第七章高考强化

行星绕恒星做匀速圆周运动,恒星对行星的万有引力提供其做圆周运动的向心力,则 $ G\dfrac{{M}_{恒}{m}_{行}}{{r}_{行}^{2}}={m}_{行}\frac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{行}^{2}}{r}_{行} $ , $ {T}_{行}=\sqrt{\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}_{行}^{3}}{G{M}_{恒}}} $ ,则 $ \dfrac{{T}_{行}}{{T}_{地}}=\sqrt{\dfrac{{r}_{行}^{3}{M}_{日}}{{r}_{地}^{3}{M}_{恒}}}=\sqrt{\dfrac{1}{{14}^{3}}×\dfrac{7}{2}}=\dfrac{1}{28} $ , $ {T}_{行}=\dfrac{1}{28}{T}_{地}\approx 13 $ 天, $ \mathrm{A} $ 正确.

由题意可知, $ {r}_{甲} < {r}_{乙} $ ,根据万有引力提供向心力,可得 $ \dfrac{GMm}{{r}^{2}}=\dfrac{m{v}^{2}}{r}=m{\omega }^{2}r=m{\left(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}\right) ^ {2}}r=ma $ ,则 $ {T}_{甲} < {T}_{乙} $ , $ {v}_{甲} > {v}_{乙} $ , $ {\omega }_{甲} > {\omega }_{乙} $ , $ {a}_{甲} > {a}_{乙} $ , $ \mathrm{A} $ 正确.

由题意可知,卫星和月球在同一轨道绕地球运动,根据万有引力提供向心力有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=\dfrac{m{v}^{2}}{R} $ ,得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{R}} $ ,可知卫星和月球的速度大小相等,质量无法比较, $ \mathrm{A} $ 错误；由万有引力定律可知 $ F=G\dfrac{Mm}{{r}^{2}} $ ,且卫星的质量不一定等于月球的质量,故两者所受万有引力大小不一定相等,卫星与月球的向心力由万有引力提供,故向心力大小不一定相等, $ \mathrm{B} $ 、 $ \mathrm{D} $ 错误；由牛顿第二定律得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=ma $ ,解得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,故该卫星与月球的向心加速度大小相等, $ \mathrm{C} $ 正确.

设卫星质量为 $ m $ ,卫星在同步轨道运行时,根据牛顿第二定律有 $ G\dfrac{Mm}{{\left(R+h\right) ^ {2}}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{0}^{2}}(R+h) $ ,得 $ M=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}(R+h)^{3}}{G{T}_{0}^{2}} $ ,卫星在小行星表面附近绕其做匀速圆周运动时有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{1}^{2}}R $ ,得 $ M=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{1}^{2}} $ ,联立可得 $ R=\dfrac{{T}_{1}^{\dfrac{2}{3}}}{{T}_{0}^{\dfrac{2}{3}}-{T}_{1}^{\dfrac{2}{3}}}h $ ,所以 $ a={T}_{1} $ , $ b={T}_{0} $ , $ c={T}_{1} $ , $ \mathrm{A} $ 正确.

由牛顿第二定律 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}r}{{T}^{2}} $ ,解得 $ M=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}} $ ,根据开普勒第三定律 $ \dfrac{{a}^{3}}{{T}^{2}}=k $ 可知,该中继星绕月球运行时,对于半长轴为 $ a $ 的椭圆轨道与半径为 $ a $ 的圆轨道,卫星的运行周期相同,均为24小时,解得 $ \dfrac{{M}_{月}}{{M}_{地}}=\dfrac{{a}^{3}}{{r}^{3}} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

星体做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{r} $ ，解得 $ v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} $ ，可知彗星在近日点处圆轨道上的速度大于地球绕太阳的公转速度，彗星在圆轨道上近日点加速到达椭圆轨道，因此彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度， $ \mathrm{A} $ 错误；由开普勒第二定律知，从 $ b $ 运行到 $ c $ 的过程中彗星速度一直减小，故动能一直减小， $ \mathrm{B} $ 错误；根据开普勒第二定律可知，彗星与太阳的连线经过相同的时间扫过的面积相同，根据 $ {S}_{1} > {S}_{2} $ 可知，彗星从 $ a $ 运行到 $ b $ 的时间大于从 $ c $ 运行到 $ d $ 的时间， $ \mathrm{C} $ 正确；由牛顿第二定律得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=ma $ ，解得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ，则彗星在近日点的加速度 $ {a}_{1} $ 与地球的加速度 $ {a}_{2} $ 比值为 $ \dfrac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\dfrac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\dfrac{1}{0.36} $ ， $ \mathrm{D} $ 错误．

地球绕太阳公转的周期 $ T=1 $ 年,轨道半径为 $ r $ ,则小行星轨道的半长轴 $ a=\dfrac{5r+7r}{2}=6r $ ,根据开普勒第三定律有 $ \dfrac{{T}_{1}^{2}}{{T}^{2}}=\dfrac{{a}^{3}}{{r}^{3}} $ ,解得 $ {T}_{1}=\sqrt{\dfrac{{a}^{3}}{{r}^{3}}}T=\sqrt{{6}^{3}}T=6\sqrt{6} $ 年, $ \mathrm{A} $ 错误；小行星从远日点到近日点离太阳距离越来越小,所受太阳引力越来越大, $ \mathrm{B} $ 错误；小行星从远日点到近日点,万有引力做正功,速度增大, $ \mathrm{C} $ 错误；由 $ F=\dfrac{GMm}{{r}^{2}}=ma $ 得 $ a=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,则小行星在近日点加速度与地球公转加速度之比为 $ \dfrac{{a}_{近}}{{a}_{地}}=\dfrac{{r}^{2}}{(5r)^{2}}=\dfrac{1}{25} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

由万有引力定律得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=mg $ ,可得 $ g=\dfrac{GM}{{r}^{2}} $ ,则 $ \dfrac{{g}_{火}}{g}=\dfrac{{M}_{火}}{{M}_{地}}\cdot \dfrac{{r}_{地}^{2}}{{r}_{火}^{2}}=0.1×\dfrac{1}{{0.5}^{2}}=0.4 $ ,解得 $ {g}_{火}=0.4g $ ,由匀变速直线运动规律得,着陆器的加速度大小 $ a=\dfrac{{v}_{0}}{{t}_{0}} $ ,由牛顿第二定律得 $ F-m{g}_{火}=ma $ ,联立解得 $ F=m(0.4g+\dfrac{{v}_{0}}{{t}_{0}}) $ , $ \mathrm{B} $ 正确.

根据万有引力提供向心力有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m\dfrac{{v}^{2}}{R} $ ,在星球表面有 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=mg $ ,解得 $ v=\sqrt{gR} $ ,又 $ {g}_{月}=\dfrac{1}{6}{g}_{地} $ , $ {R}_{月}=\dfrac{1}{4}{R}_{地} $ ,则返回舱在月球表面的飞行速度 $ {v}_{月}=\sqrt{\dfrac{1}{24}}{v}_{地} $ ,返回舱相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度, $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；设返回舱绕星球飞行周期为 $ T $ ,由万有引力提供向心力得 $ G\dfrac{Mm}{{R}^{2}}=m{\left(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{T}\right) ^ {2}}R $ ,在星球表面附近有 $ \dfrac{GMm}{{R}^{2}}=mg $ ,联立可得周期 $ T=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{{R}^{3}}{GM}}=2\mathrm{\pi }\sqrt{\dfrac{R}{g}} $ ,则 $ \dfrac{{T}_{月}}{{T}_{地}}=\sqrt{\dfrac{{R}_{月}}{{R}_{地}}\cdot \dfrac{{g}_{地}}{{g}_{月}}}=\sqrt{\dfrac{3}{2}} $ , $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

由题意可知,相邻两次信号最强的时间间隔为 $ t=\dfrac{T}{2} $ ,由 $ \dfrac{t}{{T}_{卫}}-\dfrac{t}{T}=1 $ ,可得 $ {T}_{卫}=\dfrac{T}{3} $ ,由 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}_{卫}^{2}}r $ 得 $ r=\sqrt[3]{\dfrac{GM{T}^{2}}{36{\mathrm{\pi }}^{2}}} $ , $ \mathrm{A} $ 正确.

鹊桥二号围绕月球做椭圆运动,从 $ A\to C\to B $ 做减速运动,从 $ B\to D\to A $ 做加速运动,所以从 $ C\to B\to D $ 的运动时间大于半个周期,即大于12小时, $ \mathrm{A} $ 错误；在 $ A $ 点,根据牛顿第二定律,有 $ G\dfrac{Mm}{{r}_{OA}^{2}}=m{a}_{A} $ ,在 $ B $ 点,根据牛顿第二定律,有 $ G\dfrac{Mm}{{r}_{OB}^{2}}=m{a}_{B} $ ,联立并代入数据可得鹊桥二号在 $ A $ 、 $ B $ 两点的加速度大小之比约为 $ {a}_{A}:{a}_{B}=81:1 $ , $ \mathrm{B} $ 正确；根据物体做曲线运动时速度方向沿该点的切线方向,可知鹊桥二号在 $ C $ 、 $ D $ 两点的速度方向不垂直于其与月心的连线, $ \mathrm{C} $ 错误；鹊桥二号发射后围绕月球沿椭圆轨道运动,并未脱离地球引力束缚,也在围绕地球运动,所以鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于 $ 7.9\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 且小于 $ 11.2\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{s} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

卫星甲和卫星乙均绕月球运动,周期相同,根据开普勒第三定律可知,卫星甲运动的轨道的半长轴与卫星乙运动的轨道半径相同,即 $ \dfrac{a+b+2R}{2}=r $ ,可得 $ r=\dfrac{a+b}{2}+R $ , $ \mathrm{A} $ 错误, $ \mathrm{B} $ 正确；卫星乙绕月球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力,可得 $ G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}=m\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}}{{T}^{2}}r $ ,解得 $ M=\dfrac{4{\mathrm{\pi }}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}} $ , $ \mathrm{C} $ 正确, $ \mathrm{D} $ 错误.

设月球与地球的距离为 $ {r}_{1} $ ,月球半径为 $ {R}_{1} $ ,地球与太阳距离为 $ {r}_{2} $ ,太阳的半径为 $ {R}_{2} $ ．

等量关系一：月球绕地球运动,有 $ \dfrac{G{M}_{\mathrm{地}}{M}_{\mathrm{月}}}{{r}_{1}^{2}}={M}_{\mathrm{月}}{\left(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{1}}\right) ^ {2}}{r}_{1} $ ,地球绕太阳运动,有 $ \dfrac{G{M}_{\mathrm{地}}{M}_{\mathrm{太}}}{{r}_{2}^{2}}={M}_{\mathrm{地}}{\left(\dfrac{2\mathrm{\pi }}{{T}_{2}}\right) ^ {2}}{r}_{2} $ ,两式联立有 $ \dfrac{{M}_{\mathrm{地}}}{{M}_{\mathrm{太}}}=\dfrac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}\cdot \dfrac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}} $ ．

等量关系二：星体的质量等于密度与体积的乘积,有 $ {M}_{\mathrm{地}}={\rho }_{\mathrm{地}}\cdot \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }(k{R}_{1})^{3} $ 、 $ {M}_{\mathrm{太}}={\rho }_{\mathrm{太}}\cdot \dfrac{4}{3}\mathrm{\pi }{R}_{2}^{3} $ ,两式联立有 $ \dfrac{{M}_{\mathrm{地}}}{{M}_{\mathrm{太}}}=\dfrac{{\rho }_{\mathrm{地}}}{{\rho }_{\mathrm{太}}}\cdot {k}^{3}\cdot \dfrac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}} $ ．

等量关系三：由角直径相等,结合相似三角形可得 $ \dfrac{{R}_{1}}{{r}_{1}}=\dfrac{{R}_{2}}{{r}_{2}} $ ．

联立上述等量关系式,解得 $ \dfrac{{\rho }_{\mathrm{地}}}{{\rho }_{\mathrm{太}}}=\dfrac{1}{{k}^{3}}\cdot {\left(\dfrac{{T}_{2}}{{T}_{1}}\right) ^ {2}} {\rm ,D} $ 正确．

将该球视为一个密度为 $ {\rho }_{0} $ 、质量为 $ M $ 的小球叠加一个密度为 $ {\rho }_{0} $ 、质量为 $ \dfrac{M}{2} $ 的右半球,设质量为 $ \dfrac{M}{2} $ 的右半球对 $ B $ 处的质点引力大小为 $ {F}_{0} $ ,则有 $ F=G\dfrac{Mm}{{r}^{2}}+{F}_{0} $ .将该球视为一个密度为 $ 2{\rho }_{0} $ 、质量为 $ 2M $ 的小球去掉一个密度为 $ {\rho }_{0} $ 、质量为 $ \dfrac{M}{2} $ 的左半球,根据对称性可知该左半球对 $ A $ 处的质点引力大小也为 $ {F}_{0} $ ,整个球对 $ A $ 处的质点引力大小为 $ {F}_{1}=G\dfrac{2Mm}{{r}^{2}}-{F}_{0}=G\dfrac{2Mm}{{r}^{2}}-(F-G\dfrac{Mm}{{r}^{2}})=G\dfrac{3Mm}{{r}^{2}}-F $ ,其中 $ M={\rho }_{0}\frac{4\mathrm{\pi }{R}^{3}}{3} $ ,解得 $ {F}_{1}=\dfrac{4\mathrm{\pi }G{R}^{3}{\rho }_{0}m}{{r}^{2}}-F $ ,故 $ \mathrm{C} $ 正确.

为使探测器成为沿地球轨道运行的人造行星,在地球表面的发射速度应大于等于第二宇宙速度, $ \mathrm{A} $ 错误；根据开普勒第三定律得 $ \dfrac{{T}_{火}^{2}}{{R}_{M}^{3}}=\dfrac{{T}_{地}^{2}}{{R}_{0}^{3}} $ ,解得 $ {T}_{火}\approx 671 $ 天, $ \mathrm{B} $ 正确;椭圆轨道的半长轴 $ a=\dfrac{{R}_{0}+1.5{R}_{0}}{2}=1.25{R}_{0} $ ,根据开普勒第三定律得 $ \dfrac{{T}_{椭}^{2}}{{a}^{3}}=\dfrac{{T}_{地}^{2}}{{R}_{0}^{3}} $ ,探测器沿椭圆轨道从地球轨道转移到火星轨道所用的时间约为 $ t=\dfrac{{T}_{椭}}{2}\approx 255 $ 天, $ \mathrm{C} $ 错误；从探测器点火到追上火星的过程中，火星转过的圆心角为 $ \alpha =\dfrac{t}{{T}_{火}}×{360}^{\circ }\approx {137}^{\circ } $ ,则 $ \theta ={180}^{\circ }-{137}^{\circ }={43}^{\circ } $ , $ \mathrm{D} $ 正确.