第七章素养检测

月—地检验结果证明了地面物体所受引力和天体间引力遵循相同的规律,故 $ \mathrm{A} $ 正确；卡文迪什对引力常量 $ G $ 进行了准确测定,因此他被称为“第一个称出地球质量的人”,故 $ \mathrm{B} $ 错误；根据狭义相对论的时间延缓效应,理论上站在地面上的观察者手里的时钟走过的时间大于 $ 20\mathrm{s} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

由开普勒第三定律得 $ \dfrac{{r}^{3}}{{r}_{同}^{3}}=\dfrac{{T}^{2}}{{T}_{同}^{2}} $ ,可得 $ T={T}_{同}\sqrt{\dfrac{{r}^{3}}{{r}_{同}^{3}}}\approx \sqrt{\dfrac{{6800}^{3}}{{42000}^{3}}}×24\mathrm{h}\approx 1.5\mathrm{h} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

对物体受力分析可知,物体受到支持力和万有引力作用,支持力大小即台秤显示的数值,由牛顿第二定律有 $ 4.5\mathrm{N}-\dfrac{GMm}{{r}^{2}}=ma $ ,又因为 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=mg\prime $ ,地球表面上物体受到的重力等于万有引力,有 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}=mg $ ,其中 $ r=R+h $ ,解得 $ g^\prime =2.5\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{【2} $ ,】 $ h=6.4×{10}^{6}\mathrm{m} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确, $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{C} $ 错误.

以地球球心为圆心,以卫星2此刻到地心的距离为半径作圆,记作轨道3,根据变轨原理可知卫星2在轨道3上的线速度 $ {v}_{3} > {v}_{2} $ ,根据牛顿第二定律,有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,可知轨道半径越小,线速度越大,即 $ {v}_{1} > {v}_{3} $ ,故 $ {v}_{1} > {v}_{2} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；根据牛顿第二定律,有 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=ma $ ,可得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,在题图示位置，卫星2距地心的距离大于卫星1的,则卫星1的向心加速度大,故 $ \mathrm{B} $ 错误；根据万有引力定律可知 $ F=G\dfrac{Mm}{{r}^{2}} $ ,两颗卫星质量不一定相等,分别经过 $ A $ 点时受到的万有引力不一定相等,故 $ \mathrm{C} $ 错误；卫星1圆轨道的半径与卫星2椭圆轨道的半长轴相等,根据开普勒第三定律 $ k=\dfrac{{a}^{3}}{{T}^{2}} $ 可知,两颗卫星的周期相同,不可能相撞,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

探测卫星的向心加速度大小为 $ a=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}×2R}{{\left(2T\right) ^ {2}}}=\dfrac{2{\mathrm{\pi }}^{2}R}{{T}^{2}} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误；由开普勒第三定律有 $ \dfrac{{\left(2R\right) ^ {3}}}{{\left(2T\right) ^ {2}}}=\dfrac{{r}^{3}}{{T}^{2}} $ ,解得同步卫星轨道半径 $ r=\sqrt[3]{2}R $ ,该星球的同步卫星线速度大小为 $ v=\dfrac{2\mathrm{\pi }r}{T}=\dfrac{2\sqrt[3]{2}\mathrm{\pi }R}{T} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；卫星 $ a $ 经过 $ P $ 正上方一次满足 $ \dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}t+\dfrac{2\mathrm{\pi }}{2T}t=2\mathrm{\pi } $ ,解得 $ t=\dfrac{2T}{3} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；对探测卫星有 $ \dfrac{GMm}{{\left(2R\right) ^ {2}}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{\left(2T\right) ^ {2}}}×2R $ ,在星球赤道上有 $ \dfrac{GM{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g+{m}_{0}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}R $ ,联立解得 $ g=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}R}{{T}^{2}} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

太阳观测卫星 $ b $ 运行在晨昏线上空,可24小时不间断对太阳进行观测,其轨道半径小于同步卫星的,根据开普勒第三定律可知，其周期小于24小时,故 $ \mathrm{A} $ 错误； $ a $ 、 $ b $ 、 $ c $ 、 $ d $ 做圆周运动的向心力皆由地球对其的万有引力提供,由 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,可得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,由于 $ {r}_{a} < {r}_{b} < {r}_{c}={r}_{d} $ ,所以 $ {v}_{a} > {v}_{b} > {v}_{c}={v}_{d} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；同步轨道卫星 $ c $ 的周期为24小时,其速度方向与地面上各点线速度方向不同,不可能相对地面静止,故 $ \mathrm{C} $ 错误； $ c $ 与 $ d $ 的周期、加速度大小均相等,但质量关系不清楚,故其所受地球引力未必相等,故 $ \mathrm{D} $ 错误.

设该行星表面的重力加速度为 $ {a}_{0} $ ,由题图可知 $ {a}_{0}=4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ,开始下落瞬间,物体只受万有引力作用,根据万有引力等于重力可知 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}=m{a}_{0} $ ,对于在该行星表面飞行的卫星,根据万有引力提供向心力有 $ \dfrac{GMm\prime }{{R}^{2}}=m^\prime \dfrac{{v}^{2}}{R} $ ,联立得 $ v=\sqrt{{a}_{0}R}=\sqrt{4×4×{10}^{6}}\mathrm{m}/\mathrm{s}=4\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ \mathrm{A} $ 正确, $ \mathrm{B} $ 错误；在行星表面,根据万有引力等于重力有 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}=m{a}_{0} $ ,根据密度公式可知 $ \rho =\dfrac{M}{\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^{3}}=\dfrac{3{a}_{0}}{4\mathrm{\pi }GR}=3.6×{10}^{3}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{3} $ , $ \mathrm{C} $ 错误；根据 $ {v}^{2}=2ax $ ,可知 $ a-x $ 图线与横轴所围面积为 $ \dfrac{{v}^{2}}{2} $ ,可得最大速度为 $ {v}_{\mathrm{m}}=6\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ \mathrm{D} $ 错误.

设 $ P $ 、 $ Q $ 轨道半径分别为 $ {r}_{P} $ 、 $ {r}_{Q} $ ,则有 $ {r}_{P}+{r}_{Q}={L}_{1} $ , $ {r}_{P}-{r}_{Q}={L}_{2} $ ,联立解得 $ {r}_{P}=\dfrac{{L}_{1}+{L}_{2}}{2} $ , $ {r}_{Q}=\dfrac{{L}_{1}-{L}_{2}}{2} $ , $ P $ 、 $ Q $ 做匀速圆周运动的半径之比为 $ \dfrac{{r}_{P}}{{r}_{Q}}=\dfrac{{L}_{1}+{L}_{2}}{{L}_{1}-{L}_{2}} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 错误； $ P $ 、 $ Q $ 绕其球心 $ {O}_{1} $ 、 $ {O}_{2} $ 连线上 $ O $ 点做匀速圆周运动,角速度相等,对 $ P $ 、 $ Q $ ,万有引力提供向心力,则有 $ \dfrac{G{m}_{P}{m}_{Q}}{{L}_{1}^{2}}={m}_{P}{\omega }^{2}{r}_{P} $ , $ \dfrac{G{m}_{P}{m}_{Q}}{{L}_{1}^{2}}={m}_{Q}{\omega }^{2}{r}_{Q} $ ,联立解得 $ {m}_{P}=\dfrac{{r}_{Q}{\omega }^{2}{L}_{1}^{2}}{G} $ , $ {m}_{Q}=\dfrac{{r}_{P}{\omega }^{2}{L}_{1}^{2}}{G} $ ,则 $ {m}_{Q}-{m}_{P}=\dfrac{{\omega }^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}}{G} $ , $ {m}_{Q}+{m}_{P}=\dfrac{{\omega }^{2}{L}_{1}^{3}}{G} $ ,则 $ P $ 、 $ Q $ 的质量之和与质量之差的比值为 $ \dfrac{{m}_{Q}+{m}_{P}}{{m}_{Q}-{m}_{P}}=\dfrac{{L}_{1}}{{L}_{2}} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确； $ P $ 、 $ Q $ 的线速度之和与线速度之差的比值 $ \dfrac{{v}_{P}+{v}_{Q}}{{v}_{P}-{v}_{Q}}=\dfrac{\omega ({r}_{P}+{r}_{Q})}{\omega ({r}_{P}-{r}_{Q})}=\dfrac{\omega {L}_{1}}{\omega {L}_{2}}=\dfrac{{L}_{1}}{{L}_{2}} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 错误；设中心天体质量为 $ M $ ,卫星质量为 $ m $ ,轨道半径为 $ r $ ,则有 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,解得 $ r=\sqrt[3]{\dfrac{GM{T}^{2}}{4{\mathrm{\pi }}^{2}}} $ ,由 $ \mathrm{B} $ 选项可知 $ Q $ 的质量大于 $ P $ 的质量,故 $ P $ 的卫星公转半径更小,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

对卫星 $ A $ 、 $ C $ ，根据万有引力提供向心力,有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ,因为 $ A $ 的轨道半径大于 $ C $ 的轨道半径,所以 $ {v}_{C} > {v}_{A} $ , $ B $ 与 $ A $ 的角速度相等,根据 $ v=r\omega $ ,可知 $ {v}_{A} > {v}_{B} $ ,故 $ A $ 、 $ B $ 、 $ C $ 三者线速度的大小关系为 $ {v}_{C} > {v}_{A} > {v}_{B} $ ,故 $ \mathrm{A} $ 正确；对卫星 $ A $ 、 $ C $ ，根据牛顿第二定律,有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=ma $ ,解得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,因为 $ A $ 的轨道半径大于 $ C $ 的轨道半径,所以 $ {a}_{C} > {a}_{A} $ , $ B $ 与 $ A $ 的角速度相等,根据 $ a=r{\omega }^{2} $ ,可知 $ {a}_{A} > {a}_{B} $ ,故 $ A $ 、 $ B $ 、 $ C $ 三者向心加速度的大小关系为 $ {a}_{C} > {a}_{A} > {a}_{B} $ ,故 $ \mathrm{B} $ 错误；若 $ B $ 突然脱离电梯,因其线速度小于同轨道的卫星的线速度,则所需向心力小于万有引力,将做近心运动,故 $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

飞船需要通过在 $ P $ 点加速做离心运动,才能从停泊轨道进入转移轨道,故 $ \mathrm{A} $ 错误；设天和核心舱的向心加速度大小为 $ a $ ,有 $ G\dfrac{Mm}{{\left(R+h\right) ^ {2}}}=ma $ ,地表物体有 $ G\dfrac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g $ ,解得 $ a={\left(\dfrac{R}{R+h}\right) ^ {2}}g $ ,故 $ \mathrm{B} $ 正确；飞船在停泊轨道运行的周期为 $ T $ ,根据万有引力提供向心力有 $ G\dfrac{Mm\prime }{{R}^{2}}={m^\prime (\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T})}^{2}R $ ,解得 $ M=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}} $ ,则地球的密度为 $ \rho =\dfrac{M}{\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^{3}} $ ,解得 $ \rho =\dfrac{3\mathrm{\pi }}{G{T}^{2}} $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确；设飞船在转移轨道运行的周期为 $ {T}_{1} $ ,由开普勒第三定律有 $ \dfrac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\dfrac{{\left(\dfrac{2R+h}{2}\right) ^ {3}}}{{T}_{1}^{2}} $ ,整理可得 $ {T}_{1}=T\sqrt{{\left(1+\dfrac{h}{2R}\right) ^ {3}}} $ ,故飞船在转移轨道上从 $ P $ 点运行到 $ Q $ 点所需的时间为 $ {T}_{PQ}=\dfrac{1}{2}{T}_{1}=\dfrac{T}{2}\sqrt{{\left(1+\dfrac{h}{2R}\right) ^ {3}}} $ ,故 $ \mathrm{D} $ 正确.

（1） 设月球表面的重力加速度为 $ g $ ,由万有引力等于重力有 $ mg=G\dfrac{Mm}{{R}^{2}} $ ,

由题图乙可知,当探测车速度为0时,探测车对月球表面的压力为 $ a $ ,则有 $ a=mg $ ,

联立可得 $ M=\dfrac{{R}^{2}a}{Gm} $ .

（2） 在月球表面附近,由万有引力提供向心力,可得 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{R} $ ,其中 $ M=\dfrac{{R}^{2}a}{Gm} $ ,可得 $ v=\sqrt{\dfrac{Ra}{m}} $ .

（3） 车对月球表面的压力 $ {F}_{\mathrm{N}} $ 与月球表面对车的支持力等大反向,故探测车在陨石坑最低点处,有 $ {F}_{\mathrm{N}}-mg=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,

即 $ {F}_{\mathrm{N}}=\dfrac{m}{r}{v}^{2}+mg $ ,

由题图乙知 $ \dfrac{m}{r}=\dfrac{b-a}{c} $ ,可得 $ r=\dfrac{mc}{b-a} $ .

（1） 设该星球质量为 $ {M}_{0} $ ,地球质量为 $ {M}_{1} $ ,半径为 $ {R}_{1} $ ,对任意星球表面的物体,万有引力与重力大小相等,则 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=mg $ ,可得 $ g=G\dfrac{M}{{R}^{2}} $ ,

在星球表面平抛一物体,有 $ h=\dfrac{1}{2}g{t}^{2} $ , $ x={v}_{0}t $ ,

解得 $ x={v}_{0}R\sqrt{\dfrac{2h}{GM}} $ ,

设平抛物体在该星球和地球的水平射程分别为 $ {x}_{1} $ 和 $ {x}_{2} $ ,得 $ \dfrac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{{R}_{0}}{{R}_{1}}\sqrt{\dfrac{{M}_{1}}{{M}_{0}}} $ ,代入数据解得 $ {x}_{1}=5\mathrm{m} $ .

（2） 起飞前对探测器有 $ {N}_{1}={m}_{0}{g}_{0} $ ,

在高 $ h $ 处时对探测器根据牛顿第二定律得 $ {N}_{2}-{m}_{0}{g}_{1}={m}_{0}a $ ,

由题意得 $ \dfrac{{N}_{2}}{{N}_{1}}=\dfrac{31}{36} $ , $ a=\dfrac{1}{6}{g}_{0} $ ,联立得 $ {g}_{1}=\dfrac{25}{36}{g}_{0} $ ,

在该星球表面有 $ G\dfrac{{M}_{0}m}{{R}_{0}^{2}}=m{g}_{0} $ ,在高 $ h $ 处有 $ \dfrac{G{M}_{0}m}{({R}_{0}+h)^{2}}=m{g}_{1} $ ,

联立可得 $ \dfrac{{g}_{0}}{{g}_{1}}=\dfrac{({R}_{0}+h)^{2}}{{R}_{0}^{2}} $ ,解得 $ h=\dfrac{{R}_{0}}{5} $ .

（1） 由万有引力提供向心力有 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ,

解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}(r > R) $ .

（2） 设螺旋星系的半径为 $ R^\prime $ ,质量为 $ M^\prime $ ，对星系最外端质量为 $ m $ 的物质，由万有引力提供向心力,得 $ G\dfrac{M^\prime m}{R{\prime }^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{0}^{2}}R^\prime $ ,解得 $ M^\prime =\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}R{\prime }^{3}}{G{T}_{0}^{2}} $ ,

体积为 $ V=\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }R{\prime }^{3} $ ,则该螺旋星系不会瓦解的最小密度为 $ \rho =\dfrac{M^\prime }{V}=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}R{\prime }^{3}}{G{T}_{0}^{2}}×\dfrac{3}{4\mathrm{\pi }R{\prime }^{3}}=\dfrac{3\mathrm{\pi }}{G{T}_{0}^{2}} $ .

（3） 在 $ r⩽ R $ 区域星系的质量 $ {M}_{0}=\dfrac{M}{\dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}^{3}}\cdot \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{r}^{3}=\dfrac{M{r}^{3}}{{R}^{3}} $ ，对 $ P $ 处的恒星，由万有引力提供向心力得 $ G\dfrac{{M}_{0}m}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,解得 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{R}^{3}}{GM}} $ .

（1） 由万有引力定律有 $ F=G\dfrac{Mm}{{r}^{2}} $ ,

对地球有 $ {F}_{地}=G\dfrac{M{m}_{地}}{{r}_{地}^{2}} $ ,对土星有 $ {F}_{土}=G\dfrac{M{m}_{土}}{{r}_{土}^{2}} $ ,

联立得 $ \dfrac{{F}_{地}}{{F}_{土}}=\dfrac{{m}_{地}}{{m}_{土}}×\dfrac{{r}_{土}^{2}}{{r}_{地}^{2}}=0.95 $ .

（2） 行星绕太阳转动,万有引力提供向心力,可得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m{\left(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}\right) ^ {2}}r $ ,得 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{r}^{3}}{GM}} $ ,代入数据得土星的公转周期 $ {T}_{土}=\sqrt{\dfrac{{r}_{土}^{3}}{{r}_{地}^{3}}}{T}_{地}\approx 29 $ 年,

设每隔时间 $ t $ 出现一次土星冲日,则有 $ ({\omega }_{地}-{\omega }_{土})t=2\mathrm{\pi } $ ,

$ \omega =\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T} $ ,整理可得 $ t=\dfrac{{T}_{地}{T}_{土}}{{T}_{土}-{T}_{地}}=\dfrac{29×1}{29-1} $ 年 $ =1.04 $ 年.

（3） 在地球表面上有 $ G\dfrac{{m}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}=m{g}_{地} $ ,在土星表面上有 $ G\dfrac{{m}_{土}m}{{R}_{土}^{2}}=m{g}_{土} $ ,联立得 $ \dfrac{{g}_{地}}{{g}_{土}}=\dfrac{{m}_{地}}{{R}_{地}^{2}}×\dfrac{{R}_{土}^{2}}{{m}_{土}}=0.95 $ ,

设航天员在土星上举起物体的质量为 $ m^\prime $ ,则 $ m{g}_{地}=m^\prime {g}_{土} $ ,

可得 $ m^\prime =0.95m $ .