新题型专练2 开放题专练

一、刷素养

1．【科学推理】某同学想粗测某书与桌面间的动摩擦因数 $ \mu $ 和弹性笔的劲度系数 $ k $ .首先用弹簧测力计竖直挂起书本，静止时如图1所示，接着用弹簧测力计缓慢水平匀速拉动书本，弹簧测力计如图2所示，最后如图3用弹性笔匀速推动书本，记录弹簧盖压缩位置，刻度尺测量得到弹簧盖压缩了 $ x=2\mathrm{m}\mathrm{m} $ .

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（1） 求 $ \mu $ 和 $ k $ 的大小；

（2） 如图4，已知纸张之间的动摩擦因数为 $ {\mu }_{0}=0.4 $ ，在书本的中间放入一张相同材料的薄纸张（质量不计），设最大静摩擦力等于滑动摩擦力.用水平拉力向右拉纸张，书本保持不动.则：

① 纸张受到几个力？

② 水平拉力 $ F $ 至少多大才能拉出纸张？

答案：

（1） $ \dfrac{11}{27} $ ； $ 550\mathrm{N}/\mathrm{m} $

（2） ① 受5个力

② $ 1.08\mathrm{N} $

解析：

（1） 由题图1和受力平衡可知,书本的重力为 $ mg=2.70\mathrm{N} $ ,由题图2可知,水平匀速拉书本时弹力为 $ {F}_{1}=1.10\mathrm{N} $ ,由受力平衡,有 $ f={F}_{1} $ ,解得 $ \mu =\dfrac{f}{mg}=\dfrac{11}{27} $ ,弹性笔匀速推动书本时,有 $ kx=f $ ,代入数据得 $ k=550\mathrm{N}/\mathrm{m} $ .

（2） ① 纸张受5个力,分别为拉力、压力、支持力、书本上部分对其的摩擦力和书本下部分对其的摩擦力；

② 拉力最小值为一开始纸张受到的最大静摩擦力.夹在书本中间的纸张受到单个接触面的摩擦力大小为 $ {f}_{0} $ ,有 $ {f}_{0}={\mu }_{0}\frac{mg}{2} $ ,根据受力平衡,对纸张,有 $ 2{f}_{0}=F $ ,代入数据得 $ F=1.08\mathrm{N} $ .

2．【模型建构】图（a）为机场行李传送装置简化图，该装置由传送带 $ ABCD $ 及固定挡板 $ CDEF $ 组成，固定挡板与传送带上表面垂直，传送带上表面 $ ABCD $ 与水平台面的夹角 $ \theta ={37}^{\circ } $ .传送带匀速转动时，工作人员将正方体行李箱从 $ D $ 点由静止释放，在运动 $ L=10\mathrm{m} $ 后取下行李箱，行李箱运动时的剖面图如图（b）所示，已知传送带匀速运行的速度 $ v=2\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，行李箱质量 $ m=10\mathrm{k}\mathrm{g} $ ，其底部与传送带上表面 $ ABCD $ 的动摩擦因数为 $ {\mu }_{1}=0.8125 $ ，其侧面与挡板 $ CDEF $ 的动摩擦因数为 $ {\mu }_{2}=0.25 $ .（重力加速度 $ g=10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ , $ \sin {37}^{\circ }=0.6 $ , $ \cos {37}^{\circ }=0.8 $ ，不计空气阻力）.

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（1） 求加速过程传送带上表面对行李箱的摩擦力大小 $ {f}_{1} $ 和挡板对行李箱的摩擦力大小 $ {f}_{2} $ ；

（2） 行李箱在传送带上运动的时间 $ t $ ；

（3） 若行李箱放到传送带上 $ 2\mathrm{s} $ 后，传送带由于故障以 $ 10\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ 的加速度做匀减速运动，直到行李箱停止后工作人员立即重启系统，然后传送带从静止以 $ 8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ 的加速度加速至恢复正常，若已知行李箱相对传送带累计滑动超过 $ 55\mathrm{c}\mathrm{m} $ 就会在该表面形成明显破损，请通过计算判断全程行李箱与传送带接触的表面会不会产生明显破损.

答案：

（1） $ 65\mathrm{N} $ ； $ 15\mathrm{N} $

（2） $ 5.2\mathrm{s} $

（3） 表面会产生明显破损,见解析

解析：

（1） 传送带上表面对行李箱的摩擦力大小 $ {f}_{1}={\mu }_{1}mg \cos \theta =65\mathrm{N} $ ,挡板对行李箱的摩擦力大小 $ {f}_{2}={\mu }_{2}mg \sin \theta =15\mathrm{N} $ .

（2） 行李箱在传送带上加速过程,由牛顿第二定律有 $ {f}_{1}-{f}_{2}=m{a}_{1} $ ,解得 $ {a}_{1}=5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,加速运动时间 $ {t}_{1}=\dfrac{v}{{a}_{1}}=0.4\mathrm{s} $ ,加速位移大小 $ {x}_{1}=\dfrac{v}{2}{t}_{1}=0.4\mathrm{m} $ ,匀速运动时间 $ {t}_{2}=\dfrac{L-{x}_{1}}{v}=4.8\mathrm{s} $ ,总时间 $ t={t}_{1}+{t}_{2}=5.2\mathrm{s} $ .

（3） 假设行李箱和传送带相对静止一起匀减速,需要的合外力 $ F=m{a}_{2}=100\mathrm{N} $ ,由于 $ {f}_{1}+{f}_{2}=80\mathrm{N} < F $ ,可知行李箱和传送带相对滑动.对行李箱有 $ {f}_{1}+{f}_{2}=m{a}_{3} $ ,解得 $ {a}_{3}=8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,行李箱停下前运动的位移大小 $ {x}_{2}=\dfrac{{v}^{2}}{2{a}_{3}}=0.25\mathrm{m} $ ,传送带停下前运动的位移大小 $ {x}_{3}=\dfrac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=0.2\mathrm{m} $ ,行李箱相对于传送带向前滑动的距离 $ \mathrm{\Delta }{x}_{1}={x}_{2}-{x}_{3}=0.05\mathrm{m} $ ,由于再次启动时 $ {a}_{4} > {a}_{1} $ ,故传送带和行李箱发生相对滑动,行李箱加速时间 $ {t}_{3}={t}_{1}=0.4\mathrm{s} $ ,传送带加速时间 $ {t}_{4}=\dfrac{v}{{a}_{4}}=0.25\mathrm{s} $ ,行李箱加速运动的位移大小 $ {x}_{4}={x}_{1}=0.4\mathrm{m} $ ,传送带在 $ {t}_{3} $ 时间内运动的位移大小 $ {x}_{5}=\dfrac{v}{2}{t}_{4}+v({t}_{3}-{t}_{4})=0.55\mathrm{m} $ ,行李箱相对于传送带向后滑动的距离 $ \mathrm{\Delta }{x}_{2}={x}_{5}-{x}_{4}=0.15\mathrm{m} $ ,在发生故障前行李箱相对于传送带向后滑动的距离 $ \mathrm{\Delta }{x}_{3}=v{t}_{1}-{x}_{1}=0.4\mathrm{m} $ ,行李箱相对传送带累计滑动距离 $ \mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }{x}_{1}+\mathrm{\Delta }{x}_{2}+\mathrm{\Delta }{x}_{3}=0.6\mathrm{m} $ ,由于 $ \mathrm{\Delta }x > 55\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,故行李箱表面会产生明显破损.