力图如图2所示,根据平衡条件有 $ {F}_{3}=G $ .故 $ {F}_{3}={F}_{1} > {F}_{2} $ ,故选 $ \mathrm{A} $ .

未放 $ Q $ 时,对 $ P $ 受力分析,受重力、支持力 $ {F}_{\mathrm{N}} $ 和静摩擦力 $ f $ ,设 $ P $ 的质量为 $ M $ ,斜面倾角为 $ \theta $ ,根据平衡条件有 $ {F}_{\mathrm{N}}=Mg \cos \theta $ , $ f=Mg \sin \theta $ 且 $ f⩽ \mu {F}_{\mathrm{N}} $ ,得 $ Mg \sin \theta ⩽ \mu Mg \cos \theta $ ,则 $ \mu ⩾ \tan \theta $ ,由于 $ Q $ 轻轻叠放在 $ P $ 上,相当于增大 $ P $ 的质量,上式仍成立,则 $ P $ 仍静止不动, $ \mathrm{A} $ 错误， $ \mathrm{B} $ 正确； $ P $ 仍处于静止状态,所受合外力为零,不变, $ \mathrm{C} $ 错误；把两个物块和斜面体看成整体,受力分析可知,整体只受到竖直方向的重力与支持力,故地面对斜面体始终没有摩擦力, $ \mathrm{D} $ 错误.

物体 $ A $ 受力如图甲所示,根据平衡条件得 $ {m}_{A}g={F}_{\mathrm{T}} $ ,物体 $ B $ 受力如图乙所示,由于物体 $ B $ 受到斜向上的绳的拉力作用,使该物体具有向右运动的趋势,物体 $ B $ 必然受到向左的摩擦力作用,根据平衡条件知 $ {F}_{\mathrm{f}}=F{\prime }_{\mathrm{T}} \cos \theta $ ,又 $ F{\prime }_{\mathrm{T}}={F}_{\mathrm{T}}={m}_{A}g $ ,可得 $ {F}_{\mathrm{f}}={m}_{A}g \cos \theta $ ,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 错误；根据平衡条件得,物体 $ B $ 受到的支持力大小为 $ {F}_{\mathrm{N}}={m}_{B}g-{m}_{A}g \sin \theta $ ,根据牛顿第三定律可知,物体 $ B $ 对地面的压力大小为 $ F{\prime }_{\mathrm{N}}={F}_{\mathrm{N}}={m}_{B}g-{m}_{A}g \sin \theta $ ,由于物体 $ B $ 必然受到向左的摩擦力作用,则物体 $ B $ 对地面的压力不可能为0,故 $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 木块在水平木板上匀速滑动,根据平衡条件,有 $ {F}_{1}-f=0 $ , $ {F}_{\mathrm{N}}-mg=0 $ ,其中 $ f=\mu {F}_{\mathrm{N}} $ ,联立解得 $ \mu =\dfrac{{F}_{1}}{mg}=\dfrac{10\mathrm{N}}{2×10\mathrm{N}}=0.5 $ .

（2） 当 $ {F}_{2} $ 最大时,木块在倾斜木板上受到沿木板向下的最大静摩擦力,沿水平和竖直方向建立坐标系,根据平衡条件有 $ {F}_{2}-\mu {F}_{\mathrm{N}} \cos {37}^{\circ }-{F}_{\mathrm{N}} \sin {37}^{\circ }=0 $ , $ {F}_{\mathrm{N}} \cos {37}^{\circ }-\mu {F}_{\mathrm{N}} \sin {37}^{\circ }-mg=0 $ ,联立解得 $ {F}_{2}=40\mathrm{N} $ .

由 $ B $ 处于平衡状态可以得出, $ B $ 球不受 $ AB $ 绳的作用力,即 $ AB $ 绳无拉力,故 $ B $ 受重力、 $ OB $ 绳的拉力,有 $ {T}_{OB}=mg $ , $ {T}_{AB}=0 $ .隔离 $ A $ 分析, $ A $ 受三个力作用处于平衡状态,这三个力能组成如图所示的矢量三角形,由几何关系可知 $ \theta ={53}^{\circ } $ , $ F={m}_{A}g \tan \theta =\dfrac{8mg}{3} $ , $ {T}_{OA}=\dfrac{{m}_{A}g}{ \cos \theta }=\dfrac{10mg}{3} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

以小球为研究对象,受力分析如图所示,根据动态矢量三角形可知,框架对小球的支持力一直减小, $ \mathrm{A} $ 错误；水平拉力 $ F $ 一直减小, $ \mathrm{B} $ 错误；以框架与小球组成的整体为研究对象,整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力 $ F $ 的作用,因水平拉力 $ F $ 一直减小,所以地面对框架的摩擦力一直减小,地面对框架的支持力保持不变, $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

对悬点 $ O $ 分析,设圆形晾衣网的半径为 $ R $ ,如图甲所示,可知绳中两个张力的夹角等于 $ {60}^{\circ } $ ,设单侧绳上拉力大小为 $ T $ ,根据力的合成可得 $ {T}_{合}=2T \cos {30}^{\circ } $ ,对圆形晾衣网受力分析,如图乙所示,根据平衡条件,由几何知识可得 $ \sin \alpha =\dfrac{N}{{T}_{合}}=\dfrac{R}{\sqrt{3}R} $ , $ \cos \alpha =\dfrac{mg}{{T}_{合}}=\dfrac{\sqrt{{\left(\sqrt{3}R\right) ^ {2}}-{R}^{2}}}{\sqrt{3}R} $ ,联立解得 $ N=T=\dfrac{\sqrt{2}}{2}mg $ , $ \mathrm{C} $ 正确.

把筷子和花盆（含花和泥土等）作为一个整体受力分析,受重力和四根绳的拉力,设每根绳子拉力大小为 $ F $ ,拉力方向与竖直方向成 $ \theta $ 角,由几何关系可得 $ \cos \theta =\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}L}{L}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ ,由整体受力平衡可知,竖直方向有 $ 4F \cos \theta =(m+M)g $ ,联立解得 $ F=\dfrac{\sqrt{3}}{6}(M+m)g $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确, $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误.

题图甲中细绳跨过滑轮,与滑轮接触的点是“动点”,绳上拉力大小处处相等, $ AC $ 和 $ CD $ 两段绳的拉力大小都是 $ {m}_{1}g $ ,夹角为 $ {120}^{\circ } $ ,因此合力的大小是 $ {m}_{1}g $ ,故 $ BC $ 对滑轮的作用力大小也是 $ {m}_{1}g $ ,方向与竖直方向成 $ {60}^{\circ } $ 角斜向右上方, $ \mathrm{A} $ 错误.题图乙中绳与杆的端点连在一起,杆与绳接触的点是“静点”, $ EG $ 和 $ GF $ 两段绳上的拉力大小不相等,而杆的一端用铰链固定在墙上,故杆对 $ G $ 点的弹力方向沿杆向右,对 $ G $ 点受力分析如图所示,又 $ {F}_{GF}={m}_{2}g $ ,由力的平衡条件有 $ {F}_{HG}=\dfrac{{F}_{GF}}{ \tan {30}^{\circ }}=\sqrt{3}{m}_{2}g $ , $ {F}_{EG}=\dfrac{{F}_{GF}}{ \sin {30}^{\circ }}=2{m}_{2}g $ ,可得 $ HG $ 杆受到绳的作用力大小为 $ F{\prime }_{HG}={F}_{HG}=\sqrt{3}{m}_{2}g $ , $ \mathrm{B} $ 错误.由以上分析可知, $ {F}_{AC}={m}_{1}g $ , $ {F}_{EG}=2{m}_{2}g $ ,故 $ \dfrac{{F}_{AC}}{{F}_{EG}}=\dfrac{{m}_{1}}{2{m}_{2}} $ , $ \mathrm{D} $ 正确, $ \mathrm{C} $ 错误.

如图所示,对铁牛受力分析,铁牛受到自身重力 $ G $ 、桥索对铁牛的拉力 $ {F}_{1} $ 和铁柱对铁牛的作用力 $ {F}_{2} $ ,三者为共点力且平衡.根据共点力平衡条件和三角形定则可得,若 $ {F}_{1} $ 增大, $ {F}_{2} $ 也增大, $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误； $ {F}_{1} $ 与 $ {F}_{2} $ 的合力与重力平衡,故合力方向竖直向上, $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.

两绳对灯管的拉力不在同一直线上,显然不是一对平衡力,故 $ \mathrm{A} $ 错误；灯管受三个力作用处于平衡状态,根据平衡条件可知,两绳子拉力的合力与重力等大反向,故 $ \mathrm{B} $ 正确；对灯管受力分析,由平衡条件,水平方向有 $ {F}_{A} \cos {60}^{\circ }={F}_{B} \cos {30}^{\circ } $ ,竖直方向有 $ {F}_{A} \sin {60}^{\circ }+{F}_{B} \sin {30}^{\circ }=mg $ ,解得 $ {F}_{A}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg $ , $ {F}_{B}=\dfrac{1}{2}mg $ ,故 $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误.

对物体受力分析,物体受重力、支持力、水平力 $ F $ 及可能存在的摩擦力而处于平衡状态,将重力和水平力 $ F $ 正交分解如图所示,在 $ y $ 轴方向上有 $ {F}_{\mathrm{N}}=G \cos \alpha +F \sin \alpha $ ,增大水平力 $ F $ ,则支持力一定增大.若水平力沿斜面向上的分力大于重力沿斜面向下的分力,则摩擦力向下,沿斜面方向上有 $ F \cos \alpha =mg \sin \alpha +f $ ,水平力增大,则摩擦力增大；若水平力沿斜面向上的分力小于重力沿斜面向下的分力,则摩擦力向上,沿斜面方向有 $ F \cos \alpha +f=mg \sin \alpha $ ,水平力增大,则摩擦力减小；若水平力沿斜面向上的分力等于重力沿斜面向下的分力,则摩擦力为零,水平力增大,摩擦力沿斜面向下增大.物体处于静止状态,合力为零, $ {F}_{\mathrm{f}} $ 和 $ {F}_{\mathrm{N}} $ 的合力与重力和 $ F $ 的合力等大反向,水平力 $ F $ 增大,则重力和 $ F $ 的合力增大, $ {F}_{\mathrm{f}} $ 和 $ {F}_{\mathrm{N}} $ 的合力增大,故 $ \mathrm{C} $ 正确.

对 $ P $ 进行受力分析,如图甲所示,受绳子的拉力和两轻杆的弹力而处于平衡状态,将绳子的拉力沿杆的方向进行分解,由平衡条件得 $ {F}_{1}=\dfrac{\dfrac{{m}_{2}g}{2}}{ \cos {37}^{\circ }}=20\mathrm{N} $ ,所以杆对 $ P $ 的作用力大小为 $ 20\mathrm{N} $ .对 $ A $ 进行受力分析,如图乙所示, $ A $ 受重力 $ {m}_{1}g $ 、支持力 $ {F}_{\mathrm{N}} $ 、杆的压力 $ F{\prime }_{1} $ 和摩擦力 $ f $ 作用,且 $ F{\prime }_{1}={F}_{1} $ ,由平衡条件可得 $ {F}_{\mathrm{N}}=F{\prime }_{1}+{m}_{1}g \cos {37}^{\circ }=36\mathrm{N} $ , $ f={m}_{1}g \sin {37}^{\circ }=12\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确.

由物块 $ B $ 受力平衡可知,绳子拉力大小等于 $ B $ 的重力大小 $ mg $ ,对物块 $ A $ 进行受力分析,如图所示, $ F=T \cos \theta =\dfrac{1}{2}mg $ ,弹簧的弹力方向向左,弹簧处于伸长的状态,故 $ \mathrm{A} $ 正确；将绳子剪断瞬间,弹簧的弹力不变,故 $ \mathrm{B} $ 错误；将绳子剪断后 $ A $ 与地面之间的弹力突变为 $ mg $ ,若 $ \mu =0.4 $ ,最大静摩擦力为 $ 0.4mg $ ,小于弹簧的弹力,物块 $ A $ 将向左运动, $ A $ 与地面间的摩擦力突变为滑动摩擦力,此时 $ f=0.4mg $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；若 $ \mu =0.6 $ ,最大静摩擦力为 $ 0.6mg $ ,大于弹簧的弹力,物块 $ A $ 保持静止,弹簧的弹力不变, $ A $ 与地面间的摩擦力仍为静摩擦力且大小等于弹簧的弹力,即 $ f\prime =F=\dfrac{1}{2}mg $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

画出篮球的受力分析如图所示,两根杆相距 $ L=\sqrt{3}R $ ,根据几何知识知 $ \mathrm{\angle }aOb={120}^{\circ } $ ,则 $ {F}_{a} $ 与水平方向的夹角为 $ {45}^{\circ } $ , $ {F}_{b} $ 与水平方向的夹角为 $ {15}^{\circ } $ ,由平衡条件知 $ {F}_{a} \cos {45}^{\circ }={F}_{b} \cos {15}^{\circ } $ , $ {F}_{a} \sin {45}^{\circ }+{F}_{b} \sin {15}^{\circ }=G $ ,解得 $ b $ 杆对篮球的支持力大小为 $ {F}_{b}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}G $ , $ \mathrm{C} $ 正确.

（1）对结点 $ O $ 受力分析如图甲所示,

甲

根据平衡条件,有 $ T \cos \theta ={m}_{2}g $ , $ T \sin \theta =F $ ,且 $ F=kx $ ,解得 $ T=25\mathrm{N} $ , $ F=20\mathrm{N} $ , $ k=500\mathrm{N}/\mathrm{m} $ .

（2）物块 $ A $ 所受静摩擦力方向水平向右,对物块 $ A $ 受力分析如图乙所示,

乙

根据平衡条件有 $ F\prime -{f}_{A}=0 $ ,又 $ {f}_{A}⩽ {f}_{ \max }=\mu {m}_{1}g $ , $ F\prime =F $ ,解得 $ \mu ⩾ 0.4 $ ,即物块 $ A $ 与桌面间的动摩擦因数至少为0.4.

（3） 对人,竖直方向,根据平衡条件可得 $ T\prime \cos \theta +N={m}_{3}g $ ,又 $ T\prime =T $ ,可得地面对人的支持力大小为 $ N=485\mathrm{N} $ ,方向竖直向上.

以蜘蛛网和蜘蛛为研究对象,如图所示,在竖直方向上,根据平衡条件有 $ {T}_{a} \cos \theta +{T}_{b} \cos \theta =mg $ ,由几何关系可知 $ \theta ={60}^{\circ } $ ,水平方向有 $ {T}_{a} \sin \theta ={T}_{b} \sin \theta $ ,解得 $ {T}_{a}={T}_{b}=mg $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 根据题意知 $ A $ 、 $ B $ 、 $ C $ 的半径之比为 $ 3:2:1 $ ,由几何关系可知 $ {O}_{1} $ 和 $ {O}_{3} $ 连线与水平方向的夹角为 $ {37}^{\circ } $ , $ {O}_{2} $ 和 $ {O}_{3} $ 连线与水平方向的夹角为 $ {53}^{\circ } $ ,对圆柱体 $ C $ 受力分析,由正交分解可知 $ {F}_{a}=mg \sin {37}^{\circ } $ , $ {F}_{b}=mg \cos {37}^{\circ } $ ,解得 $ {F}_{a}=\dfrac{3}{5}mg $ , $ {F}_{b}=\dfrac{4}{5}mg $ .

（2） 根据题意,半圆柱体与圆柱体密度相同,且 $ A $ 、 $ B $ 、 $ C $ 等长,半径之比 $ 3:2:1 $ ,则 $ {m}_{A}=\dfrac{9}{2}{m}_{C}=\dfrac{9}{2}m $ , $ {m}_{B}=2{m}_{C}=2m $ ,若解除对半圆柱体 $ B $ 的固定,对半圆柱体 $ B $ 受力分析,竖直方向满足 $ {F}_{\mathrm{N}B}=F{\prime }_{b} \sin {53}^{\circ }+{m}_{B}g $ ,其中 $ F{\prime }_{b}={F}_{b} $ ,解得 $ {F}_{\mathrm{N}B}=\dfrac{66}{25}mg $ ,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则 $ B $ 与地面之间的最大静摩擦力为 $ {F}_{\mathrm{f}B \max }=\mu {F}_{\mathrm{N}B} $ ,解得 $ {F}_{\mathrm{f}B \max }=0.396mg $ ,假设 $ B $ 保持静止,则水平方向满足 $ {F}_{Bx}=F{\prime }_{b} \cos {53}^{\circ } $ ,解得 $ {F}_{Bx}=0.48mg > {F}_{\mathrm{f}B \max }=0.396mg $ ,则假设不成立, $ B $ 与地面发生相对滑动,摩擦力为滑动摩擦力,大小为 $ {f}_{B}={F}_{\mathrm{f}B \max }=0.396mg $ .