第4节 宇宙航行

第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,为 $ 7.9\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,也是人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度,故 $ \mathrm{A} $ 错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球引力束缚,成为绕太阳运行或飞向其他行星的人造卫星的最小发射速度,为 $ 11.2\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；人造地球卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度不大于第一宇宙速度,故 $ \mathrm{C} $ 错误；我国发射的火星探测器,其发射速度应大于第二宇宙速度,小于第三宇宙速度,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

根据 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{R} $ ,解得第一宇宙速度为 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}} $ ,因为行星的质量是地球质量的6倍,半径是地球半径的1.5倍,所以行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的2倍,即 $ 16\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .故选 $ \mathrm{B} $ .

在月球表面有 $ G\dfrac{{M}_{月}m}{{r}_{月}^{2}}=m{g}_{月} $ ,解得 $ {g}_{月}=G\dfrac{{M}_{月}}{{r}_{月}^{2}} $ ,同理,可得 $ {g}_{火}=G\dfrac{{M}_{火}}{{r}_{火}^{2}} $ ,所以 $ \dfrac{{g}_{月}}{{g}_{火}}=\dfrac{{M}_{月}}{{M}_{火}}×\dfrac{{r}_{火}^{2}}{{r}_{月}^{2}}=\dfrac{4}{9} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；在月球表面,有 $ m{g}_{月}=m\dfrac{{v}_{月}^{2}}{{r}_{月}} $ ,解得月球的第一宇宙速度为 $ {v}_{月}=\sqrt{{g}_{月}{r}_{月}} $ ,同理可得火星的第一宇宙速度为 $ {v}_{火}=\sqrt{{g}_{火}{r}_{火}} $ ,所以 $ \dfrac{{v}_{月}}{{v}_{火}}=\sqrt{\dfrac{{g}_{月}{r}_{月}}{{g}_{火}{r}_{火}}}=\sqrt{\dfrac{4}{9}×\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；根据周期公式有 $ T=\dfrac{2\mathrm{\pi }r}{v} $ ,可知嫦娥五号绕月球转动的周期与天问一号绕火星转动的周期之比为 $ \dfrac{{T}_{月}}{{T}_{火}}=\dfrac{2\mathrm{\pi }{r}_{月}}{{v}_{月}}×\dfrac{{v}_{火}}{2\mathrm{\pi }{r}_{火}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}}×\dfrac{1}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；开普勒第三定律是对于同一中心天体而言,嫦娥五号与天问一号做圆周运动的中心天体不同,所以嫦娥五号绕月球转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值与天问一号绕火星转动轨道半径的三次方与周期的平方的比值不相等,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力可得 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r}=ma $ ,可得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ , $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,则有 $ \dfrac{{v}_{2}}{{v}_{3}}={(\dfrac{r}{R})}^{\frac{1}{2}} $ , $ \dfrac{{a}_{2}}{{a}_{3}}=\dfrac{{r}^{2}}{{R}^{2}} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误；地球赤道上的物体与同步卫星的角速度和周期相等,故 $ \mathrm{C} $ 正确；根据 $ v=\omega r $ ,可

得 $ \dfrac{{v}_{1}}{{v}_{3}}=\dfrac{R}{r} $ ,则有 $ \dfrac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\dfrac{R}{r}\sqrt{\dfrac{R}{r}} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误.

第一宇宙速度 $ 7.9\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 是卫星的最小发射速度,可知 $ b $ 卫星的发射速度为 $ 7.9\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ \mathrm{A} $ 错误； $ a $ 、 $ c $ 的角速度相等,

根据 $ a={\omega }^{2}r $ 可知 $ {a}_{a} < {a}_{c} $ ,对 $ b $ 、 $ c $ 两颗卫星,根据 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,可知 $ {a}_{b} > {a}_{c} $ ,故 $ {a}_{b} > {a}_{c} > {a}_{a} $ , $ \mathrm{B} $ 错误； $ a $ 、 $ c $ 的角速度相等,周期相等, $ {T}_{a}={T}_{c} $ ,根据开普勒第三定律 $ \dfrac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k $ ,可知 $ {T}_{c} > {T}_{b} $ ,故 $ {T}_{a}={T}_{c} > {T}_{b} $ , $ \mathrm{C} $ 错误； $ a $ 、 $ c $ 的角速度相等,根据 $ v=\omega r $ ,可知 $ {v}_{a} < {v}_{c} $ ,对 $ b $ 、 $ c $ 两颗卫星,根据 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ 可知 $ {v}_{b} > {v}_{c} $ ,故 $ {v}_{b} > {v}_{c} > {v}_{a} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

卫星从高轨道变到低轨道,需点火减速,所以天问三号在 $ A $ 点点火减速进入椭圆轨道2,在 $ B $ 点点火减速进入圆轨道3,故 $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误；根据开普勒第三定律 $ \dfrac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k $ 可知,天问三号在轨道1上运行的周期大于在轨道3上运行的周期,故 $ \mathrm{C} $ 错误；根据万有引力提供向心力有 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,则天问三号在轨道3上运行的线速度大于在轨道1上运行的线速度,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

运载火箭在轨道1运行的速度等于第一宇宙速度,但从轨道1进入轨道2时需要在 $ A $ 点处加速,则有 $ {v}_{A} > {v}_{1} $ ,即在轨道2上的最大速度大于第一宇宙速度, $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误；根据开普勒第三定律得 $ \dfrac{{a}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}=\dfrac{{r}_{3}^{3}}{{T}_{3}^{2}} $ ,其中 $ {a}_{2} < {r}_{3} $ ,故 $ {T}_{2} < {T}_{3} $ , $ \mathrm{C} $ 错误；运载火箭在轨道2和轨道3运动的过程中,均只受万有引力,根据牛顿第二定律得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=ma $ ,得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,则在轨道2上经过 $ B $ 点时的加速度等于在轨道3上经过 $ B $ 点时的加速度, $ \mathrm{D} $ 错误.

天舟七号从近地圆轨道Ⅰ通过加速才能进入霍曼轨道, $ \mathrm{A} $ 正确；天舟七号在轨道Ⅱ上加速后将做离心运动,向着更高的轨道运动,即同轨道上无法实现对接, $ \mathrm{B} $ 错误；天和核心舱在轨道Ⅱ上运动时,万有引力提供向心力,有 $ \dfrac{GMm}{{r}_{2}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{0}^{2}}{r}_{2} $ ,在地球表面有 $ \dfrac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g $ , $ ℎ={r}_{2}-R $ ,解得 $ ℎ=\sqrt[3]{\dfrac{g{R}^{2}{T}_{0}^{2}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}}-R $ , $ \mathrm{C} $ 正确；根据题意可知,天舟七号在霍曼轨道运动时间为在霍曼轨道运动周期的一半,即 $ t=\dfrac{{T}_{x}}{2} $ ,根据开普勒第三定律有 $ \dfrac{{\left(nR \right) ^ {3}}}{{T}_{0}^{2}}=\dfrac{ (nR+R)^{3}}{8{T}_{x}^{2}} $ ,解得 $ t=\dfrac{1}{8}\sqrt{\dfrac{2(n+1)^{3}}{{n}^{3}}}{T}_{0} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

根据 $ v=\omega r $ 得 $ \dfrac{{v}_{4}}{{v}_{2}}=\dfrac{R+5.6R}{R+2.3R}=2 $ , $ \mathrm{B} $ 正确；根据牛顿第二定律得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,所以 $ \dfrac{{v}_{3}}{{v}_{1}}=\sqrt{\dfrac{R}{3.3R}}=\dfrac{1}{\sqrt{3.3}} $ , $ \mathrm{D} $ 错误；根据 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ 得, $ \dfrac{{v}_{3}}{{v}_{4}}=\sqrt{2} $ ,又 $ \dfrac{{v}_{4}}{{v}_{2}}=2 $ ，可得 $ \dfrac{{v}_{3}}{{v}_{2}}=2\sqrt{2} $ , $ \mathrm{C} $ 正确；根据 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ 得, $ \dfrac{{v}_{1}}{{v}_{4}}=\sqrt{6.6} $ ,又 $ \dfrac{{v}_{4}}{{v}_{2}}=2 $ ，可得 $ \dfrac{{v}_{2}}{{v}_{1}}=\dfrac{1}{2\sqrt{6.6}} $ , $ \mathrm{A} $ 错误.

根据 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,宇宙飞船的速度与第一宇宙速度之比 $ \dfrac{{v}_{船}}{{v}_{1}}=\sqrt{\dfrac{R}{R+\dfrac{R}{4}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}} $ ,解得 $ {v}_{船}=2\sqrt{5}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

若地球自转加快,则自转周期减小,地球的同步卫星的周期减小,根据 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,可得 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{r}^{3}}{GM}} $ ,则同步卫星的轨道半径减小,即地球同步卫星的高度要略调低一些, $ \mathrm{A} $ 错误；根据 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{R} $ ,可得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}} $ ,由此可知地球的第一宇宙速度不变, $ \mathrm{B} $ 错误；万有引力的一个分力等于重力，一个分力提供向心力，根据 $ {F}_{向}=m{\omega }^{2}r $ 可知，地球自转加快,则物体所需向心力变大,而万有引力不变,所以北京和衡阳的物体重力减小,方向变化, $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

地球绕中心天体做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,解得 $ r=\sqrt[3]{\dfrac{GM{T}^{2}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}} $ ,则“新太阳时代”的地球公转轨道半径 $ {r}_{1} $ 与现在地球公转轨道半径 $ {r}_{2} $ 之比为 $ \dfrac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\sqrt[3]{\dfrac{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{2} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；由 $ F=G\dfrac{Mm}{{r}^{2}} $ 可得“新太阳时代”的地球所受引力与现在地球所受引力之比为 $ \dfrac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\dfrac{{M}_{1}}{{M}_{2}}\cdot \dfrac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\dfrac{1}{2} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；由万有引力提供向心力可得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,则“新太阳时代”的地球公转速率与现在地球公转速率之比为 $ \dfrac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\dfrac{{M}_{1}}{{M}_{2}}\cdot \dfrac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\dfrac{1}{2} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；由牛顿第二定律可得 $ F=ma $ ,则“新太阳时代”的地球公转加速度与现在地球公转加速度之比为 $ \dfrac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\dfrac{{F}_{1}}{{F}_{2}}=\dfrac{1}{2} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

北斗 $ \mathrm{G}7 $ 卫星在同步静止轨道上,位于赤道平面内,故不能定点于我国上空,故 $ \mathrm{A} $ 错误；由 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,第一宇宙速度为卫星贴近地球表面飞行时的线速度,北斗 $ \mathrm{G}7 $ 卫星的轨道半径大于地球半径,故北斗 $ \mathrm{G}7 $ 卫星的线速度小于第一宇宙速度,故 $ \mathrm{B} $ 错误；由 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=ma $ ,得 $ a=G\dfrac{M}{{r}^{2}} $ ,注入推进剂后,北斗 $ \mathrm{G}7 $ 卫星的加速度大小不变,故 $ \mathrm{C} $ 正确；处在相同轨道上的“实践25号”加速后做离心运动,不可以追上北斗 $ \mathrm{G}7 $ 卫星,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

根据牛顿第二定律得 $ G\dfrac{mM}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,解得 $ T=\sqrt{\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}^{3}}{GM}} $ ,轨道半径越大,周期越大,所以轨道2上飞船的周期大于轨道1上飞船的周期, $ \mathrm{A} $ 正确；根据牛顿第二定律得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=ma $ ,解得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,轨道半径越大,向心加速度越小,所以轨道2上飞船的加速度小于轨道1上飞船的加速度, $ \mathrm{B} $ 错误；根据牛顿第二定律得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m{\omega }^{2}r $ ,解得 $ \omega =\sqrt{\dfrac{GM}{{r}^{3}}} $ ,轨道半径越大,角速度越小,所以轨道2上飞船的角速度小于轨道1上飞船的角速度, $ \mathrm{C} $ 错误；为了完成对接,当轨道2上的飞船运动到 $ B $ 点时,轨道1上的飞船应在 $ A $ 点右侧某位置加速, $ \mathrm{D} $ 错误.

三颗果实与赤道共面且随地球一起自转,可知三颗果实的角速度相等,根据 $ a={\omega }^{2}r $ ,可知果实1的向心加速度最大,故 $ \mathrm{A} $ 错误；由于果实2在地球同步轨道上,可知果实2随地球一起自转所需的向心力刚好等于其受到的万有引力,则果实2成熟自然脱离豆秧后仍与果实1和果实3保持相对静止在原轨道运行,故 $ \mathrm{B} $ 正确；根据 $ a={\omega }^{2}r $ ,可知 $ {a}_{2} > {a}_{3} $ ,对于卫星绕地球做圆周运动，根据牛顿第二定律可得 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=ma $ ,解得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,可知 $ g > {a}_{2} $ ,则果实2、果实3的加速度 $ {a}_{2} $ 、 $ {a}_{3} $ 与地球表面重力加速度 $ g $ 的大小关系为 $ g > {a}_{2} > {a}_{3} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；对于果实2有 $ \dfrac{GM{m}_{2}}{{r}_{2}^{2}}={m}_{2}{\omega }^{2}{r}_{2} $ ,对于果实1有 $ \dfrac{GM{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}} < {m}_{1}{\omega }^{2}{r}_{1} $ ,则果实1成熟自然脱离豆秧后,果实1受到的万有引力不足以提供其所需的向心力,将做离心运动,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

设地球质量为 $ M $ ,卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为 $ r $ 和 $ R $ ,近地卫星Ⅱ的周期为 $ T $ ，卫星Ⅰ为同步卫星，周期为 $ {T}_{0} $ ，根据开普勒第三定律得 $ \dfrac{{r}^{3}}{{T}_{0}^{2}}=\dfrac{{R}^{3}}{{T}^{2}} $ ,由题图得 $ \sin \theta =\dfrac{R}{r} $ ,可得卫星Ⅱ的周期为 $ T={T}_{0}\sqrt{{ \sin }^{3}\theta } $ , $ \mathrm{C} $ 错误；对于卫星Ⅱ,有 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}={m(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T})}^{2}R $ ,地球的平均密度 $ \rho =\dfrac{M}{V}=\dfrac{3M}{4\mathrm{\pi }{R}^{3}} $ ,联立可得地球的平均密度为 $ \rho =\dfrac{3\mathrm{\pi }}{G{T}_{0}^{2}{ \sin }^{3}\theta } $ , $ \mathrm{A} $ 正确；对于不同轨道卫星,根据牛顿第二定律得加速度 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 $ \dfrac{{a}_{Ⅰ}}{{a}_{Ⅱ}}=\dfrac{{R}^{2}}{{r}^{2}}={ \sin }^{2}\theta $ , $ \mathrm{B} $ 错误；若卫星Ⅰ不动,则卫星Ⅱ一个周期内无法接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号的时间为 $ t=\dfrac{2\theta +\mathrm{\pi }}{2\mathrm{\pi }}\cdot T=\dfrac{(\mathrm{\pi }+2\theta ){T}_{0}}{2\mathrm{\pi }}\sqrt{{ \sin }^{3}\theta } $ ,但卫星Ⅰ是运动的, $ \mathrm{D} $ 错误.

由题图可知,两星球表面的重力加速度大小之比和半径之比都是 $ 1:2 $ ,由天体表面万有引力和重力相等可知 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=mg $ ,可得 $ M=\dfrac{g{R}^{2}}{G} $ ,则两星球的质量之比 $ \dfrac{{M}_{P}}{{M}_{Q}}=\dfrac{1}{8} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；密度为 $ \rho =\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^{3}} $ ,可得 $ \rho =\dfrac{3g}{4\mathrm{\pi }GR} $ ,故两星球密度相同,故 $ \mathrm{B} $ 错误；由 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{R}=mg $ ,可得 $ v=\sqrt{gR} $ ,则两星球的第一宇宙速度大小之比 $ \dfrac{{v}_{P}}{{v}_{Q}}=\dfrac{1}{2} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；由万有引力提供向心力可知, $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ，可得 $ r=\sqrt[3]{\dfrac{GM{T}^{2}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}} $ ,则两星球的

同步卫星的轨道半径之比 $ \dfrac{{r}_{P}}{{r}_{Q}}=\dfrac{1}{2} $ ,又因为两星球的半径之比为 $ 1:2 $ ,故同步卫星距星球表面的高度之比也为 $ 1:2 $ ,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

（1） 由 $ L=2\mathrm{\pi }r $ ,可得神舟飞船的轨道半径为 $ r=\dfrac{L}{2\mathrm{\pi }} $ ,

设飞船的质量为 $ m $ ,飞船绕地球做圆周运动,由万有引力提供向心力有 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,联立解得地球的质量 $ M=\dfrac{{L}^{3}}{2\mathrm{\pi }G{T}^{2}} $ .

（2） 设航天员一天能看到日出日落的次数为 $ n $ ,则 $ n=\dfrac{{T}_{0}}{T}=\dfrac{24×60}{90}=16 $ （次）,

飞船转到地球的背影区,航天员就看不到太阳了,如图所示,

由几何关系可知 $ \sin \alpha =\dfrac{R}{r}=\dfrac{2\mathrm{\pi }R}{L}\approx 0.95 $ ,解得 $ \alpha ={71.8}^{\circ } $ ,

则航天员每转一圈,看不到太阳的时间为 $ t=\dfrac{{71.8}^{\circ }×2}{{360}^{\circ }}×90 \min \approx 36 \min $ .