专题6 波的多解问题

根据质点 $ Q $ 的振动图像,可知在 $ t=0.1\mathrm{s} $ 时,质点 $ Q $ 的振动方向沿 $ y $ 轴负方向,由波形图结合“同侧法”可知这列波沿 $ x $ 轴正方向传播,故 $ \mathrm{A} $ 错误;由振动图像可知,质点 $ Q $ 的振动周期 $ T=0.2\mathrm{s} $ ,由于 $ \mathrm{\Delta }t=0.35\mathrm{s}-0.1\mathrm{s}=0.25\mathrm{s}=1\dfrac{1}{4}T $ ,可知， $ t=0.35\mathrm{s} $ 时质点 $ Q $ 恰好位于波谷,质点 $ Q $ 位置坐标为 $ (12\mathrm{m},-10\mathrm{c}\mathrm{m}) $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误;根据 $ \mathrm{B} $ 选项分析可知，从 $ t=0.1\mathrm{s} $ 到 $ t=0.35\mathrm{s} $ 的过程中,质点 $ P $ 振动了 $ 1\dfrac{1}{4}T $ ,在一个周期的时间内,其路程为 $ 4A=40\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,在 $ \dfrac{1}{4}T $ 时间内,质点 $ P $ 先向平衡位置振动,再远离平衡位置振动,平均速率大于一个周期内的平均速率,所以其路程大于 $ A=10\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,可知从 $ t=0.1\mathrm{s} $ 到 $ t=0.35\mathrm{s} $ 的过程中质点 $ P $ 的路程大于 $ 50\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误;由波形图可知,该波的波长 $ \lambda =12\mathrm{m} $ ,故波速 $ v=\dfrac{\lambda }{T}=60\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,波沿 $ x $ 轴正方向传播,由波形图可知 $ P $ 点左侧的第一个波谷向 $ x $ 轴正方向传播 $ x=\dfrac{1}{4}\lambda +1.5\mathrm{m}=4.5\mathrm{m} $ 时,质点 $ P $ 第一次到达波谷,则质点 $ P $ 第一次到达波谷所用时间 $ t=\dfrac{x}{v}=0.075\mathrm{s} $ ,结合波传播的周期性可知质点 $ P $ 在 $ \mathrm{\Delta }t=(0.075+0.2n)\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ 时到达波谷,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 由题图可知,波长 $ \lambda =4\mathrm{m} $ ,波向右传播，则有 $ v\cdot \mathrm{\Delta }t=\dfrac{1}{4}\lambda +n\lambda (n=0,1,2,3,\cdots ) $ ,解得 $ v=5(4n+1)\mathrm{m}/\mathrm{s}(n=0,1,2,3,\cdots ) $ ,由 $ T=\dfrac{\lambda }{v} $ ,解得 $ T=\dfrac{4}{5(4n+1)}\mathrm{s}(n=0,1,2,3,\cdots ) $ ,又 $ T > 0.2\mathrm{s} $ ,则 $ n=0 $ ,代入解得 $ v=5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ T=0.8\mathrm{s} $ .

（2） 若该波向左传播,则有 $ v^\prime \cdot \mathrm{\Delta }t=\dfrac{3}{4}\lambda +n\lambda (n=0,1,2,3,\cdots ) $ ,由 $ T^\prime =\dfrac{\lambda }{v^\prime } $ ,解得 $ v^\prime =5(4n+3)\mathrm{m}/\mathrm{s}(n=0,1,2,3,\cdots ) $ , $ T^\prime =\dfrac{4}{5(4n+3)}\mathrm{s}(n=0,1,2,3,\cdots ) $ .

由题图知,波长 $ \lambda =4\mathrm{m} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确;只根据题中信息无法判断波的传播方向.若波沿 $ x $ 轴正方向传播,则有 $ \mathrm{\Delta }t=1\mathrm{s}=(n+\dfrac{3}{4})T(n=0,1,2,\cdots ) $ ,可得 $ T=\dfrac{4}{4n+3}\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,由题意知 $ T > \dfrac{1}{3}\mathrm{s} $ ,当 $ n=0 $ 时,周期 $ {T}_{1}=\dfrac{4}{3}\mathrm{s} $ ,则波速 $ {v}_{1}=\dfrac{\lambda }{{T}_{1}}=3\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,当 $ n=1 $ 时,周期 $ {T}_{2}=\dfrac{4}{7}\mathrm{s} $ ,则波速 $ {v}_{2}=\dfrac{\lambda }{{T}_{2}}=7\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,当 $ n=2 $ 时,周期 $ {T}_{3}=\dfrac{4}{11}\mathrm{s} $ ,则波速 $ {v}_{3}=\dfrac{\lambda }{{T}_{3}}=11\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ;若波沿 $ x $ 轴负方向传播,则有 $ \mathrm{\Delta }t=1\mathrm{s}=(n+\dfrac{1}{4})T^\prime (n=0,1,2,\cdots ) $ ,可得 $ T^\prime =\dfrac{4}{4n+1}\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,由题意知 $ T^\prime > \dfrac{1}{3}\mathrm{s} $ ,当 $ n=0 $ 时,周期 $ T{\prime }_{1}=4\mathrm{s} $ ,则波速 $ v{\prime }_{1}=\dfrac{\lambda }{T{\prime }_{1}}=1\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,当 $ n=1 $ 时,周期 $ T{\prime }_{2}=\dfrac{4}{5}\mathrm{s} $ ,则波速 $ v{\prime }_{2}=\dfrac{\lambda }{T{\prime }_{2}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,当 $ n=2 $ 时,周期 $ T{\prime }_{3}=\dfrac{4}{9}\mathrm{s} $ ,则波速 $ v{\prime }_{3}=\dfrac{\lambda }{T{\prime }_{3}}=9\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,该波的频率 $ f=\dfrac{1}{T} $ ,不可能为 $ 2\mathrm{H}\mathrm{z} $ ， $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

根据题意,由题图可知,当波沿 $ x $ 轴负方向传播时,波在 $ t={t}_{2}-{t}_{1}=0.5\mathrm{s} $ 时间内传播的距离为 $ x=\dfrac{3}{4}\lambda +n\lambda (n=0,1,2,\cdots ) $ ,由题图可知 $ \lambda =8\mathrm{m} $ ,又 $ v=\dfrac{x}{t} $ ,联立可得 $ v=4(4n+3)\mathrm{m}/\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,若有 $ 3T < ({t}_{2}-{t}_{1}) < 4T $ ,则波的传播距离范围为 $ 3\lambda < x < 4\lambda $ ,即 $ n=3 $ ,此时波速为 $ v=4×(4×3+3)\mathrm{m}/\mathrm{s}=60\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；根据题意,由题图可知,当波沿 $ x $ 轴正方向传播时,波在 $ t={t}_{2}-{t}_{1}=0.5\mathrm{s} $ 时间内传播的距离为 $ x=\dfrac{1}{4}\lambda +n\lambda (n=0,1,2,\cdots ) $ ,则波速 $ v=4(4n+1)\mathrm{m}/\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；若波速 $ v=68\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,当 $ n=4 $ 时,满足 $ v=4(4n+1)\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故波沿 $ x $ 轴正方向传播,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

（1） 若波由 $ a $ 向 $ b $ 传播,有 $ \mathrm{\Delta }x=(n+\dfrac{3}{4})\lambda =1.2\mathrm{m}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,

可得该简谐横波的波长 $ \lambda =\dfrac{4.8}{4n+3}\mathrm{m}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,

若波由 $ b $ 向 $ a $ 传播,有 $ \mathrm{\Delta }x=(n+\dfrac{1}{4})\lambda =1.2\mathrm{m}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,

可得该简谐横波的波长 $ \lambda =\dfrac{4.8}{4n+1}\mathrm{m}(n=0,1,2,\cdots ) $ .

（2） 由振动图像可知 $ T=0.8\mathrm{s} $ ,

若波由 $ a $ 向 $ b $ 传播,则波速为 $ v=\dfrac{\lambda }{T}=\dfrac{6}{4n+3}\mathrm{m}/\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,

波速不可能为 $ 1.2\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，

若波由 $ b $ 向 $ a $ 传播,则波速为 $ v=\dfrac{\lambda }{T}=\dfrac{6}{4n+1}\mathrm{m}/\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,

当 $ n=1 $ 时,波速为 $ 1.2\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,

故若该简谐横波的传播速度为 $ 1.2\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,波由 $ b $ 向 $ a $ 传播.

（1） 由题图可知,该波的波长为 $ \lambda =1.2\mathrm{m} $ ,

若该波沿 $ x $ 轴正向传播,则有 $ {t}_{2}-{t}_{1}=\dfrac{3}{4}T+nT(n=0,1,2,\cdots ) $ ,整理可得 $ T=\dfrac{0.48}{4n+3}\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,

若该波沿 $ x $ 轴负向传播,则有 $ {t}_{2}-{t}_{1}=\dfrac{1}{4}T+nT(n=0,1,2,\cdots ) $ ,整理可得 $ T=\dfrac{0.48}{4n+1}\mathrm{s}(n=0,1,2,\cdots ) $ .

（2） 根据题意可知,若 $ T < 0.12\mathrm{s} < 2T $ ,

则有 $ n=1 $ ,

若该波沿 $ x $ 轴正向传播,则有 $ T=\dfrac{0.48}{4+3}\mathrm{s}=\dfrac{0.48}{7}\mathrm{s} $ ,

该波的速度大小为 $ {v}_{0}=\dfrac{\lambda }{T}=17.5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,

若该波沿 $ x $ 轴负向传播,则有 $ T=\dfrac{0.48}{4+1}\mathrm{s}=\dfrac{0.48}{5}\mathrm{s} $ ,

该波的速度大小为 $ {v}_{0}=\dfrac{\lambda }{T}=12.5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .

（3） 由题图可知该波的振幅为 $ 5\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,若该波沿 $ x $ 轴正向传播,则有 $ \omega =\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}=\dfrac{175\mathrm{\pi }}{6}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s} $ ,

则原点 $ O $ 的振动方程为 $ y=5 \cos \dfrac{175\mathrm{\pi }}{6}t(\mathrm{c}\mathrm{m}) $ ,

若该波沿 $ x $ 轴负向传播,则有 $ \omega =\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}=\dfrac{125\mathrm{\pi }}{6}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s} $ ,

则原点 $ O $ 点的振动方程为 $ y=5 \cos \dfrac{125\mathrm{\pi }}{6}t(\mathrm{c}\mathrm{m}) $ .

$ M $ 、 $ N $ 两处树叶平衡位置相距 $ 0.45\mathrm{m} $ ,当 $ M $ 处树叶运动到波峰时, $ N $ 处树叶刚好运动到波谷,有 $ (n+\dfrac{1}{2})\lambda =0.45\mathrm{m}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,解得 $ \lambda =\dfrac{0.90}{2n+1}\mathrm{m}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,可知 $ n=0 $ 时 $ \lambda =0.90\mathrm{m} $ ， $ n=1 $ 时 $ \lambda =0.30\mathrm{m} $ ， $ n=4 $ 时 $ \lambda =0.10\mathrm{m} $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .

根据题意, $ P $ 、 $ Q $ 之间的波形图可能有如图所示的几种情况,当 $ P $ 、 $ Q $ 之间有一个波谷两个波峰时,如图3,则有 $ \dfrac{3}{2}{\lambda }_{3}=3\mathrm{m} $ ,解得 $ {\lambda }_{3}=2\mathrm{m} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；根据波形图,由于波的传播方向不确定,故质点 $ Q $ 第一次到达波峰经历的时间可能为 $ \dfrac{1}{4}T=0.3\mathrm{s} $ 或 $ \dfrac{3}{4}T=0.3\mathrm{s} $ ,解得 $ T=1.2\mathrm{s} $ 或 $ T=0.4\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；图1、2、3、4的波长分别为 $ {\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=3\mathrm{m} $ 、 $ {\lambda }_{3}=2\mathrm{m} $ 、 $ {\lambda }_{4}=6\mathrm{m} $ ,当周期为 $ 1.2\mathrm{s} $ 时,根据周期与波速之间的关系 $ v=\dfrac{\lambda }{T} $ ,可得 $ {v}_{1}={v}_{2}=2.5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ {v}_{3}=\dfrac{5}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ {v}_{4}=5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,当周期为 $ 0.4\mathrm{s} $ 时,可得波速为 $ v{\prime }_{1}=v{\prime }_{2}=7.5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ v{\prime }_{3}=5\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ v{\prime }_{4}=15\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；经过 $ 0.3\mathrm{s} $ ,当质点 $ Q $ 到达波峰时,图1、2中质点 $ P $ 到达波峰,图3、4中质点 $ P $ 到达波谷,因此 $ 0.3\mathrm{s} $ 内质点 $ P $ 的位移大小为 $ 10\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.故选 $ \mathrm{B} $ .

图1图2图3图4

简谐横波沿 $ x $ 轴正方向传播， $ t=0 $ 时刻，质点 $ a $ 、 $ b $ 的位移均为 $ 1\mathrm{c}\mathrm{m} $ （振幅为 $ A=2\mathrm{c}\mathrm{m}) $ ，运动方向相反，由振动方程 $ y=A \sin (\omega t+\varphi ) $ ，代入 $ y=1\mathrm{c}\mathrm{m} $ 得 $ \sin \varphi =\dfrac{1}{2} $ ，若 $ \omega t=0 $ ，质点从平衡位置沿 $ y $ 轴正方向起振，则 $ a $ 、 $ b $ 两质点的相位分别为 $ \dfrac{5\mathrm{\pi }}{6} $ 和 $ \dfrac{\mathrm{\pi }}{6} $ ，相位差 $ \mathrm{\Delta }\varphi =\dfrac{5\mathrm{\pi }}{6}-\dfrac{\mathrm{\pi }}{6}=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{3} $ ，考虑波传播的周期性，可得出 $ \mathrm{\Delta }x=(n+\dfrac{\mathrm{\Delta }\varphi }{2\mathrm{\pi }})\lambda =(n+\dfrac{1}{3})\lambda (n=0,1,2,\cdots ) $ ,可得波长为 $ \lambda =\dfrac{150}{3n+1}\mathrm{c}\mathrm{m}(n=0,1,2,\cdots ) $ ,当 $ n=0 $ 时 $ \lambda =150\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,由于 $ n $ 是整数,所以 $ \lambda $ 不可能为 $ 12\mathrm{c}\mathrm{m} $ , $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误；当质点 $ b $ 的位移为 $ 2\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,即 $ b $ 到达波峰时,结合波形知,质点 $ a $ 在平衡位置下方,位移为负, $ \mathrm{C} $ 错误；由题意可知质点 $ b $ 的振动方程为 $ y=2 \sin (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}t+\dfrac{\mathrm{\pi }}{6})(\mathrm{c}\mathrm{m}) $ ，当 $ t=\dfrac{5T}{12} $ 时， $ y=0 $ ，即质点 $ b $ 到达平衡位置处,速度最大, $ \mathrm{D} $ 正确.