专题12 质点系物体的机械能守恒

一、刷难关

1．如图所示，一个粗细均匀的 $ \mathrm{U} $ 形管内装有同种液体，管口右端用盖板 $ A $ 密闭，两液面的高度差为 $ ℎ $ ， $ \mathrm{U} $ 形管内液柱的总长度为 $ 4ℎ $ ,重力加速度为 $ g $ .现拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（      ）

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A． $ \sqrt{\dfrac{1}{2}gℎ} $

B． $ \sqrt{\dfrac{1}{4}gℎ} $

C． $ \sqrt{\dfrac{1}{6}gℎ} $

D． $ \sqrt{\dfrac{1}{8}gℎ} $

答案：D
解析：

本题中,两液面高度相等时所减小的重力势能,可以等效成将原状态的右侧上部长度为 $ \dfrac{ℎ}{2} $ 的液柱移动到左侧上部的位置所减少的重力势能,如图所示.设高为 $ ℎ $ 的液柱质量为 $ m $ ,根据机械能守恒定律有 $ \dfrac{mg}{2}×\dfrac{ℎ}{2}=\dfrac{1}{2}×4m{v}^{2} $ ,解得 $ v=\sqrt{\dfrac{1}{8}gℎ} $ , $ \mathrm{D} $ 正确.

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2．如图所示，有一条柔软的质量为 $ m $ 、长为 $ L $ 的均匀链条，开始时链条的 $ \dfrac{2}{3} $ 在水平桌面上，而 $ \dfrac{1}{3} $ 垂于桌外，用外力使链条静止.不计一切摩擦，桌子足够高，重力加速度为 $ g $ .下列说法正确的是（      ）

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A．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度大小 $ v=\sqrt{gL} $

B．若自由释放链条，则链条刚离开桌面时的速度大小 $ v=\dfrac{2}{3}\sqrt{2gL} $

C．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 $ \dfrac{mgL}{3} $

D．若要把链条全部拉回桌面上，至少要对链条做功 $ \dfrac{mgL}{18} $

答案：BD
解析：

若自由释放链条,以桌面为零重力势能参考平面,根据机械能守恒定律可得 $ -\dfrac{m}{3}g\cdot \dfrac{L}{6}=-mg\dfrac{L}{2}+\dfrac{1}{2}m{v}^{2} $ ,解得链条刚离开桌面时的速度大小为 $ v=\dfrac{2}{3}\sqrt{2gL} $ , $ \mathrm{B} $ 正确, $ \mathrm{A} $ 错误；若要把链条全部拉回桌面上,至少要对链条做的功等于垂于桌外 $ \dfrac{L}{3} $ 链条增加的重力势能,则有 $ {W}_{ \min }=\dfrac{m}{3}g\cdot \dfrac{L}{6}=\dfrac{mgL}{18} $ , $ \mathrm{C} $ 错误, $ \mathrm{D} $ 正确.

3．如图所示，两侧倾角均为 $ {30}^{\circ } $ 的斜劈固定在水平地面上，将质量为 $ m $ 、长为 $ L $ 的光滑金属链条放在斜劈顶端，左右两侧链条长度之比为 $ 1:2 $ .已知两斜面的长度均为 $ 2L $ ，两侧链条与斜劈的截面在同一竖直平面内，重力加速度为 $ g $ .某时刻将链条由静止释放，当链条下端到达斜劈底端时，链条的速度大小为（      ）

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A． $ \dfrac{\sqrt{11gL}}{6} $

B． $ \dfrac{\sqrt{11gL}}{3} $

C． $ \dfrac{\sqrt{13gL}}{6} $

D． $ \dfrac{\sqrt{22gL}}{3} $

答案：B
解析：

链条从静止至左侧斜面上的链条刚好完全滑到右侧斜面时,重力势能减少 $ \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}1}=\dfrac{2}{3}mg\cdot \dfrac{L}{3} \sin {30}^{\circ }=\dfrac{1}{9}mgL $ ,然后链条下端到达斜劈底端过程重力势能减少 $ \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}2}=mg\cdot L \sin {30}^{\circ }=\dfrac{1}{2}mgL $ ,设链条运动至底端的速度大小为 $ v $ ,由机械能守恒定律得 $ \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}1}+\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}2}=\dfrac{1}{2}m{v}^{2} $ ,解得 $ v=\dfrac{\sqrt{11gL}}{3} $ ,故选 $ \mathrm{B} $ .

4．长为 $ 6L $ 、质量为 $ 6m $ 的匀质绳，置于特制的水平桌面上，绳的一端悬垂于桌边外，另一端系有一个可视为质点的质量为 $ M $ 的木块，如图所示.木块在 $ AB $ 段与桌面无摩擦，在 $ BE $ 段与桌面有摩擦，匀质绳与桌面的摩擦可忽略.初始时刻用手按住木块使其停在 $ A $ 处，绳处于绷紧状态， $ AB=BC=CD=DE=L $ ，放手后，木块最终停在 $ C $ 处.桌面距地面高度大于 $ 6L $ ,重力加速度为 $ g $ .

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（1） 求木块刚滑至 $ B $ 点时的速度大小 $ v $ 和木块与桌面 $ BE $ 段间的动摩擦因数 $ \mu $ ；

（2） 若木块在 $ BE $ 段与桌面间的动摩擦因数变为 $ \mu \prime =\dfrac{21m}{4M} $ ，则木块最终停在何处？

（3） 是否存在一个 $ \mu $ 值，能使木块从 $ A $ 处放手后，最终停在 $ E $ 处，且不再运动？若存在，求出该 $ \mu $ 值；若不存在，简要说明理由.

答案：

（1） $ \sqrt{\dfrac{5mgL}{M+6m}} $ $ \dfrac{6m}{M} $

（2） $ D $ 处

（3） 不存在,理由见解析

解析：

（1） 木块从 $ A $ 处释放后滑至 $ B $ 点的过程中,由机械能守恒定律得 $ 3mg×\dfrac{3}{2}L-2mgL=\dfrac{1}{2}(M+6m){v}^{2} $ ,解得木块滑至 $ B $ 点时的速度大小 $ v=\sqrt{\dfrac{5mgL}{M+6m}} $ ,木块从 $ A $ 处滑至 $ C $ 点的过程中,由功能关系得 $ 4mg×2L-2mgL=\mu MgL $ ,解得 $ \mu =\dfrac{6m}{M} $ .

（2） 若 $ \mu \prime =\dfrac{21m}{4M} < \mu $ ,设木块能从 $ B $ 点向右滑动 $ x $ 最终停止,由功能关系得 $ \dfrac{3L+x}{L}\cdot mg\dfrac{3L+x}{2}-2mgL=\mu \prime Mgx $ ,将 $ \mu \prime =\dfrac{21m}{4M} $ 代入整理得 $ 2{x}^{2}-9Lx+10{L}^{2}=0 $ ,解得 $ x=2L(x=2.5L $ 不合题意舍去 $ ) $ ,即木块将从 $ B $ 点再滑动 $ 2L $ 最终停在 $ D $ 处.

（3） 不存在符合要求的 $ \mu $ 值,即不可能使木块从 $ A $ 处放手后最终停在 $ E $ 处且不再运动.

解法一：设满足此条件的动摩擦因数为 $ \mu ″ $ ,有 $ 6mg\cdot 3L-2mgL=\mu ″Mg\cdot 3L $ ,解得 $ \mu ″=\dfrac{16m}{3M} $ ,

因为 $ \mu ″ > \mu \prime $ ,所以不存在满足此条件的动摩擦因数.

解法二：当 $ \mu =\dfrac{6m}{M} $ 时,若木块滑至 $ E $ 点,恰好有 $ f=\mu Mg=6mg $ ,此时绳全部悬于桌边外,对木块的拉力恰好也为 $ 6mg $ ,而从（2）的结果知,要使木块继续向 $ E $ 点滑行,必须再减小 $ \mu $ 值,因而木块尚未滑至 $ E $ 点时,木块所受滑动摩擦力已与悬绳拉力相等,此时,再向 $ E $ 点滑行时,悬绳对木块的拉力将大于木块受到的滑动摩擦力,木块有向右的加速度,因此不可能保持静止状态，故不存在满足条件的动摩擦因数.