专题1 利用动量定理解决流体模型问题

选取 $ \mathrm{\Delta }t $ 时间内打到钢板表面质量为 $ \mathrm{\Delta }m $ 的水为研究对象,以从喷嘴高速喷出时的速度方向为正方向,由动量定理得 $ -F\cdot \mathrm{\Delta }t=0-\mathrm{\Delta }mv $ ,其中质量为 $ \mathrm{\Delta }m=\rho Sv\cdot \mathrm{\Delta }t $ ,解得 $ F=\rho S{v}^{2} $ ,根据牛顿第三定律可知,“水刀”对钢板产生的平均冲击力大小 $ F^\prime =F=\rho S{v}^{2} $ , $ \mathrm{A} $ 正确.

设在时间 $ \mathrm{\Delta }t $ 内桨叶旋转推动的空气质量为 $ \mathrm{\Delta }m $ ,则有 $ \mathrm{\Delta }m=\rho \mathrm{\Delta }V=\rho Sv\mathrm{\Delta }t $ ,解得单位时间内桨叶旋转推动空气的质量为 $ \dfrac{\mathrm{\Delta }m}{\mathrm{\Delta }t}=\rho Sv $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误;无风悬停时发动机的输出功率 $ P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\mathrm{\Delta }m{v}^{2}}{\mathrm{\Delta }t}=\dfrac{\mathrm{\Delta }m{v}^{2}}{2\mathrm{\Delta }t} $ ,解得单位时间内桨叶旋转推动空气的质量为 $ \dfrac{\mathrm{\Delta }m}{\mathrm{\Delta }t}=\dfrac{2P}{{v}^{2}} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误;由动量定理得 $ F\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }mv $ ,把 $ \dfrac{\mathrm{\Delta }m}{\mathrm{\Delta }t}=\dfrac{2P}{{v}^{2}} $ 代入可得 $ F=\dfrac{2P}{v} $ ,根据牛顿第三定律及平衡条件可得 $ F=Mg+{m}_{伤员}g $ ,联立解得 $ {m}_{伤员}=\dfrac{2P}{vg}-M $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.

（1） 单位时间 $ t $ 内经过叶片的空气质量为 $ {m}_{0}=\rho \mathrm{\pi }{l}^{2}vt $ ,空气遇到叶片旋转形成的圆面后一半减速为零,一半原速率穿过,则损失的动能为 $ {E}_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{{m}_{0}}{2}{v}^{2}=\dfrac{1}{4}\rho \mathrm{\pi }{l}^{2}{v}^{3}t $ ,

由能量守恒定律可得,单位时间 $ t $ 内,一台风力发电机获得的风能为 $ E={E}_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{4}\rho \mathrm{\pi }{l}^{2}{v}^{3}t $ ,

一台风力发电机获得风能的功率为 $ P=\dfrac{E}{t}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\rho \mathrm{\pi }{l}^{2}{v}^{3}t}{t}=\dfrac{1}{4}\rho \mathrm{\pi }{l}^{2}{v}^{3} $ .

（2） 根据题意,取质量为 $ \dfrac{{m}_{0}}{2} $ 的空气作为研究对象,设风力发电机叶片对空气的平均作用力大小为 $ F $ ,由动量定理有 $ -Ft=0-\dfrac{{m}_{0}}{2}v $ ,代入数据可得 $ F=\dfrac{\dfrac{{m}_{0}}{2}v}{t}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\rho \mathrm{\pi }{l}^{2}{v}^{2}t}{t}=\dfrac{1}{2}\rho \mathrm{\pi }{l}^{2}{v}^{2} $ ,

由牛顿第三定律可知，空气对风力发电机一个叶片的平均作用力大小为 $ F^\prime =\dfrac{1}{3}F=\dfrac{1}{6}\rho \mathrm{\pi }{l}^{2}{v}^{2} $ .

每个小钢珠到达空盒底部经过的时间为 $ t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=0.5\mathrm{s} $ ,每个小钢珠到达盒底时的速度大小为 $ v=\sqrt{2gh}=5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ 0.5\mathrm{s} $ 时刻第一个钢珠撞击盒底, $ 5.5\mathrm{s} $ 时第500个钢珠刚好撞击盒底，则此时有499个钢珠在盒子中,此时盒内钢珠总重力为 $ G=499mg=499×0.02×10\mathrm{N}=99.8\mathrm{N} $ ,第500个钢珠撞击盒底时,设钢珠受到的平均冲力为 $ F $ ,每秒从槽口离开100个小钢珠，则每秒有100个小钢珠落到空盒底部，则每个小钢珠撞击盒底的时间 $ \mathrm{\Delta }t=\dfrac{1}{100}\mathrm{s} $ ，取向上为正方向，根据动量定理可得 $ (F-mg)\mathrm{\Delta }t=mv $ ,代入数据解得 $ F=10.2\mathrm{N} $ ,由牛顿第三定律可知，小钢珠对空盒的作用力大小为 $ F^\prime =F=10.2\mathrm{N} $ .故 $ 5.5\mathrm{s} $ 时测力传感器的示数为 $ G+F^\prime =110\mathrm{N} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确.

极短的时间 $ \mathrm{\Delta }t $ 内落到已静止的米堆上的米的质量为 $ \mathrm{\Delta }m=d\mathrm{\Delta }t $ ,设静止的米堆对质量为 $ \mathrm{\Delta }m $ 的米的作用力大小为 $ F $ ,取竖直向上为正方向,根据动量定理有 $ (F-\mathrm{\Delta }mg)\cdot \mathrm{\Delta }t=0-(-\mathrm{\Delta }mv) $ ,解得 $ F=d(v+g\mathrm{\Delta }t) $ ,因为 $ v\gg g\mathrm{\Delta }t $ ,所以 $ F\approx dv $ ,根据牛顿第三定律可知,此时静止米堆受到的冲击力大小约为 $ dv $ , $ \mathrm{A} $ 正确；此时称米机的读数为 $ m=\dfrac{{m}_{1}g+F}{g}={m}_{1}+\dfrac{dv}{g} $ , $ \mathrm{B} $ 错误；切断米流后,空中的米全部落到静止的米堆上所用时间为 $ t=\dfrac{v}{g} $ ,解得 $ {m}_{2}=dt=\dfrac{dv}{g} $ ,结合 $ \mathrm{B} $ 项分析可知 $ m={m}_{1}+{m}_{2} $ ,即称米机的读数为静止米堆和空中正下落的米的质量之和,所以不存在买家或卖家不划算的问题, $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误.

太阳单位时间内向外辐射的光子数为 $ N $ ，太阳到太阳帆的距离为 $ R $ ，太阳帆的面积为 $ S $ ，则单位时间内照射到太阳帆上的光子数为 $ n=\dfrac{NS}{4\mathrm{\pi }{R}^{2}} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确；太阳光垂直照射到太阳帆，光子完全被反射，设时间 $ t $ 内太阳帆对光子产生的压力大小为 $ F $ ，每个光子的动量大小为 $ p $ ，由动量定理有 $ Ft=2ntp $ ，可得 $ F=\dfrac{NSp}{2\mathrm{\pi }{R}^{2}} $ ，由牛顿第三定律可知该飞船获得的动力大小为 $ F^\prime =F=\dfrac{NSp}{2\mathrm{\pi }{R}^{2}} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误；光照射到太阳帆上，对太阳帆产生的压强为 $ {p}_{压}=\dfrac{F^\prime }{S}=\dfrac{Np}{2\mathrm{\pi }{R}^{2}} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 错误；由牛顿第二定律可得 $ F^\prime -{F}_{万}=ma $ ，其中 $ {F}_{万}=\dfrac{GMm}{{R}^{2}} $ ,解得飞船的加速度大小为 $ a=(\dfrac{NSp}{2\mathrm{\pi }m}-GM)\dfrac{1}{{R}^{2}} $ ，故 $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 卫星收集宇宙尘埃过程,宇宙尘埃的速度会从0加速到 $ {v}_{0} $ ,以卫星速度方向为正方向,则尘埃被卫星收集过程中的动量变化量大小为 $ \mathrm{\Delta }p={m}_{0}{v}_{0}-0={m}_{0}{v}_{0} $ .

（2） 设卫星在尘埃区的飞行时间为 $ {t}_{1} $ ,卫星附着的尘埃数量为 $ N=nS{v}_{0}{t}_{1} $ ,

对尘埃,根据动量定理可得 $ {F}_{1}{t}_{1}=N{m}_{0}{v}_{0} $ ,

解得卫星对尘埃的作用力 $ {F}_{1}=nS{m}_{0}{v}_{0}^{2} $ ,

由牛顿第三定律可知,尘埃对卫星的阻力 $ F{\prime }_{1}={F}_{1} $ ,则为了保持卫星原有的飞行速度,卫星推进器需要增加的推力 $ \mathrm{\Delta }F=F{\prime }_{1}=nS{m}_{0}{v}_{0}^{2} $ .