第4节 实验：验证动量守恒定律
一、刷基础
1．某学习小组采用如图所示的装置验证滑块碰撞过程中的动量守恒.
（1）用天平测得滑块 $ A $ 、 $ B $ （均包括挡光片）的质量分别为 $ {m}_{1} $ 、 $ {m}_{2} $ ；
（2）两挡光片的宽度相同；
（3） 接通充气泵电源后，导轨左侧放一滑块并推动滑块，滑块通过两个光电门时，与光电门1、2相连的计时器测得的挡光时间分别为 $ 0.07\mathrm{s} $ 、 $ 0.06\mathrm{s} $ ，则应将导轨右端 （填“调高”或“调低”），直至气垫导轨水平；
（4）滑块 $ A $ 放在导轨左侧，滑块 $ B $ 放在两个光电门之间，向右轻推滑块 $ A $ 与滑块 $ B $ 碰撞，碰后滑块 $ A $ 返回导轨左侧，与光电门1相连的计时器计时2次，分别为 $ {t}_{1} $ 和 $ {t}_{2} $ ；滑块 $ B $ 运动至导轨右侧，与光电门2相连的计时器计时为 $ {t}_{3} $ ；
（5） 在实验误差允许范围内，若表达式满足等式 $ \dfrac{{m}_{1}}{{t}_{1}}= $ （用测得的物理量表示）成立，说明滑块 $ A $ 、 $ B $ 碰撞过程中动量守恒.
答案：（3） 调高
（5） $ \dfrac{{m}_{2}}{{t}_{3}}-\dfrac{{m}_{1}}{{t}_{2}} $
解析：（3） 同一滑块通过两个光电门,由 $ v=\dfrac{d}{t} $ 知,时间长的速度小,可知滑块做加速运动,导轨右端应调高一点,直至两个计时器显示的时间相等,即说明滑块做匀速直线运动,导轨已调成水平.
（5） 向右轻推滑块 $ A $ 与滑块 $ B $ 碰撞,碰后滑块 $ A $ 返回导轨左侧,与光电门1相连的计时器计时2次,分别为 $ {t}_{1} $ 和 $ {t}_{2} $ ，滑块 $ B $ 运动至导轨右侧,与光电门2相连的计时器计时为 $ {t}_{3} $ ，可知滑块 $ A $ 第一次经光电门1时的速度大小，即碰撞前的速度大小为 $ v=\dfrac{d}{{t}_{1}} $ ,滑块 $ A $ 与滑块 $ B $ 碰撞后 $ A $ 的速度大小为 $ {v}_{1}=\dfrac{d}{{t}_{2}} $ ,滑块 $ B $ 碰后的速度大小为 $ {v}_{2}=\dfrac{d}{{t}_{3}} $ ,在实验误差允许范围内,若表达式 $ {m}_{1}v=-{m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2} $ ,即 $ \dfrac{{m}_{1}}{{t}_{1}}=\dfrac{{m}_{2}}{{t}_{3}}-\dfrac{{m}_{1}}{{t}_{2}} $ 成立,说明滑块 $ A $ 、 $ B $ 在碰撞过程中动量守恒.
2．某同学用如图所示装置探究碰撞过程中的守恒量，其中 $ ABC $ 是斜槽.已知入射小球1的质量为 $ {m}_{1} $ ，被碰小球2的质量为 $ {m}_{2} $ .
（1） 关于实验要点，下列说法正确的是 .
A．两球半径可以不同
B．斜槽必须光滑
C．斜槽末端必须水平
（2）实验中的重要步骤如下：
①利用重垂线，记录小球抛出点在地面上的垂直投影点 $ O $ ；
②不放被碰小球2，让入射小球1从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下，并落在垫有复写纸的白纸上留下点迹，重复本操作多次；
③把被碰小球2放在斜槽前端边缘位置，让入射小球1仍从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下，使入射小球1与被碰小球2碰撞，落在垫有复写纸的白纸上并留下各自的点迹，重复本操作多次；
④用尽可能小的圆，把小球的所有落点圈在里面，其圆心就是小球落点的平均位置，从左至右依次标为 $ M $ 、 $ P $ 、 $ N $ ；
⑤用刻度尺分别测量 $ M $ 、 $ P $ 、 $ N $ 到 $ O $ 点的距离分别为 $ {L}_{1} $ 、 $ {L}_{2} $ 、 $ {L}_{3} $ .
（3） 实验结果：若表达式 成立（用题干中所给的符号 $ {m}_{1} $ 、 $ {m}_{2} $ 、 $ {L}_{1} $ 、 $ {L}_{2} $ 、 $ {L}_{3} $ 表示），说明两球碰撞过程动量守恒.
答案：（1） C
（3） $ {m}_{1}{L}_{2}={m}_{1}{L}_{1}+{m}_{2}{L}_{3} $
解析：（1） 两球需要发生对心碰撞,要求半径相同,故 $ \mathrm{A} $ 错误；
每次进行实验只需要小球1到斜槽末端的速度相同,不需要斜槽光滑,故 $ \mathrm{B} $ 错误;两球离开斜槽后做平抛运动,斜槽末端必须水平,故 $ \mathrm{C} $ 正确.
（3） 设碰撞前小球1的速度为 $ {v}_{1} $ ,碰撞后小球1的速度为 $ {v}_{2} $ ,小球2的速度为 $ {v}_{3} $ ,如果碰撞过程系统动量守恒,以水平向右为正方向,由动量守恒定律得 $ {m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v}_{2}+{m}_{2}{v}_{3} $ ,小球离开斜槽后做平抛运动,它们抛出点的高度相等,在空中的运动时间 $ t $ 相等,上式两边同时乘 $ t $ ,得 $ {m}_{1}{v}_{1}t={m}_{1}{v}_{2}t+{m}_{2}{v}_{3}t $ ,即 $ {m}_{1}{L}_{2}={m}_{1}{L}_{1}+{m}_{2}{L}_{3} $ .
3．如图所示，用“碰撞实验器”可以验证动量守恒定律，实验时第一次让入射小球 $ A $ 从特殊材料制成的光滑轨道上某一位置由静止开始滚下，从轨道末端 $ O $ 点水平抛出，落到与轨道 $ O $ 点连接的倾角为 $ \theta $ 的斜面上，记下小球与斜面第一次碰撞留下的落点痕迹.第二次把被碰小球 $ B $ 静止放在斜槽轨道末端，让入射小球 $ A $ 仍从该位置由静止滚下，与被碰小球 $ B $ 碰撞后都落到斜面上，记下两小球与斜面第一次碰撞留下的落点痕迹.
（1） 下列措施可减小实验误差的是 .
A．斜槽轨道必须是光滑的
B．每次实验均重复几次后再记录平均落点
C． $ A $ 球和 $ B $ 球的半径必须相等
（2） 为完成本实验，必须测量的物理量有 .
A． $ A $ 球开始释放的高度 $ h $
B．斜面的倾角 $ \theta $
C． $ A $ 球和 $ B $ 球的质量之比 $ K $
D． $ O $ 点到 $ M $ 、 $ P $ 、 $ N $ 三点的距离 $ {L}_{OM} $ 、 $ {L}_{OP} $ 、 $ {L}_{ON} $
（3） 如果 $ A $ 球和 $ B $ 球的质量之比 $ K $ 大于1，则满足关系式 ，则可以认为两球碰撞前后总动量守恒［不考虑小球在斜面上的多次碰撞，小球可视作质点，用（2）中测量的物理量表示］.
答案：（1） BC
（2） CD
（3） $ K\sqrt{{L}_{OP}}=K\sqrt{{L}_{OM}}+\sqrt{{L}_{ON}} $
解析：（1） 斜槽轨道没必要光滑，只需要小球每次从同一高度由静止滚下，保证抛出的初速度相等即可，故 $ \mathrm{A} $ 错误；每次实验均重复几次后再记录平均落点,可以减小偶然误差,故 $ \mathrm{B} $ 正确； $ A $ 球和 $ B $ 球的半径必须相等,以保证发生对心碰撞,故 $ \mathrm{C} $ 正确.
（2） 小球离开斜槽后做平抛运动,设落点到 $ O $ 点的距离为 $ L $ ,水平位移 $ L \cos \theta =vt $ ,竖直位移 $ L \sin \theta =\dfrac{1}{2}g{t}^{2} $ ,联立得 $ v= \cos \theta \sqrt{\dfrac{gL}{2 \sin \theta }} $ ,可知 $ v\propto \sqrt{L} $ ,设小球 $ A $ 的质量为 $ {m}_{1} $ ,小球 $ B $ 的
质量为 $ {m}_{2} $ ,若碰撞过程动量守恒,则有 $ {m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}v{\prime }_{1}+{m}_{2}v{\prime }_{2} $ ,即 $ \dfrac{{m}_{1}}{{m}_{2}}\sqrt{{L}_{OP}}=\dfrac{{m}_{1}}{{m}_{2}}\sqrt{{L}_{OM}}+\sqrt{{L}_{ON}} $ ,所以需要测量的物理量有两球质量之比 $ K $ 及 $ O $ 点到 $ M $ 、 $ P $ 、 $ N $ 三点的距离 $ {L}_{OM} $ 、 $ {L}_{OP} $ 、 $ {L}_{ON} $ .故选 $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ .
（3） 根据上述分析,如果 $ A $ 球和 $ B $ 球的质量之比 $ K $ 大于1,则满足关系式 $ K\sqrt{{L}_{OP}}=K\sqrt{{L}_{OM}}+\sqrt{{L}_{ON}} $ ,可认为两球碰撞前后总动量守恒.
4．如图甲所示的实验装置可以用来验证动量守恒定律，长木板固定在水平桌面上，右侧固定一打点计时器，左侧固定一光电门，小车 $ A $ 连接打点计时器的纸带，小车 $ A $ 的左侧放一小车 $ B $ ，小车 $ B $ 上有一遮光片.长木板一端已适当垫高，用来平衡小车运动过程中摩擦力的影响.两车碰撞过程机械能守恒.打点计时器打点频率为 $ 50\mathrm{H}\mathrm{z} $ ，遮光片的宽度为 $ 1.0\mathrm{c}\mathrm{m} $ .
（1） 实验前测出小车 $ A $ 、 $ B $ 的质量分别为 $ {m}_{A}=0.64\mathrm{k}\mathrm{g} $ 、 $ {m}_{B}=0.22\mathrm{k}\mathrm{g} $ ，本实验中，要求 $ {m}_{A} > {m}_{B} $ ，是为了避免 .
（2） 开启打点计时器的电源，向左推一下小车 $ A $ ，小车 $ A $ 前进一段距离后与静止的小车 $ B $ 发生碰撞.碰后小车 $ B $ 经过光电门的时候，遮光片挡光时间 $ \mathrm{\Delta }t=7.0\mathrm{m}\mathrm{s} $ ，与小车 $ A $ 相连的纸带打下的点如图乙所示，碰前小车 $ A $ 的速度 $ {v}_{A0}= $ $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ；碰后小车 $ A $ 的速度 $ {v}_{A1}= $ $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，碰后小车 $ B $ 的速度 $ {v}_{B}= $ $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ .（均保留两位有效数字）
（3） 系统碰前总动量 $ p= $ $ \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ；系统碰后总动量 $ p^\prime = $ $ \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，则可以认为在误差允许范围内动量守恒定律成立.（均保留两位有效数字）
答案：（1） 两车碰撞后小车 $ A $ 反弹
（2） 1.0；0.50；1.4
（3） 0.64；0.63
解析：（1） $ A $ 、 $ B $ 小车发生碰撞过程机械能守恒， $ A $ 车质量大于 $ B $ 车质量可以避免 $ A $ 车碰撞后反弹.
（2） 打点计时器打点频率为 $ 50\mathrm{H}\mathrm{z} $ ,所以打点时间间隔为 $ \dfrac{1}{50}\mathrm{s}=0.02\mathrm{s} $ ,根据纸带实验数据可得碰前小车 $ A $ 的速度 $ {v}_{A0}=\dfrac{2.01+2.00+2.00+1.99}{4×0.02}×{10}^{-2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=1.0\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,碰后小车 $ A $ 的速度 $ {v}_{A1}=\dfrac{0.99+1.00+1.00+1.01}{4×0.02}×{10}^{-2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=0.50\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,碰后小车 $ B $ 的速度 $ {v}_{B}=\dfrac{d}{\mathrm{\Delta }t}=\dfrac{1.0×{10}^{-2}}{7.0×{10}^{-3}}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 1.4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .
（3） 系统碰前总动量 $ p={m}_{A}{v}_{A0}=0.64×1.0\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}=0.64\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,碰后 $ A $ 的动量 $ {p}_{A}={m}_{A}{v}_{A1}=0.64×0.50\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}=0.32\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,碰后 $ B $ 的动量 $ {p}_{B}={m}_{B}{v}_{B}=0.22×1.4\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0.31\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,系统碰后总动量 $ p^\prime =0.32\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}+0.31\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}=0.63\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ .
5．某实验小组验证动量守恒定律的装置如图甲所示，已知当地重力加速度为 $ g $ .
（1） 选择两个半径相等的小球，其中一个小球有经过球心的孔，用游标卡尺测量两小球直径 $ d $ ，如图乙所示，则 $ d= $ $ \mathrm{c}\mathrm{m} $ ；
（2）用天平测出小球的质量，有孔的小球质量记为 $ {m}_{1} $ ，另一个小球质量记为 $ {m}_{2} $ ；
（3）将铁架台放置在水平桌面上，上端固定力传感器，通过数据采集器和计算机相连；将长约1米的细线穿过质量为 $ {m}_{1} $ 的小球的小孔并挂在力传感器上，质量为 $ {m}_{1} $ 的小球碰撞前、后瞬间速度大小分别为 $ {v}_{1} $ 、 $ {v}_{3} $ ；
（4）将质量为 $ {m}_{2} $ 的小球放在可升降平台上，调节平台位置和高度，保证两个小球能发生正碰；在地面上铺上复写纸和白纸，以显示质量为 $ {m}_{2} $ 的小球的落地点；
（5） 测出质量为 $ {m}_{2} $ 的小球做平抛运动的水平位移大小 $ s $ 和竖直位移大小 $ h $ ，则质量为 $ {m}_{2} $ 的小球碰后瞬间速度大小 $ {v}_{2}= $ ；
（6） 数据处理后若满足表达式 （已知本次实验中 $ {m}_{1} > {m}_{2} $ ），则说明质量为 $ {m}_{1} $ 的小球与质量为 $ {m}_{2} $ 的小球碰撞过程中动量守恒.
答案：（1） 1.66
（5） $ s\sqrt{\dfrac{g}{2h}} $
（6） $ {m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v}_{3}+{m}_{2}{v}_{2} $
解析：（1） 由题图乙可知两小球直径 $ d=16\mathrm{m}\mathrm{m}+6×0.1\mathrm{m}\mathrm{m}=16.6\mathrm{m}\mathrm{m}=1.66\mathrm{c}\mathrm{m} $ .
（5） 质量为 $ {m}_{2} $ 的小球做平抛运动,在水平方向有 $ s={v}_{2}t $ ,在竖直方向有 $ h=\dfrac{1}{2}g{t}^{2} $ ,解得 $ {v}_{2}=s\sqrt{\dfrac{g}{2h}} $ .
（6） 由于本实验中 $ {m}_{1} > {m}_{2} $ ,则碰后质量为 $ {m}_{1} $ 的小球不反弹,若碰撞过程中动量守恒,规定向右为正方向,有 $ {m}_{1}{v}_{1}={m}_{1}{v}_{3}+{m}_{2}{v}_{2} $ ,说明质量为 $ {m}_{1} $ 的小球与质量为 $ {m}_{2} $ 的小球碰撞过程中动量守恒.
二、刷提升
1．某同学用如图甲所示的装置来验证动量守恒定律，该装置由水平长木板及固定在木板一端的硬币发射器组成，硬币发射器包括支架、弹片及弹片释放装置，释放弹片可将硬币以某一初速度弹出.已知质量为 $ M $ 的一元硬币和质量为 $ m $ 的五角硬币与长木板间动摩擦因数相同，主要实验步骤如下：
甲
①将一元硬币置于发射槽口，释放弹片将硬币发射出去，硬币沿着长木板中心线运动，在长木板中心线的适当位置取一点 $ O $ ，测出硬币停止滑动时硬币右侧到 $ O $ 点的距离.再从同一位置释放弹片将硬币发射出去，重复多次，取该距离的平均值记为 $ {x}_{1} $ ，如图乙所示.
乙
②将五角硬币放在长木板上，使其左侧位于 $ O $ 点，并使其直径与中心线重合，按步骤①从同一位置释放弹片，重新弹射一元硬币，使两硬币对心正碰，重复多次，分别测出两硬币碰后停止滑行时与 $ O $ 点距离的平均值 $ {x}_{2} $ 和 $ {x}_{3} $ ，如图丙所示.
丙
（1） 为完成该实验， （填“需要”或“不需要”）测定硬币与长木板间的动摩擦因数 $ \mu $ .
（2） 验证动量守恒定律的表达式为 （用测量量对应的字母表示）.
答案：（1） 不需要
（2） $ M\sqrt{{x}_{1}}=M\sqrt{{x}_{2}}+m\sqrt{{x}_{3}} $
解析：（1） 由牛顿第二定律得 $ \mu mg=ma $ ,硬币在木板上均做加速度相同的匀减速运动,根据速度—位移关系可知 $ {v}^{2}=2ax $ ,解得 $ v=\sqrt{2\mu gx} $ ,可知 $ v\propto \sqrt{x} $ ,故不需要测量硬币与长木板间的动摩擦因数 $ \mu $ .
（2） 由动量守恒定律可知 $ M{v}_{1}=Mv{\prime }_{1}+m{v}_{2} $ ,结合上述分析可知 $ {v}_{1}=\sqrt{2\mu g{x}_{1}} $ , $ v{\prime }_{1}=\sqrt{2\mu g{x}_{2}} $ , $ {v}_{2}=\sqrt{2\mu g{x}_{3}} $ ,整理可得 $ M\sqrt{{x}_{1}}=M\sqrt{{x}_{2}}+m\sqrt{{x}_{3}} $ .
2．某实验小组利用手机内置的加速度传感器探究碰撞中的动量是否守恒，主要实验步骤如下：
①将两手机 $ A $ 、 $ B $ 放入防撞包内，然后用等长的轻细绳分别悬挂在同一高度处的 $ O $ 、 $ O^\prime $ 点，静止时 $ A $ 、 $ B $ 刚好接触，如图甲所示；
②将手机 $ A $ 拉高至某一位置，然后由静止释放，手机 $ A $ 摆动到最低点时与手机 $ B $ 发生碰撞，如图乙所示；
③利用电脑软件远程控制手机并记录两手机碰撞过程中水平方向的加速度随时间变化图像，并将图像进一步处理，如图丙所示，根据图像数据进行分析，从而验证手机碰撞过程中是否满足动量守恒.
分析实验，回答以下问题：
（1） 为达到实验目的，本实验不需要测量的物理量有 .
A．手机 $ A $ 拉高的高度
B．手机 $ A $ 的质量
C．手机 $ B $ 的质量
（2） 若测得手机 $ A $ 的质量为 $ 0.23\mathrm{k}\mathrm{g} $ ，手机 $ B $ 的质量为 $ 0.25\mathrm{k}\mathrm{g} $ ，根据图丙所示数据（图丙 $ t $ 轴每小格表示 $ 0.005\mathrm{s} $ ）可知，碰撞过程中手机 $ A $ 的动量变化量大小为 $ \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，手机 $ B $ 的动量变化量大小为 $ \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，由实验结果可知，在误差允许的范围内两手机在碰撞过程中满足动量守恒.（结果保留3位有效数字）
解析：（1） 若要验证动量守恒,则需要碰撞前后两手机的动量变化量大小相等,即 $ {m}_{A}\mathrm{\Delta }{v}_{A}={m}_{B}\mathrm{\Delta }{v}_{B} $ ,根据上述公式,可知需要通过实验得到两手机的质量和速度变化量,速度变化量可通过题图丙得到,故还需要测量两手机的质量,而不需要测量手机 $ A $ 拉高的高度.故选 $ \mathrm{A} $ .
（2） $ a-t $ 图像中图线与横轴围成图形的面积表示手机的速度变化量,通过数格子（大于等于半格算一格,小于半格的舍去）的方法可以得出 $ A $ 、 $ B $ 手机的速度变化量,则有手机 $ A $ 的速度变化量为 $ \mathrm{\Delta }{v}_{A}=23×0.005×10\mathrm{m}/\mathrm{s}=1.15\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,手机 $ B $ 的速度变化量为 $ \mathrm{\Delta }{v}_{B}=21×0.005×10\mathrm{m}/\mathrm{s}=1.05\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故手机 $ A $ 的动量变化量大小为 $ \mathrm{\Delta }{p}_{A}={m}_{A}\mathrm{\Delta }{v}_{A}=0.23×1.15\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0.265\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,手机 $ B $ 的动量变化量大小为 $ \mathrm{\Delta }{p}_{B}={m}_{B}\mathrm{\Delta }{v}_{B}=0.25×1.05\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0.263\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ .
3．某探究实验小组利用仿真软件在实验室模拟数据，验证斜碰实验中动量是否守恒，在指导老师的帮助下，结合频闪照相留下质心轨迹的技术得到图示结果.
已知：初状态质量为 $ M=500\mathrm{g} $ 、半径为 $ 49.5\mathrm{m}\mathrm{m} $ 的大钢球静止在质心坐标 $ (30\mathrm{c}\mathrm{m},0.1\mathrm{c}\mathrm{m}) $ 处，质量为 $ m=100\mathrm{g} $ 的小钢球从质心坐标 $ (70\mathrm{c}\mathrm{m},1\mathrm{c}\mathrm{m}) $ 处沿 $ x $ 轴负方向撞击大钢球，从小钢球出发开始，频闪照相每隔 $ 2\mathrm{s} $ 记录两球位置.
（1） 撞击前小钢球的动量大小为 $ {p}_{0}= $ $ \mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ （保留两位有效数字）；
（2） 若撞击后小钢球水平和竖直分速度分别为 $ {v}_{1x} $ 和 $ {v}_{1y} $ ；大钢球的水平和竖直分速度分别为 $ {v}_{2x} $ 和 $ {v}_{2y} $ .为验证撞击过程动量是否守恒，可验证两个等式是否成立，即沿 $ x $ 轴有 $ -{p}_{0}= $ ，沿 $ y $ 轴有 $ 0= $ ；（用题中已知量和测量量字母表示）
（3） 代入实验数据，在误差允许范围内，撞击过程中两钢球组成的系统动量 （填“不守恒”或“守恒”）.
答案：（1） 0.010
（2） $ m{v}_{1x}+M{v}_{2x} $ ； $ m{v}_{1y}+M{v}_{2y} $
（3） 守恒
解析：（1） 由题图可知,碰前小钢球做匀速直线运动,其速度大小 $ {v}_{0}=\dfrac{20×{10}^{-2}}{2}\mathrm{m}/\mathrm{s}=0.10\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,动量大小为 $ {p}_{0}=m{v}_{0}=0.010\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s} $ .
（2） 动量是矢量,类比力的合成与分解,动量的合成和分解同样遵循平行四边形定则,若要验证碰撞过程中的动量守恒,则应有 $ -{p}_{0}=m{v}_{1x}+M{v}_{2x} $ , $ 0=m{v}_{1y}+M{v}_{2y} $ .
（3） 由题图可知，碰后小钢球的水平分速度 $ {v}_{1x}\approx 5.5×{10}^{-2}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,竖直分速度 $ {v}_{1y}\approx 4.4×{10}^{-2}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,大钢球的水平分速度 $ {v}_{2x}\approx -3.1×{10}^{-2}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,竖直分速度 $ {v}_{2y}\approx -0.87×{10}^{-2}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,则水平方向 $ m{v}_{1x}+M{v}_{2x}=0.1×5.5×{10}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}-0.5×3.1×{10}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}=-0.010\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}=-{p}_{0} $ ，竖直方向有 $ m{v}_{1y}+M{v}_{2y}=0.1×4.4×{10}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}-0.5×0.83×{10}^{-2}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 0 $ ,可知,在误差允许范围内,撞击过程中两钢球组成的系统动量守恒.
4．实验小组用如图1所示装置来验证两个小球在斜槽末端碰撞时的动量守恒 $ {\rm .} A $ 、 $ B $ 为两个直径相同的小球，质量分别为 $ {m}_{1} $ 、 $ {m}_{2} $ ，且 $ {m}_{1} > {m}_{2} $ .实验时，接球板水平放置，让入射小球 $ A $ 多次从斜槽上 $ E $ 点静止释放，平均落点为 $ {P}_{1} $ ；再把被碰小球 $ B $ 静放在斜槽末端，再将入射小球 $ A $ 从斜槽上某一位置由静止释放，与小球 $ B $ 相撞，并多次重复，分别记录两个小球碰后的平均落点 $ {M}_{1} $ 、 $ {N}_{1} $ .
图1图2
（1） 关于该实验的要求，下列说法正确的是 .（多选，填正确答案前的标号）
A．斜槽末端必须是水平的
B．斜槽必须是光滑的
C．必须测出斜槽末端的高度
D．放上小球 $ B $ 后， $ A $ 球必须仍从 $ E $ 点释放
（2） 图1中 $ O $ 点为斜槽末端在接球板上的投影点，实验中测出 $ O{M}_{1} $ 、 $ O{P}_{1} $ 、 $ O{N}_{1} $ 的长度分别为 $ {x}_{1} $ 、 $ {x}_{2} $ 、 $ {x}_{3} $ .若两球碰撞时动量守恒，则满足的表达式为 .（用题中已知物理量符号表示）
（3） 如图2所示，仅改变接球板的放置方式，让接球板的一端紧靠在斜槽末端，使小球 $ A $ 仍从斜槽上 $ E $ 点由静止释放，重复第一次实验操作，在接球板上得到三个落点 $ {M}_{2} $ 、 $ {P}_{2} $ 、 $ {N}_{2} $ ，其中 $ O $ 点为斜槽末端与接球板的接触点，测出 $ O{M}_{2} $ 、 $ O{P}_{2} $ 、 $ O{N}_{2} $ 的长度分别为 $ {l}_{1} $ 、 $ {l}_{2} $ 、 $ {l}_{3} $ .若两球碰撞时动量守恒，则满足的表达式为 .（用题中已知物理量符号表示）
答案：（1） AD
（2） $ {m}_{1}{x}_{2}={m}_{1}{x}_{1}+{m}_{2}{x}_{3} $
（3） $ {m}_{1}\sqrt{{l}_{2}}={m}_{1}\sqrt{{l}_{1}}+{m}_{2}\sqrt{{l}_{3}} $
解析：（1） 为使小球 $ A $ 运动至斜槽末端的速度相同,放上小球 $ B $ 后, $ A $ 球必须仍从 $ E $ 点释放,为保证小球从斜槽末端飞出后做平抛运动，斜槽末端必须水平,安装的斜槽不需要光滑,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{D} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误；小球从斜槽末端飞出后做平抛运动,竖直方向上,小球下落的高度相等,则小球在空中运动的时间相等,小球水平位移之比等于小球初速度之比,实验不需要测出斜槽末端距地面的高度,故 $ \mathrm{C} $ 错误.
（2） 小球从斜槽末端飞出后做平抛运动,竖直方向上,小球下落的高度相等,则小球在空中运动的时间相等,设为 $ {t}_{0} $ ,碰撞前小球 $ A $ 的速度为 $ {v}_{0}=\dfrac{{x}_{2}}{{t}_{0}} $ ,碰撞后小球 $ A $ 、小球 $ B $ 的速度分别为 $ {v}_{1}=\dfrac{{x}_{1}}{{t}_{0}} $ 、 $ {v}_{2}=\dfrac{{x}_{3}}{{t}_{0}} $ ,两球碰撞前后的总动量守恒，有 $ {m}_{1}{v}_{0}={m}_{1}{v}_{1}+{m}_{2}{v}_{2} $ ,整理得 $ {m}_{1}{x}_{2}={m}_{1}{x}_{1}+{m}_{2}{x}_{3} $ .
（3） 设接球板的倾角为 $ \theta $ ,小球做平抛运动,有 $ l \sin \theta =\dfrac{1}{2}g{t}^{2} $ , $ l \cos \theta =vt $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{gl{ \cos }^{2}\theta }{2 \sin \theta }} $ ,则碰撞前小球 $ A $ 的速度为 $ {v}_{4}=\sqrt{\dfrac{g{l}_{2}{ \cos }^{2}\theta }{2 \sin \theta }} $ ,碰撞后小球 $ A $ 、小球 $ B $ 的速度分别为 $ {v}_{5}=\sqrt{\dfrac{g{l}_{1}{ \cos }^{2}\theta }{2 \sin \theta }} $ 、 $ {v}_{6}=\sqrt{\dfrac{g{l}_{3}{ \cos }^{2}\theta }{2 \sin \theta }} $ ,若两球碰撞前后的总动量守恒,有 $ {m}_{1}{v}_{4}={m}_{1}{v}_{5}+{m}_{2}{v}_{6} $ ,整理得 $ {m}_{1}\sqrt{{l}_{2}}={m}_{1}\sqrt{{l}_{1}}+{m}_{2}\sqrt{{l}_{3}} $ .
5．某同学设计了如图1所示的实验装置验证水平方向动量守恒定律，所用器材：气垫导轨、带四分之一圆弧轨道的滑块（水平长度为 $ L $ ）、光电门、金属小球、游标卡尺、天平等.实验步骤如下：
①按照图1所示，将光电门 $ A $ 固定在滑块左端，用天平测得滑块和光电门 $ A $ 的总质量为 $ M $ ，光电门 $ B $ 固定在气垫导轨的右侧.
②用天平称得金属小球的质量为 $ m $ ，用游标卡尺测得金属小球的直径为 $ d $ .
③开动气泵，调节气垫导轨水平，让金属小球从 $ C $ 点由静止释放 $ {\rm .} A $ 、 $ B $ 光电门的遮光时间分别为 $ \mathrm{\Delta }{t}_{1} $ 、 $ \mathrm{\Delta }{t}_{2} $ （光电门 $ B $ 开始遮光时小球已离开滑块）.
（1） 用10分度游标卡尺测量金属小球直径 $ d $ ，测量结果如图2所示， $ d= $ $ \mathrm{m}\mathrm{m} $ .
（2） 验证滑块（含光电门 $ A $ ）、金属小球系统水平方向动量守恒，只需验证 成立即可（用 $ M $ 、 $ m $ 、 $ d $ 、 $ L $ 、 $ \mathrm{\Delta }{t}_{1} $ 、 $ \mathrm{\Delta }{t}_{2} $ 表示）.
答案：（1） 14.7
（2） $ m(\dfrac{d}{\mathrm{\Delta }{t}_{1}}-\dfrac{L}{\mathrm{\Delta }{t}_{2}})=M\dfrac{L}{\mathrm{\Delta }{t}_{2}} $
解析：（1） 10分度游标卡尺的精确度为 $ 0.1\mathrm{m}\mathrm{m} $ ,由题图2可知小球直径为 $ d=14\mathrm{m}\mathrm{m}+7×0.1\mathrm{m}\mathrm{m}=14.7\mathrm{m}\mathrm{m} $ .
（2） 设小球脱离滑块时对地的速度为 $ {v}_{1} $ ,滑块对地的速度为 $ {v}_{2} $ ,根据动量守恒定律有 $ 0=M{v}_{2}-m{v}_{1} $ ,根据题意可得 $ {v}_{1}+{v}_{2}=\dfrac{d}{\mathrm{\Delta }{t}_{1}} $ , $ {v}_{2}=\dfrac{L}{\mathrm{\Delta }{t}_{2}} $ ,联立可得 $ m(\dfrac{d}{\mathrm{\Delta }{t}_{1}}-\dfrac{L}{\mathrm{\Delta }{t}_{2}})=M\dfrac{L}{\mathrm{\Delta }{t}_{2}} $ .