专题6 卫星变轨问题

嫦娥六号没有脱离地球的引力范围,则发射嫦娥六号的速度小于第二宇宙速度, $ \mathrm{A} $ 错误；嫦娥六号在轨道1上运动的半径小于在轨道3上运动的半长轴,根据开普勒第三定律可知,嫦娥六号在轨道1上运动的周期小于在轨道3上运动的周期, $ \mathrm{B} $ 正确；嫦娥六号从轨道1进入轨道2要在 $ A $ 点加速,可知嫦娥六号在轨道1上经过 $ A $ 点时的速度小于在轨道2上经过 $ A $ 点时的速度, $ \mathrm{C} $ 错误；载有月壤样本的返回器在变轨进入地月转移轨道时需要点火加速做离心运动, $ \mathrm{D} $ 错误.

由于我国北斗卫星导航系统的中圆地球轨道卫星绕地球运动,而“天问一号”火星探测器在着陆准备轨道上绕火星运动,中心天体不一样,因此开普勒第三定律不适用, $ \mathrm{A} $ 错误；“天问一号”在 $ A $ 点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要减速,所以需要开启发动机向前喷气, $ \mathrm{B} $ 正确；“天问一号”在环火星圆轨道上 $ A $ 点受到的万有引力和在着陆准备轨道上 $ A $ 点受到的万有引力相同,根据牛顿第二定律有 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}=ma $ ,可知加速度相同, $ \mathrm{C} $ 错误；“天问一号”在火星着陆准备轨道上运行时,根据牛顿第二定律,有 $ \dfrac{GMm}{{a}_{1}^{2}}=m(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{1}})^{2}{a}_{1} $ ,可得火星质量为 $ M=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{a}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

根据开普勒第三定律得 $\dfrac{{\left(\dfrac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}\right) ^ {3}}}{{T}_{2}^{2}}=\dfrac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$ ,解得卫星在椭圆轨道2上运动的周期为 ${T}_{2}={T}_{0}\sqrt{\dfrac{{\left({r}_{1}+{r}_{2}\right) ^ {3}}}{8{r}_{2}^{3}}} {\rm ,A}$ 错误；卫星在轨道1上运动到A点时,加速才能沿轨道2运动,则卫星在轨道2上经过A点的速度大于在轨道1上经过A点的速度,B错误；由题意知某天文爱好者在赤道上1天内观察到17次该卫星沿轨道1掠过其正上方,说明在 $t={T}_{0}$ 的时间内卫星比地球自转多转过的角度为 $\mathrm{\Delta }\theta =16×2\mathrm{\pi }$  ,又 $\mathrm{\Delta }\theta =(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{1}}-\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{0}})×{T}_{0}$ ,解得 ${T}_{1}=\dfrac{1}{17}{T}_{0} {\rm ,C}$ 正确；要使卫星从轨道2变轨至轨道3,在卫星到达B点时,需点火加速,D错误.

设月球质量为 $ M $ ,探测器质量为 $ m $ ,根据 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=ma $ ,解得加速度 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,故探测器在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ上经过 $ P $ 点时的加速度相等,故 $ \mathrm{A} $ 错误；根据开普勒第三定律有 $ \dfrac{{a}^{3}}{{T}^{2}}=k $ ,由于轨道Ⅲ的半径小于轨道Ⅰ的半长轴,所以探测器在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅰ上的小,故 $ \mathrm{B} $ 正确；根据 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,月球的第一宇宙速度是卫星贴近月球表面做匀速圆周运动的速度,探测器在轨道Ⅲ上的轨道半径大于月球半径,可知探测器在轨道Ⅲ上的运行速度比月球的第一宇宙速度小,故 $ \mathrm{C} $ 错误；探测器在轨道Ⅱ上的 $ P $ 点需加速做离心运动才可以进入轨道Ⅰ,所以探测器在轨道Ⅱ上经过 $ P $ 点的速度比在轨道Ⅰ上经过 $ P $ 点时的速度小,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度,近地卫星的轨道半径近似等于地球半径,根据 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,由于轨道Ⅰ的半径大于地球半径,则飞船在轨道Ⅰ的线速度小于第一宇宙速度, $ \mathrm{A} $ 错误；根据 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}r}{{T}^{2}} $ ,解得 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{r}^{3}}{GM}} $ ,由于轨道Ⅰ的半径小于空间站的轨道半径,故飞船在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期, $ \mathrm{B} $ 正确；第一次变轨与第二次变轨均是由低轨道到高轨道,则均需要在切点位置加速, $ \mathrm{C} $ 错误；从椭圆轨道Ⅱ的 $ A $ 点运动到 $ B $ 点,飞船的速度减小,动能减小, $ \mathrm{D} $ 错误.

根据万有引力定律可知卫星所受地球的万有引力大小为 $ F=G\dfrac{Mm}{{r}^{2}} $ ,卫星 $ A $ 和卫星 $ B $ 同轨运行,则环绕半径 $ r $ 相等,但由于两颗卫星质量不同,则受到的万有引力大小不相等,故 $ \mathrm{A} $ 错误；根据万有引力提供向心力可得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得卫星在轨道上运行的速度 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ , $ 7.9\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 是第一宇宙速度,即近地卫星的运行速度,卫星的环绕半径 $ r $ 大于地球半径 $ R $ ,则运行的速度小于 $ 7.9\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；卫星 $ B $ 在同轨道上加速，在该位置所受的万有引力不足以提供卫星 $ B $ 做圆周运动所需的向心力,卫星 $ B $ 会做离心运动,偏离原来的轨道,不能与卫星 $ A $ 对接,故 $ \mathrm{C} $ 错误；卫星在地面上所受的万有引力大小为 $ F^\prime =G\dfrac{Mm}{{R}^{2}} $ ,进入轨道后所受地球万有引力大小 $ F=\dfrac{GMm}{{r}^{2}} $ ,又因为 $ r=R+ℎ=\dfrac{17}{16}R $ ,则卫星进入轨道后所受地球的万有引力大小与它在地面时所受地球的万有引力大小之比为 $ \dfrac{F}{F^\prime }=\dfrac{{R}^{2}}{{r}^{2}}={\left(\dfrac{16}{17}\right) ^ {2}} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确

（1） 根据开普勒第三定律 $ \dfrac{{a}^{3}}{{T}^{2}}=k $ 可知,“天问一号”在地火转移轨道上的运行周期 $ {T}_{探}=\sqrt{{\left(\dfrac{\dfrac{{r}_{火}+{r}_{地}}{2}}{{r}_{地}}\right) ^ {3}}}{T}_{地}=16.5 $ 月,则“天问一号”在地火转移轨道上运行的时间 $ t=\dfrac{{T}_{探}}{2}=8.25 $ 月.

（2） 火星公转周期为 $ {T}_{火}=\sqrt{{\left(\dfrac{{r}_{火}}{{r}_{地}}\right) ^ {3}}}{T}_{地}=21.6 $ 月,

火星运行的时间为 $ t\prime =\dfrac{{180}^{\circ }-\theta }{{360}^{\circ }}{T}_{火} $ ,

要保证“天问一号”正好在远日点与火星相遇,则两者运动的时间相等,有 $ \dfrac{{T}_{探}}{2}=\dfrac{{180}^{\circ }-\theta }{{360}^{\circ }}{T}_{火} $ ,解得 $ \theta ={42.5}^{\circ } $ .

天宫空间站运行过程中因稀薄气体阻力的影响,天宫空间站的机械能减小,天宫空间站轨道高度降低,则与修正前相比,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,故 $ \mathrm{A} $ 错误；根据万有引力提供向心力有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,可得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则速率减小,故 $ \mathrm{B} $ 正确；根据牛顿第二定律有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=ma $ ,可得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则向心加速度减小,故 $ \mathrm{C} $ 错误；根据万有引力提供向心力有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,可得 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{r}^{3}}{GM}} $ ,修正后天宫空间站运行的轨道半径增大,则周期增大,故 $ \mathrm{D} $ 错误.