1．某同学设计图甲所示的装置验证机械能守恒定律，其中释放点正下方有光电门1、2，光电门1固定，光电门2可上下调节，该同学从释放点静止释放直径为 $ d $ 的小球，记录小球通过光电门1的时间 $ \mathrm{\Delta }{t}_{1} $ 和通过光电门2的时间 $ \mathrm{\Delta }{t}_{2} $ ，当地重力加速度为 $ g $ .
（1） 为提高实验的精确度，释放的小球应选择 .
A．小钢球B．塑料球C．泡沫球
（2） 小球通过光电门2的速度大小 $ v= $ .（用题中字母表示）
（3） 光电门1、2中心间的距离为 $ ℎ $ ，根据实验数据作出 $ {v}^{2}-ℎ $ 图像如图乙所示，斜率为 .
（4） 某次实验中，调整光电门2的位置后将其固定，从释放点两次释放小球，光电门2的遮光时间 $ \mathrm{\Delta }{t}_{2} $ 有较大偏差，产生该现象的原因可能是 .
答案：（1） A
（2） $ \dfrac{d}{\mathrm{\Delta }{t}_{2}} $
（3） $ 2g $
（4） 小球经过光电门2时球心未经过光电门中心
解析：（1） 为提高实验的精确度,减小空气阻力的影响,则释放的小球应选择小钢球,故选 $ \mathrm{A} $ .
（2） 小球通过光电门2的速度大小为 $ v=\dfrac{d}{\mathrm{\Delta }{t}_{2}} $ .
（3） 由机械能守恒定律知,小球运动过程中减少的重力势能等于增加的动能,则有 $ mgℎ=\dfrac{1}{2}m{v}^{2}-\dfrac{1}{2}m{v}_{0}^{2} $ ,整理得 $ {v}^{2}={v}_{0}^{2}+2gℎ $ ,则 $ {v}^{2}-ℎ $ 图像的斜率为 $ 2g $ .
（4） 产生该现象的原因可能是小球经过光电门2时球心未经过光电门中心.
2．实验室中可以利用图1装置做“验证机械能守恒定律”实验.
图1
（1） 为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的 .
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量与势能变化量
C．速度变化量的平方与高度变化量
（2） 除带夹子的重物、纸带、铁架台（含铁夹）、电磁打点计时器、导线外，在下列器材中，还必须使用的两种器材是 （填选项前的字母）.
A．交流电源B．天平（含砝码）C．刻度尺
（3） 实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带.在纸带上选取三个连续打出的点 $ A $ 、 $ B $ 、 $ C $ ，测得它们到起始点 $ O $ 的距离分别为 $ {ℎ}_{A} $ 、 $ {ℎ}_{B} $ 、 $ {ℎ}_{C} $ .已知当地重力加速度为 $ g $ ，打点计时器打点的周期为 $ T $ .设重物的质量为 $ m $ .从打 $ O $ 点到打 $ B $ 点的过程中，重物的重力势能减少量为 ，动能增加量为 （用题中字母表示）.
图2
（4） 某小组先后用两个不同的重物进行实验，实验操作规范.多次记录下落的高度 $ ℎ $ 和对应的速度大小 $ v $ ，分别作出 $ {v}^{2}-ℎ $ 图像如图3所示.请分析说明两条图线斜率不同的原因 ，并指出选择哪条图线验证机械能守恒定律误差更小 （填“图线 $ M $ ”或“图线 $ N $ ”）.
图3
答案：（1） A
（2） AC
（3） $ mg{ℎ}_{B} $ ； $ \dfrac{m({ℎ}_{C}-{ℎ}_{A})^{2}}{8{T}^{2}} $
（4） 见解析；图线 $ M $
解析：（1） 为验证机械能是否守恒,需要比较重物下落过程中任意两点间的动能变化量与势能变化量.故选 $ \mathrm{A} $ .
（2） 电磁打点计时器需要使用低压交流电源,需要用刻度尺测量纸带上计数点之间的距离；由于验证机械能守恒的表达式中,重物的质量可以约去,所以不需要用天平测质量.故选 $ \mathrm{A} $ 、 $ \mathrm{C} $ .
（3） 从打 $ O $ 点到打 $ B $ 点的过程中,重物的重力势能减少量 $ \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}}=mg{ℎ}_{B} $ ,打 $ B $ 点时,重物的速度大小为 $ {v}_{B}=\dfrac{{x}_{AC}}{2T}=\dfrac{{ℎ}_{C}-{ℎ}_{A}}{2T} $ ,则从打 $ O $ 点到打 $ B $ 点的过程中,重物的动能增加量 $ \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0=\dfrac{m({ℎ}_{C}-{ℎ}_{A})^{2}}{8{T}^{2}} $ .
（4） 设重物质量为 $ m $ ,阻力为 $ f $ ,根据动能定理有 $ (mg-f)ℎ=\dfrac{1}{2}m{v}^{2}-0 $ ,得 $ {v}^{2}=2(g-\dfrac{f}{m})ℎ $ ,可知重物所受阻力 $ f $ 与质量 $ m $ 的比值 $ \dfrac{f}{m} $ 不同,即阻力的影响不同，会导致两图线斜率不同,且均小于 $ 2g $ ，由题图3可知图线 $ M $ 的斜率更大，阻力的影响更小，故选择图线 $ M $ 验证机械能守恒定律误差更小.
3．某物理兴趣小组利用如图所示的装置验证机械能守恒定律.图中是固定的光滑半圆轨道，圆心为 $ O $ ， $ OC $ 为竖直半径，1和2是 $ A $ 、 $ B $ 位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出.让正方体滑块从与圆心等高处滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为 $ 1.0×{10}^{-2}\mathrm{s} $ 和 $ 4.0×{10}^{-3}\mathrm{s} $ .已知滑块的质量为 $ 20\mathrm{g} $ ，体积为 $ 1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3} $ ， $ \mathrm{\angle }BOC={37}^{\circ } $ ， $ AO\perp BO $ ，半圆轨道的半径为 $ 1.35\mathrm{m} $ ，取重力加速度大小 $ g=9.8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{2} $ ， $ \cos {37}^{\circ }=0.8 $ ， $ \cos {53}^{\circ }=0.6 $ .（计算结果均保留三位有效数字）
（1） 滑块通过光电门1时的速度大小为 $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ ，通过光电门2时的速度大小为 $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $ .
（2） 滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，重力势能的减少量为 $ \mathrm{J} $ ，动能的增加量为 $ \mathrm{J} $ .
（3） 在误差允许范围内，该过程中滑块的机械能 （填“守恒”或“不守恒”）.
答案：（1） 1.00；2.50
（2） $ 5.29×{10}^{-2} $ ； $ 5.25×{10}^{-2} $
（3） 守恒
解析：（1） 正方体滑块的体积为 $ 1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3} $ ,所以正方体的棱长为 $ l=1\mathrm{c}\mathrm{m} $ ,由速度定义式得滑块通过光电门1、2时的速度大小分别为 $ {v}_{1}=\dfrac{l}{{t}_{1}}=\dfrac{1×{10}^{-2}}{1.0×{10}^{-2}}\mathrm{m}/\mathrm{s}=1.00\mathrm{m}/\mathrm{s} $ 、 $ {v}_{2}=\dfrac{l}{{t}_{2}}=\dfrac{1×{10}^{-2}}{4.0×{10}^{-3}}\mathrm{m}/\mathrm{s}=2.50\mathrm{m}/\mathrm{s} $ .
（2） 重力做正功,重力势能减小,则滑块从光电门1运动到光电门2的过程中,重力势能的减少量为 $ \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}}=mgr( \cos {37}^{\circ }- \cos {53}^{\circ })=20×{10}^{-3}×9.8×1.35×0.2\mathrm{J}=5.29×{10}^{-2}\mathrm{J} $ ,动能的增加量为 $ \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{k}}=\dfrac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}×20×{10}^{-3}×(6.25-1)\mathrm{J}=5.25×{10}^{-2}\mathrm{J} $ .
（3） 在误差允许的范围内 $ \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}}\approx \mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{k}} $ ,则该过程中滑块的机械能守恒.
4．在“验证机械能守恒定律实验”中，某同学为验证弹簧和小球组成的系统机械能守恒，设计了如下方案和实验步骤：
①如图所示，将一根轻质弹簧的下端竖直固定在水平桌面上，弹簧上端连接一质量为 $ m $ 的小铁球，铁球上固定有轻小的遮光条；一根带有插销孔的光滑透明塑料圆管竖直地套在小球和弹簧外，也固定于水平桌面上；塑料圆管侧面有平行于管轴的光滑槽，遮光条套在槽中，露出槽外，小球直径略小于管径，可沿光滑槽运动；
②塑料圆管上装上两个关于弹簧原长位置对称的光电门，调节光电门使遮光条通过光电门时能很好地遮挡光线；
③将小球拉到 $ C $ 处，用插销锁住，弹簧处于伸长状态（在弹性限度内）；
④接通光电门电源，拔出插销，记录下小球通过 $ A $ 、 $ B $ 光电门时遮光条的遮光时间分别为 $ {t}_{1} $ 、 $ {t}_{2} $ ，测出遮光条的宽度 $ L $ ；
⑤断开电源，整理仪器.
（1） 为完成实验，除了以上步骤，还需要测量的物理量或进行的步骤有： .
（2） 已知重力加速度为 $ g $ ，若小球和弹簧系统（含地球）的机械能守恒，则表达式为 （用以上测量量和已知量的符号表示）.
（3） 实际上，在做该实验的时候，系统减少的重力势能会略大于增加的动能，可能的主要原因是： .（写出一个原因即可）
答案：（1） 测量两光电门之间的距离 $ h $
（2） $ gh=\dfrac{{L}^{2}}{2}(\dfrac{1}{{t}_{2}^{2}}-\dfrac{1}{{t}_{1}^{2}}) $
（3） 存在阻力
解析：（1） 要验证机械能是否守恒,需验证 $ mgh=\dfrac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}m{v}_{1}^{2} $ ,所以还需测量两光电门之间的距离 $ h $ .
（2） 由于两光电门关于弹簧原长位置对称,故两处弹簧的弹性势能相等,若小球和弹簧系统（含地球）的机械能守恒，有 $ mgh=\dfrac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\dfrac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\dfrac{1}{2}m(\dfrac{{L}^{2}}{{t}_{2}^{2}}-\dfrac{{L}^{2}}{{t}_{1}^{2}}) $ ,整理得 $ gh=\dfrac{{L}^{2}}{2}(\dfrac{1}{{t}_{2}^{2}}-\dfrac{1}{{t}_{1}^{2}}) $ .
（3） 存在阻力,有部分机械能转化为内能,所以系统减少的重力势能就会略大于增加的动能.
5．某同学用如图甲所示的装置验证轻弹簧和小物块（带有遮光条）组成的系统机械能守恒.图甲中光电门安装在铁架台上且位置可调.小物块释放前，细线与弹簧和小物块的拴接点 $ (A $ 、 $ B) $ 在同一水平线上，且弹簧处于原长.滑轮质量不计且滑轮凹槽中涂有润滑油，以保证细线与滑轮之间的摩擦可以忽略不计，细线始终伸直.小物块连同遮光条的总质量为 $ m $ ，弹簧的劲度系数为 $ k $ ，弹性势能 $ {E}_{\mathrm{p}}=\dfrac{1}{2}k{x}^{2}(k $ 为弹簧的劲度系数， $ x $ 为弹簧形变量 $ ) $ ，重力加速度为 $ g $ ，遮光条的宽度为 $ d $ ，小物块释放点与光电门之间的距离为 $ l(d $ 远远小于 $ l) $ .现将小物块由静止释放，记录物块通过光电门的时间 $ t $ .
（1） 小物块通过光电门时的速度大小为 ；
（2） 改变光电门的位置，重复实验，每次小物块均从 $ B $ 点静止释放，记录多组 $ l $ 和对应的时间，作出 $ \dfrac{1}{{t}^{2}}-l $ 图像如图乙所示，若在误差允许的范围内， $ \dfrac{1}{{t}^{2}}-l $ 满足关系式 $ \dfrac{1}{{t}^{2}}= $ 时，可验证轻弹簧和小物块组成的系统机械能守恒；
（3） 在（2）的条件下， $ l={l}_{1} $ 和 $ l={l}_{3} $ 时，小物块通过光电门时弹簧具有的弹性势能分别为 $ {E}_{\mathrm{p}1} $ 、 $ {E}_{\mathrm{p}3} $ ，则 $ {E}_{\mathrm{p}1}-{E}_{\mathrm{p}3}= $ （用 $ {l}_{1} $ 、 $ m $ 、 $ {l}_{3} $ 、 $ g $ 表示）；
（4） 在（2）的条件下，取某个值时，可以使小物块通过光电门时的速度最大，速度最大值为 （用 $ m $ 、 $ g $ 、 $ k $ 表示）.
答案：（1） $ \dfrac{d}{t} $
（2） $ -\dfrac{k}{m{d}^{2}}{l}^{2}+\dfrac{2g}{{d}^{2}}l $
（3） $ mg({l}_{1}-{l}_{3}) $
（4） $ g\sqrt{\dfrac{m}{k}} $
解析：（1） 遮光条的宽度为 $ d $ ,通过光电门的时间为 $ t $ ,则小物块通过光电门时的速度大小为 $ v=\dfrac{d}{t} $ .
（2） 若系统机械能守恒,有 $ mgl=\dfrac{1}{2}k{l}^{2}+\dfrac{1}{2}m{\left(\dfrac{d}{t}\right) ^ {2}} $ ,整理有 $ \dfrac{1}{{t}^{2}}=-\dfrac{k}{m{d}^{2}}{l}^{2}+\dfrac{2g}{{d}^{2}}l $ ,所以若在误差允许的范围内满足 $ \dfrac{1}{{t}^{2}}=-\dfrac{k}{m{d}^{2}}{l}^{2}+\dfrac{2g}{{d}^{2}}l $ ,即可验证弹簧和小物块组成的系统机械能守恒.
（3） 由图像可知 $ l={l}_{1} $ 和 $ l={l}_{3} $ 时,小物块通过光电门的时间相等,则小物块的速度大小相等,动能相等,可得 $ mg{l}_{3}={E}_{\mathrm{p}3}+{E}_{\mathrm{k}} $ , $ mg{l}_{1}={E}_{\mathrm{p}1}+{E}_{\mathrm{k}} $ ,联立可得 $ {E}_{\mathrm{p}1}-{E}_{\mathrm{p}3}=mg({l}_{1}-{l}_{3}) $ .
（4） 由图像可知 $ l={l}_{2} $ 时小物块通过光电门的时间最短,小物块通过光电门时的速度最大,此时小物块所受合力为零，有 $ mg=k{l}_{2} $ ,可得 $ {l}_{2}=\dfrac{mg}{k} $ ,又 $ mg{l}_{2}=\dfrac{1}{2}k{l}_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}m{v}_{\mathrm{m}}^{2} $ ,联立可得 $ {v}_{\mathrm{m}}=g\sqrt{\dfrac{m}{k}} $ .