课时2 万有引力定律的应用——环绕规律

设木卫四的质量为 $ m $ ,木星的质量为 $ M $ ,根据万有引力提供向心力,有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4\mathrm{\pi }{}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,代入数据解得 $ M\approx 2×{10}^{27}\mathrm{k}\mathrm{g} $ ,故B正确．

设中心天体质量为 $ M $ ，半径为 $ R $ ，环绕天体质量为 $ m $ ，环绕周期为 $ T $ ，对环绕天体有 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}R $ ，中心天体密度 $ \rho =\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^{3}} $ ，联立解得 $ \rho =\dfrac{3\mathrm{\pi }}{G{T}^{2}} $ ，可知密度与周期平方成反比，故月球与地球的密度之比 $ \dfrac{{\rho }_{月}}{{\rho }_{地}}=\dfrac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确.

航天器在星球表面附近做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=ma $ ，解得航天器在星球表面附近运动的向心加速度大小为 $ a=\dfrac{GM}{{R}^{2}} $ ，着陆后万有引力等于重力，有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=mg $ ，又 $ g=\dfrac{F}{m} $ ，联立解得 $ a=g=\dfrac{F}{m} $ ， $ \mathrm{A} $ 错误， $ \mathrm{B} $ 正确；航天器在星球表面附近做匀速圆周运动时，有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}R $ ，则该星球的密度 $ \rho =\dfrac{M}{\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^{3}}=\dfrac{3\mathrm{\pi }}{G{T}^{2}} $ ， $ \mathrm{C} $ 错误；根据 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=mg=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}R $ ， $ g=\dfrac{F}{m} $ ，可得该星球的半径 $ R=\dfrac{F{T}^{2}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}m} $ ， $ \mathrm{D} $ 正确.

根据万有引力提供向心力有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m{\left(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}\right) ^ {2}}r $ ，可得 $ {r}^{3}=\dfrac{GM}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{T}^{2} $ ，可知中心天体质量越大， $ {r}^{3}-{T}^{2} $ 的图像斜率越大，因木星质量大于地球质量，所以图线①是木星的卫星运动的规律，图线②是地球卫星运动的规律，故 $ \dfrac{a}{b}=\dfrac{G{M}_{地}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}} $ ，解得 $ {M}_{地}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}a}{Gb} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 错误， $ \mathrm{B} $ 正确；由图线①上的点可得木星的质量 $ {M}_{木}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}d}{Gc} $ ，由题图知，木星的半径的三次方 $ {R}_{木}^{3}=d $ ，根据木星的平均密度 $ {\rho }_{木}=\dfrac{{M}_{木}}{\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}_{木}^{3}} $ ，解得 $ {\rho }_{木}=\dfrac{3\mathrm{\pi }}{Gc} $ ，同理可得 $ {\rho }_{地}=\dfrac{3\mathrm{\pi }}{Gb} $ ，故 $ \dfrac{{\rho }_{木}}{{\rho }_{地}}=\dfrac{b}{c} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误.

在地球表面，忽略地球自转，万有引力等于重力，则有 $ G\dfrac{{m}_{地}m}{{R}^{2}}=mg $ ，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有 $ G\dfrac{{m}_{地}{m}_{月}}{{r}^{2}}={m}_{月}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}r}{{T}^{2}} $ ，由题意可知 $ r=60R $ ，联立解得 $ T=120\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{60R}{g}} $ ， $ \mathrm{A} $ 正确.

在某段时间内“嫦娥六号”绕月球做匀速圆周运动的角速度大小为 $ \omega =\dfrac{\theta }{t} $ ，由 $ v=\omega r $ ，可得“嫦娥六号”绕月球做匀速圆周运动的半径为 $ r=\dfrac{vt}{\theta } $ ，“嫦娥六号”绕月球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，则 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ，解得月球的质量 $ M=\dfrac{{v}^{2}r}{G}=\dfrac{{v}^{3}t}{G\theta } $ ，故 $ \mathrm{A} $ 正确.

物体在两极受到的万有引力大小为 $ F=m{g}_{1} $ ，将地球看成质量均匀分布的球体，则物体在赤道受到的万有引力大小等于物体在两极受到的万有引力大小，所以物体在赤道受到的万有引力大小等于 $ m{g}_{1} $ ，在赤道地面上，有 $ F={F}_{\mathrm{n}}+m{g}_{2} $ ，联立可得 $ {F}_{\mathrm{n}}=m{g}_{1}-m{g}_{2} $ ，所以物体受到的合力大小 $ {F}_{合}={F}_{\mathrm{n}}=m{g}_{1}-m{g}_{2} $ ，故 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{C} $ 错误， $ \mathrm{D} $ 正确；物体对地面的压力大小 $ {F}_{\mathrm{N}}=m{g}_{2} $ ，故 $ \mathrm{B} $ 错误.

已知地球绕太阳公转的周期为 $ {T}_{地}=1 $ 年，万有引力提供向心力，则有 $ G\dfrac{{M}_{太}{M}_{地}}{{r}_{1}^{2}}={M}_{地}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{地}^{2}}{r}_{1} $ ，解得 $ {T}_{地}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{r}_{1}^{3}}{G{M}_{太}}} $ ，同理得行星围绕太阳运行的周期 $ {T}_{行}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{r}_{2}^{3}}{G{M}_{太}}} $ ，联立得 $ {T}_{行}=8{T}_{地}=8 $ 年， $ \mathrm{A} $ 正确；由 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ 得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ，则地球和行星的线速度大小之比为 $ 2:1 $ ， $ \mathrm{B} $ 错误；设至少再经 $ t $ 年，地球位于太阳和行星连线之间，则地球比行星多转一圈，有 $ {\omega }_{地}\cdot t-{\omega }_{行}\cdot t=2\mathrm{\pi } $ ，即 $ \dfrac{1}{{T}_{地}}-\dfrac{1}{{T}_{行}}=\dfrac{1}{t} $ ，解得 $ t=\dfrac{8}{7} $ 年， $ \mathrm{C} $ 正确；地球和行星不在同一轨道上，两星球做圆周运动的半径不同，由开普勒第二定律可得，它们分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等， $ \mathrm{D} $ 错误.

当卫星绕行星 $ \mathrm{K}2-155\mathrm{d} $ 运动时万有引力提供向心力，有 $ \dfrac{G{M}_{行}{m}_{卫}}{{r}_{卫}^{2}}={m}_{卫}{r}_{卫}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{卫}^{2}} $ ，得行星的质量为 $ {M}_{行}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}_{卫}^{3}}{G{T}_{卫}^{2}} $ ，又 $ {r}_{卫}=q{r}_{月} $ ， $ {T}_{卫}=p{T}_{月} $ ，代入可得 $ {M}_{行}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{q}^{3}{r}_{月}^{3}}{G{p}^{2}{T}_{月}^{2}} $ ，当月球绕地球运动时，由万有引力提供向心力，有 $ \dfrac{G{M}_{地}{m}_{月}}{{r}_{月}^{2}}={m}_{月}{r}_{月}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{月}^{2}} $ ，得 $ {M}_{地}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}_{月}^{3}}{G{T}_{月}^{2}} $ ，则 $ {M}_{行}=\dfrac{{q}^{3}}{{p}^{2}}{M}_{地} $ ，质量为 $ m $ 的小球在地球表面时有 $ mg=\dfrac{G{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}} $ ，得地球的质量为 $ {M}_{地}=\dfrac{g{R}_{地}^{2}}{G} $ ，又 $ {R}_{行}=n{R}_{地} $ ，则 $ {M}_{行}=\dfrac{{q}^{3}g{R}_{行}^{2}}{G{n}^{2}{p}^{2}} $ ，质量为 $ m $ 的小球在行星 $ \mathrm{K}2-155\mathrm{d} $ 表面时万有引力等于重力，有 $ {G}_{行}=G\dfrac{{M}_{行}m}{{R}_{行}^{2}} $ ，得 $ {G}_{行}=\dfrac{{q}^{3}}{{p}^{2}{n}^{2}}mg $ ， $ \mathrm{A} $ 正确.

当 $ A $ 、 $ B $ 再次相距最近时, $ A $ 比 $ B $ 多运动一圈,设经过时间 $ t $ 二者再次相距最近,有 $ \dfrac{t}{{T}_{1}}-\dfrac{t}{{T}_{2}}=1 $ ,解得 $ t=\dfrac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}} $ , $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误；当 $ A $ 、 $ B $ 相距最远时, $ A $ 比 $ B $ 多运动 $ \dfrac{n}{2}(n=1,3,5,\cdots ) $ 圈,有 $ \dfrac{t^\prime }{{T}_{1}}-\dfrac{t^\prime }{{T}_{2}}=\dfrac{n}{2}(n=1,3,5,\cdots ) $ ,解得 $ t^\prime =\dfrac{n{T}_{1}{T}_{2}}{2({T}_{2}-{T}_{1})}(n=1,3,5,\cdots ) $ , $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.

设卫星 $ a $ 的轨道半径为 $ {r}_{a} $ ，周期为 $ {T}_{a} $ ，卫星 $ b $ 的轨道半径为 $ {r}_{b} $ ，周期为 $ {T}_{b} $ ，由题图可知 $ {r}_{b}-{r}_{a}=r $ ， $ {r}_{b}+{r}_{a}=3r $ ，联立解得 $ {r}_{a}=r $ ， $ {r}_{b}=2r $ ，根据开普勒第三定律可知 $ \dfrac{{r}_{a}^{3}}{{r}_{b}^{3}}=\dfrac{{T}_{a}^{2}}{{T}_{b}^{2}} $ ，解得 $ {T}_{b}=2\sqrt{2}{T}_{a} $ ，由于二者从相距最近到第一次相距最远的时间间隔 $ \mathrm{\Delta }t=\dfrac{1}{2}T $ ，有 $ (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{a}}-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{b}})\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\pi } $ ，联立解得 $ {T}_{a}=(1-\dfrac{1}{2\sqrt{2}})T $ ，根据万有引力提供向心力可得 $ \dfrac{GMm}{{r}_{a}^{2}}=m{\left(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{a}}\right) ^ {2}}{r}_{a} $ ，代入解得地球质量 $ M=\dfrac{32{\mathrm{\pi }}^{2}{r}^{3}}{(9-4\sqrt{2})G{T}^{2}} $ ，故 $ \mathrm{C} $ 正确.

由题意可知，因为受到月球潮汐的影响，地球自转在持续变慢，则地球自转的角速度变小， $ \mathrm{A} $ 正确；地球赤道上的物体，万有引力提供重力和向心力，有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}-mg=m{\omega }^{2}R $ ，得 $ g=\dfrac{GM}{{R}^{2}}-{\omega }^{2}R $ ，故若地球自转变慢，地球赤道处的重力加速度会变大， $ \mathrm{B} $ 错误；地球上的所有物质满足 $ {m}_{1}\omega {r}_{1}^{2}+{m}_{2}\omega {r}_{2}^{2}+\cdots +{m}_{i}\omega {r}_{i}^{2}= $ 常量，若仅考虑 $ A $ 处的冰川融化，质心下降，则转动半径 $ r $ 减小，角速度 $ \omega $ 变大，则地球自转周期变小， $ \mathrm{C} $ 正确；根据 $ {m}_{1}\omega {r}_{1}^{2}+{m}_{2}\omega {r}_{2}^{2}+\cdots +{m}_{i}\omega {r}_{i}^{2}= $ 常量可知，若仅考虑 $ B $ 处板块向赤道漂移，则板块的转动半径变大，角速度 $ \omega $ 减小，则地球自转周期变大， $ \mathrm{D} $ 错误.

（1） 在地球表面有 $ G\dfrac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g $ ，

根据几何关系可知， $ P $ 的轨道半径为 $ {r}_{P}=\dfrac{R}{ \sin \dfrac{\alpha }{2}} $ ，

卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有

$ G\dfrac{Mm}{{r}_{P}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{{r}_{P}} $ ，

解得 $ v=\sqrt{gR \sin \dfrac{\alpha }{2}} $ .

（2） 由几何关系可知， $ Q $ 的轨道半径为 $ {r}_{Q}=\dfrac{R}{ \sin \dfrac{\theta }{2}} $ ，

卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有

$ G\dfrac{Mm\prime }{{r}_{Q}^{2}}=m^\prime \dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}_{Q}}{{T}_{Q}^{2}} $ ， $ G\dfrac{Mm}{{r}_{P}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}_{P}}{{T}_{P}^{2}} $ ，

解得 $ {T}_{Q}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{R}{g{ \sin }^{3}\frac{\theta }{2}}} $ ， $ {T}_{P}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{R}{g{ \sin }^{3}\frac{\alpha }{2}}} $ ，

设两卫星相邻两次相距最近的时间间隔为 $ t $ ，则有

$ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{P}}t-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{Q}}t=2\mathrm{\pi } $ ，

解得 $ t=\dfrac{2\mathrm{\pi }\sqrt{R}}{\sqrt{g}(\sqrt{{ \sin }^{3}\frac{\alpha }{2}}-\sqrt{{ \sin }^{3}\frac{\theta }{2}})} $ .

不考虑地球自转,其表面的重力加速度为 $ {g}_{0} $ ,则有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0} $ .若考虑地球自转,则其表面纬度为 $ \psi $ 处物体的万有引力垂直于地轴的分力提供自转所需的向心力,另一个分力即为重力,如图所示,根据余弦定理有 $ (mg)^{2}={\left(m{\omega }^{2}R \cos \psi \right) ^ {2}}+{\left(G\dfrac{Mm}{{R}^{2}} \right) ^ {2}}-2m{\omega }^{2}R \cos \psi \cdot G\dfrac{Mm}{{R}^{2}} \cos \psi $ ,联立解得 $ g\approx {g}_{0}(1-\dfrac{{\omega }^{2}R}{{g}_{0}}{ \cos }^{2}\psi ) $ ，故选 $ \mathrm{B} $ .

（1） 探测器围绕月球做匀速圆周运动时有

$ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m{\omega }^{2}r $ ,

解得月球的质量 $ M=\dfrac{{\omega }^{2}{r}^{3}}{G} $ ,

把题图中的数据代入解得 $ M\approx 7.5×{10}^{22}\mathrm{k}\mathrm{g} $ .

（2） 探测器在月球表面所受万有引力等于重力,即

$ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0} $ ,

解得月球表面的重力加速度大小 $ {g}_{0}=\dfrac{GM}{{R}^{2}} $ ,

代入数据解得 $ {g}_{0}\approx 1.7\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ .

（3） 探测器从断崖飞出后做平抛运动,设落到月面的竖直方向的速度大小为 $ {v}_{y} $ ,则 $ {v}_{y}^{2}=2{g}_{0}h $ ,

解得 $ {v}_{y}=3.4\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,

探测器刚落到断崖下方的月面上时的速度大小为 $ v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}\approx 3.8\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,

探测器刚落到断崖下方的月面上时的速度方向与水平方向的夹角 $ \theta $ 的正切值 $ \tan \theta =\dfrac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=2.0 $ .