第4节 力学单位制
一、刷基础
1．2024年12月12日15时17分，长征二号丁运载火箭、远征三号上面级组成的运载系统，在酒泉卫星发射中心成功将高速激光钻石星座试验系统的5颗卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功.长征二号丁运载火箭是常温液体二级运载火箭，在 $ 7×{10}^{5}\mathrm{m} $ 高度的太阳同步轨道运载能力为 $ 1.3×{10}^{3}\mathrm{k}\mathrm{g} $ .下列说法正确的是（ ）
A．“15时17分”是时刻
B．“ $ \mathrm{k}\mathrm{g} $ ”和“ $ \mathrm{m} $ ”对应的物理量一定都是标量
C．“ $ \mathrm{k}\mathrm{g} $ ”是导出单位
D．卫星发射升空过程中，卫星相对于运载火箭是运动的
答案：A
解析：“15时17分”指的是时刻, $ \mathrm{A} $ 正确；“ $ \mathrm{k}\mathrm{g} $ ”对应的物理量是质量,一定是标量,“ $ \mathrm{m} $ ”对应的物理量可能是标量,如路程,也可能是矢量,如位移, $ \mathrm{B} $ 错误；“ $ \mathrm{k}\mathrm{g} $ ”是国际单位制中的基本单位, $ \mathrm{C} $ 错误；卫星发射升空过程中,卫星相对于运载火箭是静止的, $ \mathrm{D} $ 错误.
2．导出单位是由基本单位组合而成的，下列说法中正确的是（ ）（多选）
A．加速度的单位是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ，是由 $ \mathrm{m} $ 、 $ \mathrm{s} $ 两个基本单位组合而成的
B．加速度的单位是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ，由公式 $ a=\dfrac{{v}_{t}-{v}_{0}}{t} $ 可知它是由 $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ 和 $ \mathrm{s} $ 两个基本单位组合而成的
C．加速度的单位是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ，由公式 $ a=\dfrac{F}{m} $ 可知它是由 $ \mathrm{N} $ 、 $ \mathrm{k}\mathrm{g} $ 两个基本单位组合而成的
D．使质量为 $ 1\mathrm{k}\mathrm{g} $ 的物体产生 $ 1\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ 的加速度的力的大小为 $ 1\mathrm{N} $
答案：AD
解析： $ v $ 的单位是 $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ t $ 的单位是 $ \mathrm{s} $ ,根据加速度的定义式 $ a=\dfrac{{v}_{t}-{v}_{0}}{t} $ 可知,加速度的单位是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,是由 $ \mathrm{m} $ 、 $ \mathrm{s} $ 两个基本单位组合而成的, $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ 是导出单位,故 $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误； $ \mathrm{N} $ 是导出单位,不是基本单位,故 $ \mathrm{C} $ 错误；根据 $ F=ma $ 可知,使质量为 $ 1\mathrm{k}\mathrm{g} $ 的物体产生 $ 1\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ 的加速度的力的大小为 $ 1\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.
3．雨滴在空中下落时会受到空气阻力，阻力 $ f $ 的大小与雨滴的半径 $ r $ 成正比，与雨滴下落速率 $ v $ 的二次方成正比，即 $ f=kr{v}^{2} $ ，则比例系数 $ k $ 的单位是（ ）
A． $ \mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{4} $
B． $ \mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{3} $
C． $ \mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{2} $
D． $ \mathrm{k}\mathrm{g}/\mathrm{m} $
答案：C
解析：阻力 $ f $ 的单位为 $ \mathrm{N} $ ,雨滴半径 $ r $ 的单位为 $ \mathrm{m} $ ,速度的单位为 $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,而比例系数满足 $ k=\dfrac{f}{r{v}^{2}} $ ,故有 $ 1\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}(\mathrm{m}/\mathrm{s})^{2}}=1\dfrac{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}}{\mathrm{m}(\mathrm{m}/\mathrm{s})^{2}}=1\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{2} $ ,即 $ k $ 的单位是 $ \mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{2} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确.
4．如图所示，汽车向前行驶时，会受到来自空气的阻力，阻力大小 $ {F}_{d}=\dfrac{1}{2}\rho {v}^{2}S{C}_{d} $ ，其中 $ \rho $ 是空气的密度， $ v $ 是汽车的行驶速度， $ S $ 是迎风面积， $ {C}_{d} $ 是风阻系数， $ {C}_{d} $ 越小，汽车越节能.关于风阻系数 $ {C}_{d} $ ，下列说法正确的是（ ）
A． $ {C}_{d} $ 的单位是 $ \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $
B． $ {C}_{d} $ 的单位是 $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $
C． $ {C}_{d} $ 的单位是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $
D． $ {C}_{d} $ 没有单位
答案：D
解析：根据阻力公式 $ {F}_{d}=\dfrac{1}{2}\rho {v}^{2}S{C}_{d} $ 可知 $ {C}_{d}=\dfrac{2{F}_{d}}{\rho {v}^{2}S}=\dfrac{2\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}}{1\dfrac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^{3}}\cdot {\left(\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right) ^ {2}}\cdot {\mathrm{m}}^{2}}=2 $ ,所以 $ {C}_{d} $ 没有单位,故 $ \mathrm{D} $ 正确.
5．在航空航天、汽车工程、能源动力等诸多领域中，流体动力学模型扮演着至关重要的角色.研究表明，球形物体在液体中运动时除了受到浮力，还会受到阻力，其关系式为 $ f=k\eta rv $ ，式中 $ \eta $ 称为黏性系数， $ r $ 和 $ v $ 分别是球的半径和速度， $ k $ 是一个无单位的常数.根据国际单位制推断黏性系数 $ \eta $ 的单位是（ ）
A． $ \mathrm{k}\mathrm{g} $ / $ (\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{2}) $
B． $ \mathrm{k}\mathrm{g} $ / $ (\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}) $
C． $ \mathrm{k}\mathrm{g}/\mathrm{s} $
D． $ \mathrm{k}\mathrm{g}/({\mathrm{m}}^{2}\cdot \mathrm{s}) $
答案：B
解析：根据 $ f=k\eta rv $ ,可得 $ \eta =\dfrac{f}{krv} $ ,根据国际单位制推断黏性系数 $ \eta $ 的单位是 $ \dfrac{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{k}\mathrm{g}/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}) $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .
6．如图，光滑水平面上有一质量为 $ M $ 、倾角为 $ \theta $ 的光滑斜面体，它的斜面上有另一质量为 $ m $ 的物块沿斜面下滑.已知重力加速度为 $ g $ .关于下滑过程中物块对斜面的压力 $ N $ 、斜面的加速度 $ {a}_{M} $ 及物块加速度 $ {a}_{m} $ ,某同学导出了四个不同的关系式，请你根据单位分析，确定其中必定错误的是（ ）
A． $ {F}_{\mathrm{N}}=\dfrac{Mmg \cos \theta }{{M}^{2}+{m}^{2}{ \sin }^{2}\theta } $
B． $ {F}_{\mathrm{N}}=\dfrac{Mmg \cos \theta }{M-m{ \sin }^{2}\theta } $
C． $ {a}_{M}=\dfrac{mg \sin \theta \cdot \cos \theta }{M-m{ \sin }^{2}\theta } $
D． $ {a}_{m}=\dfrac{Mg \sin \theta \cdot \cos \theta }{M-m{ \sin }^{2}\theta } $
答案：A
解析： $ \mathrm{A} $ 项表达式左边是力的单位 $ \mathrm{N} $ ,等式右边的 $ \cos \theta $ 、 $ \sin \theta $ 没有单位, $ M $ 、 $ m $ 的单位是 $ \mathrm{k}\mathrm{g} $ , $ g $ 的单位是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,代入后等式右边单位是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,单位不同,故 $ \mathrm{A} $ 一定错误； $ \mathrm{B} $ 项表达式左边是力的单位 $ \mathrm{N} $ ,代入后等式右边单位是 $ \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,即 $ \mathrm{N} $ ,单位相同,故 $ \mathrm{B} $ 可能正确； $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 项表达式左边的单位都是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,代入后等式右边单位也是 $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,单位相同,故 $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 可能正确.故选 $ \mathrm{A} $ .