专题7 卫星的追及、相遇问题

根据开普勒第三定律，可得 $ \dfrac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\dfrac{{R}_{A}^{3}}{{R}_{B}^{3}}}=\dfrac{1}{8} $ ，又 $ {T}_{A}=T $ ，则 $ {T}_{B}=8T $ ，有 $ {\omega }_{A}=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T} $ ， $ {\omega }_{B}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{4T} $ ，设再次相距最近时 $ A $ 、 $ B $ 两卫星转过的角度分别为 $ {\theta }_{A} $ 、 $ {\theta }_{B} $ ,有 $ {\theta }_{A}+{\theta }_{B}=2\mathrm{\pi } $ ，即 $ {\omega }_{A}t+{\omega }_{B}t=2\mathrm{\pi } $ ，代入数据可得 $ t=\dfrac{8}{9}T $ ，故选 $ \mathrm{C} $ .

由万有引力提供向心力有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m{\omega }^{2}r $ ,解得 $ \omega =\sqrt{\dfrac{GM}{{r}^{3}}} $ ,又因为 $ \dfrac{GMm\prime }{{R}^{2}}=m^\prime g $ ,得 $ {\omega }_{a}=\sqrt{\dfrac{g}{R}} $ , $ {\omega }_{b}=\dfrac{1}{8}\sqrt{\dfrac{g}{R}} $ ,根据题意可知 $ {\omega }_{a}t-{\omega }_{b}t=\theta $ ,解得 $ t=\dfrac{8\theta }{7}\sqrt{\dfrac{R}{g}} $ , $ \mathrm{A} $ 正确.

设“天关”卫星周期为 $ {T}_{0} $ ,则它运动到地球另一侧对称点经过的时间 $ \mathrm{\Delta }t=m{T}_{0}+\dfrac{{T}_{0}}{2}=(2m+1)\dfrac{{T}_{0}}{2}(m=0,1,2,3,\cdots ) $ ,设高轨卫星的周期为 $ T $ ,它运动到地球另一侧对称点经过的时间 $ \mathrm{\Delta }t^\prime =nT+\dfrac{T}{2}=(2n+1)\dfrac{T}{2}(n=0,1,2,3,\cdots ) $ ,由于“天关”卫星轨道更低,周期更短,则 $ T > {T}_{0} $ ,它再从高轨卫星下方经过,满足 $ \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }t^\prime $ ,即 $ (2m+1)\dfrac{{T}_{0}}{2}=(2n+1)\dfrac{T}{2} $ , $ m > n $ ,设高轨卫星的轨道半径为 $ r $ ,根据开普勒第三定律有 $ \dfrac{{r}_{0}^{3}}{{r}^{3}}=\dfrac{{T}_{0}^{2}}{{T}^{2}} $ ,则 $ r=\sqrt[3]{{\left(\dfrac{T}{{T}_{0}}\right) ^ {2}}}{r}_{0}=\sqrt[3]{{\left(\dfrac{2m+1}{2n+1}\right) ^ {2}}}{r}_{0} $ ,其中 $ m $ 、 $ n $ 取整数且 $ m > n $ , $ \mathrm{B} $ 符合题意.故 $ \mathrm{B} $ 正确.

卫星绕地球做圆周运动,万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ , $ \alpha $ 轨道半径最小,则 $ \alpha $ 轨道卫星的线速度最大,故 $ \mathrm{A} $ 正确；由于不知道卫星的质量关系,无法比较卫星受到的万有引力大小关系,故 $ \mathrm{B} $ 错误；卫星绕地球做圆周运动,万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=ma $ ,解得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ , $ \beta $ 轨道半径大于 $ \alpha $ 轨道半径,则 $ \beta $ 轨道卫星的向心加速度小于 $ \alpha $ 轨道卫星的向心加速度,故 $ \mathrm{C} $ 错误；某时刻卫星 $ a $ 、 $ b $ 相距最近, $ a $ 卫星比 $ b $ 卫星多转一周即转过的圆心角多 $ 2\mathrm{\pi } $ 时它们再次共线,根据已知参数结合 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}=mg $ 、 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=mr{\omega }^{2} $ ,可以求出 $ a $ 、 $ b $ 卫星的角速度 $ {\omega }_{a} $ 、 $ {\omega }_{b} $ ,根据 $ {\omega }_{a}t-{\omega }_{b}t=2\mathrm{\pi } $ 可以求出它们再次相距最近需要的时间,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 根据开普勒第三定律有 $ \dfrac{{r}_{A}^{3}}{{T}^{2}}=\dfrac{{r}_{B}^{3}}{{T}_{B}^{2}} $ ,又 $ {r}_{A}=4{r}_{B} $ ,解得 $ {T}_{B}=\dfrac{T}{8} $ .

（2） 对地球表面物体,有 $ \dfrac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g $ ,

对卫星 $ A $ 有 $ \dfrac{GM{m}_{A}}{{r}_{A}^{2}}={m}_{A}{r}_{A}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}} $ ,联立解得 $ {r}_{A}=\sqrt[3]{\dfrac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}} $ ,

由题意可知 $ {r}_{B}=\dfrac{1}{4}{r}_{A}=\dfrac{1}{4}\sqrt[3]{\dfrac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}} $ ,

在 $ 0～\dfrac{T}{6} $ 时间内, $ A $ 卫星转过的角度为 $ {\theta }_{1}=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}×\dfrac{T}{6}=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,

B卫星转过的角度为 $ {\theta }_{2}=\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{B}}×\dfrac{T}{6}=\dfrac{8\mathrm{\pi }}{3} $ ,

由几何关系可得,两颗卫星与地球连线之间的夹角（锐角）为 $ \mathrm{\Delta }\theta ={\theta }_{2}-{\theta }_{1}-2\mathrm{\pi }=\dfrac{\mathrm{\pi }}{3} $ ,如图所示,

由余弦定理可得,两颗卫星之间的距离为 $ \mathrm{\Delta }r=\sqrt{{r}_{A}^{2}+{r}_{B}^{2}-2{r}_{A}{r}_{B} \cos \mathrm{\Delta }\theta } $ ,联立解得 $ \mathrm{\Delta }r=\dfrac{\sqrt{13}}{4}\sqrt[3]{\dfrac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}} $ .