第5节 实验：用单摆测量重力加速度
一、刷基础
1．一根不可伸长的细线，上端悬挂在 $ O $ 点，下端系一个小球，如图甲所示，某同学利用此装置来探究周期与摆长的关系.该同学用米尺测得细线的长度，用游标卡尺测得小球的直径，二者相加为 $ l $ ，通过改变细线的长度，测得对应的周期 $ T $ ，得到该装置的 $ l-{T}^{2} $ 图像如图乙所示,则下列说法正确的是（取 $ {\mathrm{\pi }}^{2}=9.87 $ ）（ ）
（多选）
A． $ T=2\mathrm{s} $ 时摆长为 $ 1\mathrm{m} $
B． $ T=2\mathrm{s} $ 时摆长为 $ 0.994\mathrm{m} $
C．摆球半径为 $ 0.006\mathrm{m} $
D．当地的重力加速度为 $ 9.81\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $
答案：BCD
解析：设摆长为 $ l^\prime $ ,小球半径为 $ r $ ,单摆的周期公式 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{l^\prime }{g}}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{l-r}{g}} $ ,整理得 $ l=\dfrac{g}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{T}^{2}+r $ ,可知 $ \dfrac{g}{4{\mathrm{\pi }}^{2}} $ 为 $ l- $
$ {T}^{2} $ 图像的斜率,所以有 $ \dfrac{g}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}=\dfrac{1.000-0.006}{4}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,解得 $ g\approx 9.81\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确 $ {\rm .} l-{T}^{2} $ 图像的纵截距为小球的半径 $ r $ ,由题图乙可知, $ r=0.006\mathrm{m} $ , $ T=2\mathrm{s} $ 时摆长 $ l^\prime =l-r=0.994\mathrm{m} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{C} $ 正确.
2．实验小组成员准备测量某地的重力加速度，在实验室发现有一单摆装置竖直挂于某深度 $ h $ （未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露出筒外），如图甲所示.将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，单摆振动过程中悬线不会碰到小筒，找到的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球上端的距离为 $ x $ ，并通过游标卡尺测出球的直径为 $ d $ ，记录筒的下端口到摆球球心的距离 $ l=x+\dfrac{d}{2} $ ，之后多次改变 $ l $ 而测出对应的周期 $ T $ ，再以 $ {T}^{2} $ 为纵轴、 $ l $ 为横轴作出函数关系图像，通过此图像得出小筒的深度 $ h $ 和重力加速度的大小 $ g $ ，计算取 $ {\mathrm{\pi }}^{2}=9.87 $ .
（1） 利用游标卡尺测出的小球直径如图乙所示，直径 $ d= $ $ \mathrm{c}\mathrm{m} $ .
（2） 如果实验中所得到的 $ {T}^{2}-l $ 关系图像如图丙所示，那么实际的图像应是 $ a $ 、 $ b $ 、 $ c $ 中的 .
（3） 由图像可知，小筒的深度 $ h= $ $ \mathrm{m} $ ，当地的重力加速度 $ g= $ $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .（均保留到小数点后两位）
答案：（1） 1.53
（2） $ c $
（3） 0.50；9.82
解析：（1） 利用游标卡尺测出的小球直径 $ d=15\mathrm{m}\mathrm{m}+3×0.1\mathrm{m}\mathrm{m}=15.3\mathrm{m}\mathrm{m}=1.53\mathrm{c}\mathrm{m} $ .
（2） 根据单摆周期公式可得 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{l+h}{g}} $ ,整理有 $ {T}^{2}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{g}l+\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}h}{g} $ ,可知 $ {T}^{2}-l $ 图像为题图丙中的 $ c $ .
（3） 由图像可知 $ \dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{g}=\dfrac{2.01}{0.50}{\mathrm{s}}^{2}/\mathrm{m} $ , $ \dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}h}{g}=2.01{\mathrm{s}}^{2} $ ,联立解得 $ h=0.50\mathrm{m} $ , $ g=9.82\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .
3．如图甲所示，某同学在做“用单摆测量重力加速度”实验中：
甲
（1） 若摆球的直径为 $ D $ ，悬线长为 $ L $ ，则摆长为 ；
（2） 为了减小测量周期的误差，应在摆球经过最 （填“高”或“低”）点的位置时开始计时;
（3） 如采用计算法测得的 $ g $ 值偏大，可能的原因是 ;
A．单摆的悬点未固定紧，振动中出现松动，使摆线增长了
B．把 $ n $ 次全振动的时间误记为 $ n-1 $ 次全振动的时间
C．以摆线长作为摆长来计算
D．以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算
（4） 为了提高测量精度，需多次改变 $ L $ 的值并测得相应的周期 $ T $ .现测得的六组数据，标示在以 $ L $ 为横坐标、 $ {T}^{2} $ 为纵坐标的坐标纸上，即图乙中用“×”表示的点.根据图乙中的数据点画出 $ {T}^{2} $ 与 $ L $ 的关系图线.
乙
答案：（1） $ L+\dfrac{D}{2} $
（2） 低
（3） D
（4） 见解析
解析：（1） 若摆球的直径为 $ D $ ,悬线长为 $ L $ ,则摆长为 $ l=L+\dfrac{D}{2} $ .
（2） 为了减小测量周期的误差,应在摆球经过最低点的位置时开始计时.
（3） 根据单摆的周期公式 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{l}{g}}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{L+\dfrac{D}{2}}{g}} $ ,可得 $ g=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}(L+\dfrac{D}{2}) $ ,由此可知,若单摆的悬点未固定紧,振动中出现松动,使摆线增长了,则摆长的测量值偏小,采用计算法测得的 $ g $ 值偏小,故 $ \mathrm{A} $ 错误；把 $ n $ 次全振动的时间误记为 $ n-1 $ 次全振动的时间,则周期的测量值偏大,采用计算法测得的 $ g $ 值偏小,故 $ \mathrm{B} $ 错误；若以摆线长作为摆长来计算,则摆长的测量值偏小,采用计算法测得的 $ g $ 值偏小,故 $ \mathrm{C} $ 错误；以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算,则摆长的测量值偏大,采用计算法测得的 $ g $ 值偏大,故 $ \mathrm{D} $ 正确.
（4） 根据 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{l}{g}}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{L+\dfrac{D}{2}}{g}} $ 可得 $ {T}^{2}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{g}L+\dfrac{2{\mathrm{\pi }}^{2}}{g}D $ ,可知 $ {T}^{2} $ 与 $ L $ 的关系图线是一条直线,需要按照“使数据点尽可能多地分布在直线上、其余点均匀分布在直线两侧”的原则作图,如图所示.
4．物理学习兴趣小组利用铁架台等装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验.
（1） 组装单摆时，应该选用 .（用器材前的字母表示）
A.长度为 $ 1\mathrm{m} $ 左右的细线
B.长度为 $ 30\mathrm{c}\mathrm{m} $ 左右的细线
C.直径约为 $ 1.8\mathrm{c}\mathrm{m} $ 的塑料球
D.直径约为 $ 1.8\mathrm{c}\mathrm{m} $ 的钢球
（2） 若已知摆球直径为 $ 2.00\mathrm{c}\mathrm{m} $ ，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是 $ \mathrm{m} $ .
（3） 下表是某同学记录的实验数据，并做了部分处理.
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组次
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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摆长 $ l/\mathrm{c}\mathrm{m} $
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40.00
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50.00
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60.00
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80.00
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100.00
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120.00
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50次全振动时间 $ t/\mathrm{s} $
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63.0
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74.0
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77.5
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89.5
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100.0
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109.5
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周期 $ T/\mathrm{s} $
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1.26
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1.48
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1.55
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1.79
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2.19
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周期的平方 $ {T}^{2}/{\mathrm{s}}^{2} $
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1.59
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2.19
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2.40
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3.20
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4.80
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请计算第5组实验中的 $ {T}^{2}= $ $ {\mathrm{s}}^{2} $ .
（4） 将上表数据输入计算机，可得到如图乙所示的 $ l-{T}^{2} $ 图像，图线经过坐标原点，斜率 $ k=0.25\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .由此求得重力加速度 $ g= $ $ \mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .（保留三位有效数字， $ \mathrm{\pi } $ 取 $ 3.14 $ ）
答案：（1） $ \mathrm{A}\mathrm{D} $
（2） 0.875
（3） 4.00
（4） 9.86
解析：（1） 组装单摆时,为减小误差,应选用长度远大于小球直径的细线;为减小阻力,应选用密度大的钢球.故选 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{D} $ .
（2） 刻度尺的分度值为 $ 1\mathrm{m}\mathrm{m} $ ,单摆的摆长为摆线长加上球的半径,则摆长为 $ l=88.50\mathrm{c}\mathrm{m}-1.00\mathrm{c}\mathrm{m}=0.875\mathrm{m} $ .
（3） 根据表格可知,第5组实验完成50次全振动所需时间为 $ 100\mathrm{s} $ ,因表格中周期和周期的平方均保留2位小数,则所求的周期和周期的平方也应保留2位小数,周期为 $ T=\dfrac{100}{50}\mathrm{s}=2.00\mathrm{s} $ ,则周期的平方为 $ {T}^{2}=4.00{\mathrm{s}}^{2} $ .
（4） 根据 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{l}{g}} $ ,整理可得 $ l=\dfrac{g}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{T}^{2} $ ,则有 $ k=\dfrac{g}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}=0.25\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,可得 $ g=9.86\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .
5．在“用单摆测当地重力加速度”实验中，甲、乙两同学为一小组.
（1） 两同学利用手机中的磁力计来测单摆的周期.如图甲，先将小球磁化，小球上、下分别为 $ \mathrm{S} $ 、 $ \mathrm{N} $ 极，将手机放在小球静止位置的下方，并让小球做简谐运动，手机测出其所在空间中磁感应强度大小随时间变化，其中 $ z $ 轴磁力计显示如图乙.该单摆的振动周期 $ T $ 为 $ O $ 点与 （填“ $ A $ ”“ $ B $ ”“ $ C $ ”或“ $ D $ ”）点之间的时间差.
（2） 两同学在测单摆的摆长时，将绳长加小球直径 $ d $ 作为摆长 $ L $ ，测量了多组 $ T $ 、 $ L $ 数据，并分别处理数据.
① 甲同学利用计算法进行处理，其计算的表达式为 $ g= $ （用 $ T $ 、 $ L $ 表示）；
② 乙同学利用图像法进行处理，画 $ {T}^{2}-L $ 图像，其图像应该是图丙中的 （填“ $ a $ ”“ $ b $ ”或“ $ c $ ”）；
③ 甲同学的测量值 （填“大于”“等于”或“小于”）真实值，乙同学的测量值 （填“大于”“等于”或“小于”）真实值；
④ 利用乙同学的图像，可求小球半径 $ r= $ （用 $ {d}_{1} $ 或 $ {d}_{2} $ 表示）.
答案：（1） $ D $
（2） ① $ \dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}L}{{T}^{2}} $
② $ c $
③ 大于；等于
④ $ {d}_{2} $
解析：（1） 由题图乙可知,在 $ O\to A. $ 运动时,磁感应强度变大,说明 $ A $ 点在最低点；在 $ A\to B. $ 运动时,磁感应强度变小,说明 $ B $ 点在最高点；在 $ B\to C. $ 运动时,磁感应强度变大,说明 $ C $ 点在最低点；在 $ C\to D. $ 运动时,磁感应强度变小,说明 $ D $ 点在最高点,刚好完成一个完整的振动,故 $ O $ 点与 $ D $ 点之间的时间差等于周期 $ T $ .
（2） 根据单摆周期公式有 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{L}{g}} $ ,变形得 $ g=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}L}{{T}^{2}} $ .由题意知实际摆长为 $ l=L-\dfrac{d}{2} $ ,根据单摆周期公式有 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{l}{g}} $ ,解得 $ {T}^{2}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{g}L-\dfrac{2{\mathrm{\pi }}^{2}d}{g} $ ,由此得到的 $ {T}^{2}-L $ 图像是题图丙中的 $ c $ .甲同学利用计算法进行处理,根据以上分析知 $ g=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}L}{{T}^{2}} $ ,由题意知, $ L $ 测量值偏大,则 $ g $ 的测量值大于真实值.乙同学利用图像法进行处理,由 $ {T}^{2}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{g}L-\dfrac{2{\mathrm{\pi }}^{2}d}{g} $ 知 $ {T}^{2}-L $ 图像斜率不变,重力加速度的测量值等于真实值.由 $ {T}^{2}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{g}L-\dfrac{2{\mathrm{\pi }}^{2}d}{g} $ 和图像 $ c $ 可知，当 $ T=0 $ 时, $ d=2{d}_{2} $ ,则小球半径为 $ r=\dfrac{d}{2}={d}_{2} $ .