第三章高考强化

由题图可知甲波的波长为 $ {\lambda }_{甲}=4\mathrm{m} $ ，根据 $ v=\dfrac{\lambda }{T} $ 可知甲波的周期为 $ {T}_{甲}=\dfrac{{\lambda }_{甲}}{v}=4\mathrm{s} $ ， $ \mathrm{A} $ 错误；由题图和题意可知 $ \dfrac{1}{2}{\lambda }_{乙}+\dfrac{1}{12}{\lambda }_{乙}×2=4\mathrm{m} $ ，可得乙波的波长为 $ {\lambda }_{乙}=6\mathrm{m} $ ， $ \mathrm{B} $ 正确；由题图结合同侧法可知， $ t=0 $ 时质点 $ M $ 向 $ y $ 轴正方向运动，所以 $ t=6\mathrm{s}=\dfrac{3}{2}{T}_{甲} $ 时质点 $ M $ 向 $ y $ 轴负方向运动， $ \mathrm{C} $ 错误；根据 $ v=\dfrac{\lambda }{T} $ 可知乙波的周期为 $ {T}_{乙}=\dfrac{{\lambda }_{乙}}{v}=6\mathrm{s} $ ，由题图结合同侧法可知, $ t=0 $ 时质点 $ N $ 向 $ y $ 轴负方向运动，所以， $ t=6\mathrm{s}={T}_{乙} $ 时质点 $ N $ 向 $ y $ 轴负方向运动， $ \mathrm{D} $ 正确.

由题意知 $ A $ 、 $ B $ 的平衡位置之间的距离 $ x=\dfrac{3}{2}\lambda =6\mathrm{m} $ ,解得 $ \lambda =4\mathrm{m} $ , $ \mathrm{A} $ 错误；波源的振动频率为 $ f=\dfrac{60}{60}\mathrm{H}\mathrm{z}=1\mathrm{H}\mathrm{z} $ ,则波速 $ v=\lambda f=4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ \mathrm{B} $ 错误；质点的振动周期 $ T=1\mathrm{s} $ , $ 0.25\mathrm{s}=\dfrac{T}{4} $ , $ B $ 点在 $ {t}_{0}+0.25\mathrm{s} $ 时刻运动至平衡位置,位移为0,速度最大, $ \mathrm{C} $ 错误； $ 0.50\mathrm{s}=\dfrac{T}{2} $ , $ A $ 点在 $ {t}_{0}+0.50\mathrm{s} $ 时刻运动至波峰,位移最大,速度为 $ {\rm 0,} \mathrm{D} $ 正确.

由题图可知波长 $ \lambda =4\mathrm{m} $ ， $ 1.5\mathrm{s} $ 到 $ 2.5\mathrm{s} $ 左侧波传播距离为半个波长，则周期为 $ 2\mathrm{s} $ ，则 $ v=\dfrac{\lambda }{T}=2\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ， $ \mathrm{A} $ 错误；设波源的平衡位置到 $ P $ 点距离为 $ x $ ，在 $ 1.5\mathrm{s} $ 内左侧波传播的距离为 $ {x}_{1}=x+2\mathrm{m}=4\mathrm{m}-x $ ，解得 $ x=1\mathrm{m} $ ， $ \mathrm{B} $ 错误；由 $ 1.5\mathrm{s} $ 时波形可知波源的起振方向为向下，波源 $ t=0 $ 时刻向下振动， $ t=1.0\mathrm{s}=\dfrac{T}{2} $ 时，波源振动半个周期，可知此时波源处于平衡位置且向上振动， $ \mathrm{C} $ 错误； $ t=5.5\mathrm{s} $ 时平衡位置在 $ P $ 、 $ Q $ 的两质点的位移与 $ t=1.5\mathrm{s} $ 时两质点位移相同， $ t=2.5\mathrm{s} $ 时， $ P $ 、 $ Q $ 位移为0，故 $ t=1.5\mathrm{s} $ 时位移也为0，故 $ t=5.5\mathrm{s} $ 时平衡位置在 $ P $ 、 $ Q $ 的两质点的位移相同， $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 由题图知两列波的波长分别为 $ {\lambda }_{1}=0.5\mathrm{m} $ 、 $ {\lambda }_{2}=1.0\mathrm{m} $ .

（2） 由题图知，两列波的振幅均为 $ A=1\mu \mathrm{m} $ ， $ x=0 $ 处两波均处于波峰，故该时刻两列波叠加后 $ x=0 $ 处质点偏离平衡位置的位移 $ {y}_{1}=2A=2\mu \mathrm{m} $ ,该时刻对于第一列波， $ x=0.375\mathrm{m}=\dfrac{3}{4}{\lambda }_{1} $ ,结合题图甲可知， $ x=0.375\mathrm{m} $ 处的质点的位移为0，对于第二列波有 $ y^\prime =1 \cos \dfrac{2\mathrm{\pi }}{{\lambda }_{2}}x\mu \mathrm{m} $ ,将 $ x=0.375\mathrm{m}=\dfrac{3}{8}{\lambda }_{2} $ 代入，得 $ x=0.375\mathrm{m} $ 处质点的位移 $ y^\prime =-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mu \mathrm{m} $ ,故两列波叠加后 $ x=0.375\mathrm{m} $ 处的质点在该时刻偏离平衡位置的位移为 $ {y}_{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\mu \mathrm{m} $ .

（3） 两列波的波速均为 $ 340\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，根据 $ v=\dfrac{\lambda }{T} $ 知，第一列波的周期 $ {T}_{1}=\dfrac{{\lambda }_{1}}{v}=\dfrac{0.5}{340}\mathrm{s}=\dfrac{1}{680}\mathrm{s} $ ，第二列波的周期 $ {T}_{2}=\dfrac{{\lambda }_{2}}{v}=\dfrac{1}{340}\mathrm{s} $ ,由于 $ {T}_{2}=2{T}_{1} $ ,则两列波叠加后的周期 $ T=\dfrac{1}{340}\mathrm{s} $ .

由波源的振动图像可知 $ T=0.2\mathrm{s} $ , $ A=0.2\mathrm{m} $ ,波源起振方向向上, $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；波源第2次处于波谷位置的时间 $ {t}_{1}=1\dfrac{3}{4}T=0.35\mathrm{s} $ ,波速为 $ v=\dfrac{{x}_{P}}{{t}_{1}}=10\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ \mathrm{C} $ 正确;设 $ {t}_{2} $ 时刻波传播到 $ Q $ , $ {t}_{2}=\dfrac{{x}_{Q}}{v}=0.45\mathrm{s} $ , $ \mathrm{\Delta }t={t}_{2}-{t}_{1}=0.1\mathrm{s}=\dfrac{T}{2} $ ,此时 $ P $ 正好振动半个周期,处于平衡位置向下振动, $ \mathrm{D} $ 错误.

由图像可得波的周期 $ T=2\mathrm{s} $ ， $ a $ 与 $ b $ 的振动起始时间相差 $ t=(0.5+2n)\mathrm{s}(n=0,±1,±2,\cdots ) $ ,设 $ a $ 、 $ b $ 两点相距 $ x $ ，波速为 $ v $ ，则 $ t=\dfrac{x}{v}=\dfrac{xT}{\lambda } $ ，波长 $ \lambda =\dfrac{xT}{t}=\left|\dfrac{4}{0.5+2n}\right|\mathrm{m}(n=0,±1,±2,\cdots ) $ ，因为 $ \lambda > 1\mathrm{m} $ ，则可能的波长有 $ 8\mathrm{m} $ 、 $ \dfrac{8}{3}\mathrm{m} $ 、 $ \cdots $ ，分别与 $ \mathrm{D} $ 、 $ \mathrm{C} $ 选项图中波长对应， $ \mathrm{A} $ 选项不满足 $ \lambda > 1\mathrm{m} $ ，由题图可知, $ t=0 $ 时 $ b $ 点位于波谷, $ \mathrm{B} $ 选项 $ t=0 $ 时， $ b $ 点不在波谷位置，故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 错误， $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 正确.

由题图乙可知 $ 2\mathrm{s}=\dfrac{5}{6}T $ , $ T=\dfrac{12}{5}\mathrm{s}=2.4\mathrm{s} $ ,频率为 $ f=\dfrac{5}{12}\mathrm{H}\mathrm{z} $ , $ \mathrm{B} $ 正确；由题意,在题图甲中标出位移为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{c}\mathrm{m} $ 的质点 $ P $ 、 $ Q $ ,如图所示,则波长可以为 $ \dfrac{1}{6}\lambda =3\mathrm{m} $ 即 $ \lambda =18\mathrm{m} $ ,或 $ \dfrac{1}{3}\lambda \prime =3\mathrm{m} $ 即 $ \lambda \prime =9\mathrm{m} $ , $ \mathrm{A} $ 错误； $ v=\dfrac{\lambda }{T}=\dfrac{18\mathrm{m}}{2.4\mathrm{s}}=\dfrac{15}{2}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ v^\prime =\dfrac{\lambda \prime }{T}=\dfrac{9\mathrm{m}}{2.4\mathrm{s}}=\dfrac{15}{4}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ \mathrm{C} $ 错误；根据题图乙计算该质点在 $ 2\mathrm{s} $ 内运动的路程为 $ (4-\dfrac{\sqrt{3}}{2})\mathrm{c}\mathrm{m} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

$ t=0.5\mathrm{s} $ 时,甲、乙两列波传播的距离均为 $ x=2×0.5\mathrm{m}=1\mathrm{m} $ ,则 $ t=0 $ 时刻甲波平衡位置在 $ x=1\mathrm{m} $ 处和乙波平衡位置在 $ x=3\mathrm{m} $ 处的振动形式传播到 $ P $ 点,由波的叠加可知, $ P $ 偏离平衡位置的位移为 $ -2\mathrm{c}\mathrm{m} $ , $ \mathrm{B} $ 正确, $ \mathrm{A} $ 错误； $ t=1.0\mathrm{s} $ 时,甲、乙两列波传播的距离均为 $ x^\prime =2×1\mathrm{m}=2\mathrm{m} $ ,则 $ t=0 $ 时刻甲波平衡位置在 $ x=0 $ 处和乙波平衡位置在 $ x=4\mathrm{m} $ 处的波形传播到 $ P $ 点,由“同侧法”知,两列波在 $ P $ 点引起的振动方向均向 $ y $ 轴正方向,由波的叠加知, $ P $ 向 $ y $ 轴正方向运动, $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.

根据题图可知,超声波在机翼材料中的传播周期 $ T=2×{10}^{-7}\mathrm{s} $ ,由题干可知波速 $ v=6300\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,则超声波在机翼材料中的波长 $ \lambda =vT=1.26×{10}^{-3}\mathrm{m} $ ,结合题图（b）和题图（c）可知,两个反射信号传播到探头处的时间差为 $ \mathrm{\Delta }t=1.5×{10}^{-6}\mathrm{s} $ ,故两个反射信号的路程差 $ 2d=v\mathrm{\Delta }t=9.45×{10}^{-3}\mathrm{m}=\dfrac{15}{2}\lambda $ ,解得 $ d=4.725\mathrm{m}\mathrm{m} $ ,且两个反射信号在探头处振动减弱, $ \mathrm{A} $ 正确.

波在 $ x=6\mathrm{m} $ 处左侧的波速为 $ {v}_{1}=\dfrac{4}{0.1}\mathrm{m}/\mathrm{s}=40\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，在 $ x=6\mathrm{m} $ 处右侧的波速为 $ {v}_{2}=\dfrac{6}{0.1}\mathrm{m}/\mathrm{s}=60\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，两列波相遇时有 $ {v}_{1}t+6\mathrm{m}+{v}_{1}(t-\dfrac{6\mathrm{m}}{{v}_{2}})=12\mathrm{m} $ ，解得 $ t=0.125\mathrm{s} $ ， $ \mathrm{A} $ 错误；由题图2知，两列波的周期为 $ T=0.02\mathrm{s} $ ,在 $ 6\mathrm{m} < x⩽ 12\mathrm{m} $ 间， $ {S}_{2} $ 波的波长为 $ {\lambda }_{2}={v}_{2}T=60×0.02\mathrm{m}=1.2\mathrm{m} $ ， $ \mathrm{B} $ 正确；左侧波传到 $ x=8.4\mathrm{m} $ 时，用时为 $ t^\prime =\dfrac{6}{40}\mathrm{s}+\dfrac{8.4-6}{60}\mathrm{s}=0.19\mathrm{s} $ ，此时右侧波在该质点已经振动的时间为 $ \mathrm{\Delta }t=0.19\mathrm{s}-\dfrac{12-8.4}{60}\mathrm{s}=0.13\mathrm{s}=6\dfrac{1}{2}T $ ，故此时左侧波在该质点引起的振动在平衡位置向上运动，右侧波在该质点引起的振动在平衡位置向下振动，由波的叠加可知，该质点的振动减弱， $ \mathrm{C} $ 正确；当右侧波传到 $ x=6\mathrm{m} $ 位置时，用时为 $ 0.1\mathrm{s}=5T $ ，即此时 $ x=6\mathrm{m} $ 处质点从平衡位置向上振动，此时 $ x=0 $ 处的波源 $ {S}_{1} $ 也在平衡位置向上振动，即振动方向相同，在 $ 0 < x < 6\mathrm{m} $ 内到 $ x=0 $ 和 $ x=6\mathrm{m} $ 两点的路程差为波长整数倍时振动加强，波在该区间内的波长 $ {\lambda }_{1}={v}_{1}T=40×0.02\mathrm{m}=0.8\mathrm{m} $ ， $ x-(6\mathrm{m}-x)=n{\lambda }_{1}=n\cdot 0.8\mathrm{m} $ ，即 $ x=3+0.4n(\mathrm{m}) $ ，其中 $ n $ 取0、 $ ±1 $ 、 $ ±2 $ 、 $ ±3 $ 、 $ ±4 $ 、 $ ±5 $ 、 $ ±6 $ 、 $ ±7 $ ，则共有15个振动加强点， $ \mathrm{D} $ 错误.

（ⅰ） 波传播的周期为 $ T=\dfrac{\lambda }{v}=2\mathrm{s} $ , $ t=0 $ 时刻, $ P $ 波刚好传播到坐标原点,该处的质点将自平衡位置向下振动, $ Q $ 波刚好传到 $ x=10\mathrm{m} $ 处,该处质点将自平衡位置向上振动, $ t=2.5\mathrm{s}=T+\dfrac{1}{4}T $ ,则该时刻的波形图如图所示.

（ⅱ） 两列波的起振方向相反,振幅最大时,有 $ |x- (10\mathrm{m}-x ) |=\dfrac{2n+1}{2}\lambda (x\in [0,10\mathrm{m} ] $ , $ n=0 {\rm ,1,2} $ , $ \cdots ) $ ,

解得 $ x=3\mathrm{m} $ ， $ x=7\mathrm{m} $ ，

振幅最小时,有 $ |x- (10\mathrm{m}-x ) |=\dfrac{2n}{2}\lambda (x\in [0,10\mathrm{m} ] $ , $ n=0 {\rm ,1,2} $ , $ \cdots ) $ ,

解得 $ x=1\mathrm{m} $ ， $ x=5\mathrm{m} $ ， $ x=9\mathrm{m} $ .

根据波形图可知 $ (n+\dfrac{1}{2})\lambda =5\mathrm{m}(n=1,2,3,\cdots ) $ , $ \dfrac{1}{4}\lambda < 0.5\mathrm{m} $ , $ \dfrac{1}{2}\lambda > 0.5\mathrm{m} $ ,联立可得 $ \lambda =\dfrac{10}{7}\mathrm{m} $ 或 $ \dfrac{10}{9}\mathrm{m} $ ， $ f=2\mathrm{H}\mathrm{z} $ ,波速 $ v=\lambda f $ ,解得 $ v=\dfrac{20}{7}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 或 $ \dfrac{20}{9}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 正确.

根据题意,两列相干波的波长均为 $ \lambda =2\mathrm{m} $ ,设 $ A $ 、 $ B $ 两处振源分别为 $ {S}_{1} $ 、 $ {S}_{2} $ ,根据干涉条件,波程差是半波长的偶数倍时振动加强, $ A $ 、 $ B $ 相距为 $ 4.8\mathrm{m} $ ,则在 $ AB $ 连线上以 $ AB $ 中点为原点，由 $ A\to B. $ 为 $ x $ 轴正方向建立坐标系，有 $ x=0 $ 、 $ -1\mathrm{m} $ 、 $ 1\mathrm{m} $ 、 $ -2\mathrm{m} $ 、 $ 2\mathrm{m} $ 共5个点,过 $ AB $ 连线上加强点的加强线与池塘边界均有两个交点,则池塘边界上的振动加强点共有10个,故 $ \mathrm{C} $ 正确.